Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ


Основные понятия планирования экспериментов. наиболее подходящей моделью последнего является абстрактная схема, называемая «черным ящиком». При таком кибернетичес­ком подходе различают входные и выходные переменные: x1, x2,…, xk; y1, y2, …, yi. В зависимости от того, какую роль играет каждая переменная в проводимом эксперименте, она может являться либо фактором, либо реакцией.. Например, в агрегативной системе (А-схеме) факторами будут входные и управля­ющие сообщения, а реакциями — выходные.

Каждый фактор хi, ,может принимать в эксперименте одно из нескольких значений, называемых уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний рассматриваемой системы. Одновременно этот набор пред­ставляет собой условия проведения одного из возможных экспериментов.

Каждому фиксированному набору уровней факторов соответствует определенная точка в многомерном пространстве, называемом факторным пространством., это показано для случая двух факторов х1 и х2 на рис. 14 (плоскость х101х2).

Существует вполне определенная связь между уровнями факторов и реакцией системы, которую можно представить в виде соотношения

.

Функцию , связывающую реакцию с факторами, называют функцией реакции, а геометрический образ, соответствующий функции реакции,— поверхностью реакции.Исследователю заранее не известен вид зависимостей , ,поэтому используют приближенные соотношения:

.

Зависимости находятся по данным эксперимента. Последний необходимо поставить при минимальных ресурсов (построить математическую модель системы и оценить ее характеристики. Факторы при проведении экспериментов могут быть управляемыми и неуправляемыми, наблюдаемыми и ненаблюдаемыми, изучаемыми и неизучаемыми, количественными и качественными, фиксированными и случайными.

Фактор называется управляемым, если его уровни целенаправленно выбираются исследователем в процессе эксперимента. Фактор называется наблюдаемым, если его значения наблюдаются и регистрируются. Обычно в машинном эксперименте с моделью Мм наблюдаемые факторы совпадают с управляемыми, так как нерационально управлять фактором, не наблюдая его. Но неуправляемый фактор также можно наблюдать. Наблюдаемые неуправляемые факторы.Обычно при машинном эксперименте с мо­делью Мм число сопутствующих факторов велико, поэтому рационально учитывать влияние лишь тех из них, которые наиболее существенно воздействуют на интересующую исследователя реак­цию.

Фактор относится к изучаемым, если он включен в модель Мм для изучения свойств системы S, а не для вспомогательных целей, например для увеличения точности эксперимента.

Фактор будет количественным, если его значения — числовые величины, влияющие на реакцию, а в противном случае фактор называется качественным. Фактор называется фиксированным, если в эксперименте иссле­дуются все интересующие экспериментатора значения фактора, а если экспериментатор исследует только некоторую случайную выборку из совокупности интересующих значений факторов, то фактор называется случайным. На основании случайных факторов могут быть сделаны вероятностные выводы и о тех значениях факторов, которые в эксперименте не исследовались.

В машинных экспериментах с моделями Мм не бывает неуправляемых или ненаблюдаемых факторов применительно к исследуемой системе S. В качестве воздействий внешней среды Е, т. е. неуправляемых и ненаблюдаемых факторов, в машинной имитационной модели выступают стохастические экзогенные переменные. Для полного определения фактора необходимо указать последовательность операций, с помощью которых устанавливаются его конкретные уровни. Такое определение фактора называется операциональным и обеспечивает однозначность понимания фактора.

Основными требованиями, предъявляемыми к факторам, являются требование управляемости фактора и требование непосредственного воздействия на объект. При планировании эксперимента обычно одновременно изменяются несколько факторов. Определим требования, которые предъявляются к совокупности факторов. — совмести­мость и независимость. При проведении машинного эксперимента с моделью Мм для оценки некоторых характеристик процесса функционирования ис­следуемой системы S экспериментатор стремится создать такие условия, которые способствуют выявлению влияния факторов, находящихся в функциональной связи с искомой характеристикой.

Для этого необходимо: отобрать факторы хi, , влияющие на искомую характеристику, и описать функциональную зависимость; установить диапазон изменения факторов ; определить координаты точек факторного пространст­ва {xl, x2, ..., xk}, в которых следует проводить экспери­мент; оценить необходимое число реализаций и их поря­док в эксперименте.

 

Для выбора конкретной модели необходимо сформулировать такие особенности, как адекватность, содержательность, простота. Под содержательностью модели планирования понимается ее способность объяснять множество уже известных фактов, выявлять новые и предсказывать их дальнейшее развитие. Простота — одно из главных достоинств модели планирования, выражающееся в реализуемости эксперимента на ЭВМ.

Виды планов экспериментов.Эксперимент, в котором реализуют­ся все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если выбранная модель планирования включает в себя только линейные члены полинома и их произведения, то для оценки коэффициентов модели используется план эксперимента с варьированием всех k факторов на двух уров­нях, т. е. q=2.Такие планы называются планами типа 2k, где N=2kчисло всех возможных испытаний.

Начальный этап планирования эксперимента для получения коэффициентов линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях: нижнем х и верхнем xiвсимметрично рас­положенных относительно основного уровня хi0, .Геометрическая интерпретация показана на рис. 15, а. Так как каждый фактор принимает лишь два значения xiн = xi0 - Dx, и xiв = xi0 + Dx, то для стандартизации и упрощения записи условий каждого ис­пытания и обработки выборочных данных эксперимента масштабы по осям факторов выбираются так, чтобы нижний уровень соответ­ствовал — 1, верхний— +1, а основной — нулю. Это легко достигается с помощью преобразования вида

где кодированное значение i-го фактора; хi — натуральное зна­чение фактора; xi0нулевой уровень; — интервал варьирования фактора.

Расположение точек для ПФЭ типа 22 показано на рис. 14, а также на рис. 15, б. Выписывая комбинации уровней факторов для каждой экспериментальной точки квадрата, получим план D полно­го факторного эксперимента типа 22:

 

Номер испытания
-1 +1 -1 +1
-1 -1 +1 +1
Обозначения строк (1) a b ab

Рис. 15. Геометрическая интерпретация полного факторного эксперимента типа 22: а — без масштабирования; 6 — при масштабировании по осям.

 

При этом планы можно записывать сокращенно с помощью условных буквенных обозначений строк. Для этого порядковый номер фактора ставится в соответствие строчной букве латинского алфавита: x1 ®- a, x2 ® b и т. д.

Затем для каждой строки плана выписываются латинские буквы только для факторов, находящихся на верхних уровнях; испытание со всеми факторами на нижних уровнях обозначается как (1). Запись плана в буквенных обозначениях показана в последней строчке.

 

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

 

Вычислительная математика – наука, которая изучает методы построения и исследования численных методов решения задач, моделирующих различные процессы, явления.

Численные методы – методы приближенного решения задач, основанные на построении конечной последовательности действий над конечным множеством действий.

Этапы построения задач на ЭВМ:

1) Постановка задачи. На этом этапе формулируются условие задачи, математические термины или предпосылки. Далее определяется, что нужно найти и в каком виде представляется результат.

2) Построение математической модели. Модель – упрощенное по сравнению с реальностью описание объекта, явления, процесса. При этом учитываются только существенные с точки зрения исследователя свойства этого процесса. Модели бывают: математические, химические, физические и т.д.. Математическая модель – модель, которая сформулирована математически.

Требования к математической модели:

– требование простоты;

– адекватности;

3) Выбор полученной системы уравнений.

4) Разработка алгоритма решения полученной задачи (определение последовательности действий для достижения указанной цели).

5) написание алгоритма на языке какого-либо высокого уровня и отладка программы.

Тестирование задачи – решение задачи, которое уже известно, с некоторым набором исходных данных.

6) Получение решения задачи.

7) Анализ полученного решения.

 

МЕТОДИКА ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ

Полная погрешность вычислительного процесса такова: . Погрешность входных данных и математической модели – это неустранимая погрешность, поскольку, во-первых, реально протекающие процессы достаточно трудно описать математически, во-вторых, это связано с неточностью задания исходных параметров. Погрешность метода – это погрешность, в результате замены одного математического процесса другим. Это – регулируемая погрешность, т.к. можно выбрать боле или менее точный метод расчета. Погрешность округления связана с округлением данных в процессе вычислений.

Приближение числа. Погрешности.

Приближенным значением числа a называется число, незначительно отличающееся от точного значения числа x и заменяющее последнее в вычислениях. Разница между двумя этими числами называется абсолютной погрешностью числа и обозначается .

Например.

Найдем по графику функции ее приближенное значение при x=1,5:

если x=1,5, то y 2,3.

По формуле можно найти точное значение этой функции:

если x=1,5, то .

Найдем абсолютную погрешность:

Относительной погрешностью числа называется отношение абсолютной погрешности и его точного значения, но т.к. точное значение числа неизвестно, то его заменяют приближенным значением. Выражается в процентах.

Например .

Округлим дробь 14,7 до целых и найдем относительную погрешность приближенного значения:

%.

Предельной абсолютной погрешностьюназывается всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа , т.е. предельная абсолютная погрешность показывает в каких границах изменяется точное значение числа: .

Предельной относительной погрешностьюназывается всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа

Поскольку в расчетах оперирую только предельными значениями погрешностей, то принято называть их просто абсолютной и относительной погрешностями.

Запись приближенных чисел.

Принято записывать приближенные числа так, чтобы в записи числа были только верные (в строгом смысле) цифры. Все сомнительные цифры отбрасываются по правилам округления, тогда по форме записи числа можно судить о его погрешности. Различают цифры верные в широком и строгом смыслах.

Верной цифрой в широком смысле приближенного значения называют цифру любого разряда, если абсолютная погрешность не превосходит единицы этого разряда, в котором находится данная цифра.

Например.

Проверим цифру 7. Единица ее разряда 10>0,05. Значит она верная. Цифра 3: 1>0,05 – тоже верная. Аналогично верными будут и цифры 6 и 4: 0,1>0,05, 0,01>0,05, а вот цифра 2 будет сомнительной. Действительно, для 2: 0,001<0,05.

Верной цифрой в строгом смыслеприближенного значения называют цифру любого разряда, если абсолютная погрешность не превосходит половины разряда, в котором находится данная цифра.

Например.

Проверим цифру 7. Половина единицы ее разряда >0,05. Значит она верная. Цифра 3: >0,05 – тоже верная. Аналогично верной будет и цифры 6: 0,05, а вот цифры 4 и 2 будут сомнительными. Действительно, для 4: 0,005<0,05, 2: 0,0005<0,05.

Оценка погрешности значений элементарных функций:

– абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей этих чисел;

– относительная погрешность произведения и частного нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, равна сумме относительных погрешностей этих чисел.

Основные приемы приближенных вычислений:

– вычисления со строгим учетом погрешности (по правилам, описанным ранее);

– вычисления без строгого учета погрешности. Вычисления производятся при сохранении в промежуточном результате на одну цифру больше, чем имеет их число с наименьшим количеством значащих цифр.В окончательном результате эта цифра отбрасывается.

Значащими называются все цифры, начиная с первой (слева), отличной от нуля.

Например.

– (3) значащие цифры;

– (3) значащие цифры;

– (4) значащие цифры.

Понятия устойчивости, корректности, сходимости

Устойчивость – чувствительность задачи к исходным данным. Задача называется устойчивой по исходному параметру x,если решение непрерывно от него зависит.

Задача называется поставленной корректно, если для любого значения исходных данных из некоторого класса ее решение существует, оно единственно и устойчиво по исходным данным.

Сходимость – близость численного решения задачи к истинному. Различают сходимость итерационных методов и дискретных методов.

 

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Будем рассматривать уравнения вида f(x)=0 с изолированными корнями. – корень уравнения, если после подстановки, мы получаем f( )=0.Корень называется изолированным на отрезке [a;b], если внутри этого отрезка других корней не существует.

Теорема о существовании корня (теорема Коши): если функция f(x) непрерывна и дифференцируема и имеет разные значения на концах этого отрезка, то внутри этого отрезка существует корень и он может быть не один.

Теорема о существовании и единственности корня (теорема Коши): если функция f(x) непрерывна и дифференцируема и имеет разные значения на концах этого отрезка, а первая и вторая производные сохраняют знак на этом отрезке, то внутри этого отрезка существует корень и он единственный.

Решение уравнения складывается из двух этапов:

1) отделение (изолирование) корней;

2) уточнение значения корней.

Изолировать корни можно:

– аналитически. Для этого табулируем функцию на некотором отрезке. Табулирование функции – это вычисление значений функции при изменении аргумента от некоторого начального значения до некоторого конечного значения с определённым шагом. Именно так составляются таблицы значений функций, отсюда и название – табулирование.

xi f(xi)
a=x0 f(x0)
x1 f(x1)
xi f(xi)
xi+1 f(xi+1)
xn=b f(xn)

– графически. Для этого уравнение f(x)=0 заменяют равносильным уравнением и строят графики функций y1= и y2= Абсциссы точек пересечения этих графиков дают приближенные значения искомых корней.

Существуют разные методы уточнения приближенных значений корней, т.е. доведение их до заданной точности. Рассмотрим некоторые из них.

Итерационные методы.

Рассмотрим общие принципы решения уравнений итерационными методами. Дано уравнение f(x)=0 с изолированным корнем [a;b]. Преобразуем уравнение к виду .Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближении : Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находим последовательность приближенных значений корня . Методы, основанные на построении итерационной последовательности, называются итерационными.

Различают следующие методы решения:

метод итерационная формула формулы для определения погрешности метода
метод простой итерации     ,
метод Ньютона (касательных)    
метод хорд (секущих) координаты неподвижного конца отрезка  

 

Итерационную последовательность продолжают до тех пор, пока результаты двух последних итераций не станут близкими, т.е. , где – заданная точность приближения.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим произвольную систему m – линейных уравнений с n – неизвестными:

где неизвестные переменные, – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены системы.

Все методы решения систем линейных уравнений можно условно разбить на точные (прямые) и приближенные. К точным алгоритмам относят методы Крамера, Гаусса и т.д. Среди приближенных следует отметить прежде всего итерационные методы.

Гауссовы преобразования.

Рассмотрим два любых уравнения системы, выписав коэффициенты при неизвестных xp и xj в строках q и i:

xp … xj

q … aqp … aqj

i … aip ... aij

Преобразуем уравнение q так, чтобы коэффициент при xp был равен 1, тогда коэффициенты при остальных переменных в этой строке будут равны: a'qp ( , путем перестановки уравнений всегда можно добиться этого условия). Исключим xp из уравнения i, определив коэффициенты как a'ij

Преобразование матриц по этим формулам называется гауссовым, aqpразрешающим элементом, строка q – разрешающей строкой, столбец p – разрешающим столбцом.

Из литературы широко известен метод Гаусса в различных модификациях:

– метод Гаусса по схеме единственного деления. Его сущность заключается в том, что с помощью гауссовых преобразований исходную матрицу коэффициентов системы приводят к треугольному виду (прямой ход), а затем находят неизвестные (обратный ход метода).

– метод Гаусса с выбором главного элемента. Его сущность заключается в том, что за разрешающий выбирают любой элемент, а затем с помощью гауссовых преобразований исходную матрицу коэффициентов системы приводят к единичному базису. При этом значения неизвестных – значения свободных членов матрицы.

Нахождение обратной матрицы.

Дана неособенная (невырожденная) матрица A=[aij]. Матрица называется невырожденной (неособенной), если ее определитель отличен от нуля. Требуется найти обратную матрицу A-1. Матрица A-1=[xij] является обратной данной, если выполняется условие AA-1=E, где E – единичная матрица.

В результате перемножения матриц получим n систем n уравнений с n неизвестными: , где символ Кронекера. Чтобы найти A-1=[xij], необходимо решить эти системы уравнений. У всех этих систем одинаковые матрицы коэффициентов, разные только столбцы свободных членов. Это дает нам возможность решать все системы одновременно по схеме единственного деления.

Метод квадратных корней.Применяется для систем, имеющих симметрические матрицы коэффициентов. Квадратная матрица называется симметрической, если , то есть если равны элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали. Пусть дана линейная система уравнений АХ=В, где A=[aij] – симметрическая матрица. Тогда матрицу А можно представить в виде произведения двух транспонированных между собой треугольных матриц А= Т'Т, где Т' – нижняя треугольная матрица, Т – верхняя треугольная матрица. Матрица, в которой строки матрицы А являются столбцами называется транспонированной по отношению к матрице А. Отсюда найдем коэффициенты матрицы Т:

 

Подставим А= Т'Т в уравнение АХ=В, получим Т'Т Х=В. Обозначив Т Х через Y, Т' Y =В. получим Решение системы линейных уравнений АХ=В сводится к решению двух систем линейных уравнений: Т Х=Y и Т' Y =В. Из решения двух этих систем последовательно найдем:

Решение систем линейных уравнений методом итерации.

Пусть дана система линейных уравнений АХ=В. Предполагая, что диагональные коэффициенты , преобразуем систему к виду Х=В+АХ. Полученную систему будем решать методом последовательных приближений. За нулевое приближение примем столбец свободных членов . Подставляем значение неизвестного в правую часть уравнения Полученное значение неизвестного снова подставляем в правую часть уравнения и так далее продолжаем процесс

Достаточным условием итерационной последовательности является выполнение одного из условий: , т.е. для успешного применения метода итерации модули диагональных коэффициентов системы должны быть велики по сравнению с модулями других коэффициентов.

Метод Зейделя.

Представляет собой некоторую модификацию метода итерации. Основная идея заключается в том, что при вычислении k-го порядка приближения неизвестной хi неизвестные х1, х2, …., хi-1. Обычно метод Зейделя дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации.

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ

Рассмотрим некоторую функцию y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Эта функция может иметь сложный вид, что может затруднить обработку, либо она может быть задана своими значениями в точках . В этом случае отсутствие аналитического выражения функции также не позволит использовать ее в расчетах.

Постановка задачи.Требуется исходную функцию приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой другой функцией так, чтобы отклонения между ними в точках было бы в некотором смысле наименьшим. Функцию называют аппроксимирующей. Существуют разные способы получения таких функций. Один из них – интерполирование.

Постановка задачи интерполирования. Дана функция y=f(x) на отрезке [a;b]. Пусть в точках значения функции равны Требуется подобрать полином (многочлен) порядка не выше n таким образом, чтобы значения полинома в точках совпадали со значениями функции в этих точках, а при остальных значениях x из области определения должно выполняться приближенное равенство . Тогда функция называется интерполирующей, процесс ее построения – интерполированием, а точки узлами интерполирования.

Интерполирование – частный случай аппроксимации.

Интерполяционный полином Лагранжа.Пусть функция y=f(x) задана на отрезке [a;b]. Разобьем отрезок точками Требуется подобрать полином порядка не выше n таким образом, чтобы значения полинома в точках равнялись значениям функции в этих точках. Полином будем искать в виде линейной комбинации многочленов степени n:

где многочлены

нтерполяционный полином Лагранжа.

Например

для случая линейной интерполяции

для случая квадратичной интерполяции

Оценка погрешности.

, где при

Интерполяционные полиномы Ньютона.Применяются при равномерном разбиении.

Конечные разности. Пусть функция y=f(x) задана на отрезке [a;b]. Разобьем отрезок точками с постоянным шагом .

Данные разности называются конечными разностями I - порядка

 

Данные разности называются конечными разностями II - порядка

 

и т.д.

Конечные разности более высокого порядка можно выразить через функции.

Например:

Порядок конечных разностей не превышает порядка исходного многочлена.

Следствие. Чтобы определить порядок строящегося полинома необходимо построить таблицу конечных разностей и определить их наивысший порядок.

Первая Интерполяционная формула Ньютона(формула Ньютона для интерполирования вперед).

Постановка задачи.Пусть функция y=f(x) задана на отрезке [a;b]. Разобьем отрезок точками с постоянным шагом . Требуется подобрать полином порядка не выше n таким образом, чтобы значения полинома в точках равнялись значениям функции в этих точках.

,

Обозначим через , откуда

первая Интерполяционная формула Ньютона (формула Ньютона для интерполирования вперед).

Например

для случая линейной интерполяции

для случая квадратичной интерполяции

Оценка погрешности.

Вторая интерполяционная формула Ньютона(формула Ньютона для интерполирования назад).

Постановка задачи.Пусть функция y=f(x) задана на отрезке [a;b]. Разобьем отрезок точками с постоянным шагом .

Обозначим через , откуда

вторая интерполяционная формула Ньютона (формула Ньютона для интерполирования назад).

Оценка погрешности.

 

ОБРАТНОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ

Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному значению функции f(x) определить соответствующее значение аргумента. Если известно, что f(x) определена, монотонна и непрерывна в заданном промежутке, то в соответствующем промежутке значений функции f(x) существует однозначная обратная функция x=g(y), также монотонная и непрерывная по теореме об обратной функции. Если допустимаинтерполяция по переменной y, то обратную функцию x=g(y) можно заменить интерполяционным многочленом , удовлетворяющим условиям: При использовании интерполяционного полинома Лагранжа последний примет вид:

При равномерном разбиении отрезка применяют интерполяционный многочлен Ньютона:

отсюда , где


нелинейное уравнение относительно переменной t, которое можно решить методом простой итерации. За начальное приближение примем: Тогда, применяя метод итерации, получим Зная, что можно найти

Решение уравнения f(x)=0 можно свести к задаче обратного интерполирования. Для этого нужно составить таблицу значений функции y=f(x) на отрезке [a;b], построить соответствующую таблицу конечных разностей и определить порядок старшего полинома Ньютона. Затем применить приемы обратного интерполирования, отыскивая значение x, соответствующее y=0.

 

ПРИБЛИЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Пусть дана функция y=f(x) на отрезке [a;b], которая имеетсложный видили задана таблично. Дифференцировать функцию в этих случаях будет затруднительно. Поэтому ее заменяют некоторой другой функцией , полагая, что , т.д.

Разобьем отрезок [a;b] точками с постоянным шагом . Заменим дифференцируемую функцию полиномом Ньютона: Преобразуем выражение, раскрыв скобки: Тогда производная функции будет равна: Откуда Подставим полученные выражения, получим:

Аналогично можно найти и производные более высоких порядков.

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и известна первообразная F(x), то определенный интеграл от функции f(x) в заданных пределах может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

Однако, во многих случаях первообразная F(x) не может быть представлена в виде элементарной функции. Кроме того, на практике функция f(x) часто задается таблично и тогда само понятие первообразной теряет смысл. В этих случаях используются методы численного интегрирования. Они основаны на аппроксимации функции f(x) некоторыми более простыми выражениями, например, многочленами.

Метод трапеции.

Пусть дана функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и известна ее первообразная F(x). Требуется вычислить определенный интеграл функции f(x) в заданных пределах: .

Разобьем отрезок [a;b] точками с постоянным шагом . Тогда вместо интеграла рассмотрим сумму интегралов:

Рассмотрим интеграл . Заменим подынтегральную функцию линейным полиномом Ньютона: Зная, что найдем пределы интегрирования Исходя из того, что , найдем Получим:

Аналогично находим и т.д.

Складывая полученные интегралы, получим:

Погрешность метода вычисляется по формуле:

.

Метод Симпсона.

Пусть дана функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и известна ее первообразная F(x). Требуется вычислить определенный интеграл функции f(x) в заданных пределах: .

Разобьем отрезок [a;b] на четное количество отрезков точками с постоянным шагом . Тогда вместо интеграла рассмотрим сумму интегралов:

Рассмотрим интеграл . Заменим подынтегральную функцию квадратичным полиномом Ньютона: Зная, что найдем пределы интегрирования Исходя из того, что , найдем Получим:

Аналогично находим и т.д.

Складывая полученные интегралы, получим:

Погрешность метода вычисляется по формуле:

.

 

 

ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Пусть некоторая функция получена в результате проведения эксперимента. Задача состоит в том, чтобы найти приближенную зависимость y=f(x), значения которой при x=xi мало отличаются от опытных данных yi. Полученная приближенная функциональная зависимость называется эмпирической формулой.

Этапы построения эмпирической формулы:

1) подбор общего вида формулы;

2) определение параметров формулы.

Способы подбора параметров эмпирической формулы могут быть разными, но наиболее широко используется метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов.

Параметры эмпирической формулы подбирают исходя из условия минимума суммы квадратов отклонений , где

Обозначим через . Чтобы определить параметры, необходимо найти частные производные от по каждому параметру и приравнять их к нулю: В итоге получим систему m+1 уравнений:

где при при

Решая системы уравнений, определим параметры эмпирической формулы.

 


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
БАЗЫ ДАННЫХ МОДЕЛИРОВАНИЯ | Лекция 1. Микология как наука (введение в микологию)

Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 329. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.377 сек.) русская версия | украинская версия