Мгновенная мощность при вращательном движении

, (1.113)

где M - мгновенный момент силы; ω - мгновенная угловая скорость.

1.4. Законы сохранения в механике

Закон сохранения энергии в его общефизическом смысле - энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой, в количественном отношении оставаясь неизменной.

Закон сохранения и превращения механической энергии - полная механическая энергия замкнутой системы (в отсутствие внешних воздействий), в которой действуют только консервативные силы, остается величиной постоянной:

W_k + W_p = const. (1.114)

Закон сохранения импульса - полный импульс замкнутой системы в отсутствии внешних воздействий остается величиной постоянной:

p = const. (1.115)

Закон движения центра масс - центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует равнодействующая всех внешних сил:

. (1.116)

Импульс незамкнутой системы сохраняется, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.

Удар - совокупность явлений, возникающих при столкновении движущихся твердых тел, а также при некоторых видах взаимодействия твердого тела с жидкостью или газом.

Ударный импульс - мера механического взаимодействия тел при ударе ударной силы F за время удара τ:

. (1.117)

Коэффициент восстановления k – величина, характеризующая потери энергии при ударе, численно равная отношению скорости взаимодействующих масс после взаимодействия к их скорости до взаимодействия:

. (1.118)

Центральный удар – такой удар, при котором центры масс тел лежат на линии удара.

Прямой центральный удар – такой, при котором скорости v₁ и v₂ центров масс в начале удара направлены параллельно линии удара.

Центральный абсолютно неупругий удар шаров характеризуется тем, что выполняется только закон сохранения импульса. Скорость шаров после центрального абсолютно неупругого удара:

. (1.119)

Центральный абсолютно упругий удар шаров характеризуется тем, что выполняются законы сохранения полной механической энергии и импульса. Скорости шаров после взаимодействия:

; (1.120)

. (1.121)

Закон сохранения момента импульса - момент импульса замкнутой системы в отсутствие внешних воздействий остается величиной постоянной:

, а L₀ = const. (1.122)

Скорость изменения момента импульса (уравнение моментов):

, (1.123)

где L₀ - момент импульса тела (системы) относительно начала координат;

M_вн - суммарный вращающий момент внешних сил, действующих на тело (систему).

1.5. Поле тяготения

Поле тяготения создается взаимодействующими массами покоя тел и поэтому является характерным для тел с большими массами и со значениями скорости движения гораздо меньшими, чем скорость распространения света в вакууме.

Напряженность поля тяготения - векторная физическая величина, равная по величине и направлению силе, действующей на единичную массу, помещенную в данную точку поля:

. (1.124)

Ускорение, приобретаемое в поле тяготения массой m, направлено к центру большей массы:

. (1.125)

Ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли:

. (1.126)

Ускорение силы тяжести при круговой траектории движения является центростремительным:

. (1.127)

Потенциал поля тяготения - скалярная физическая величина, равная потенциальной энергии единичной массы, помещенной в данную точку поля:

. (1.128)

Связь между напряженностью и потенциалом поля тяготения:

. (1.129)

В векторной форме:

. (1.130)

Знак “ – “означает, что напряженность поля тяготения направлена в сторону уменьшения потенциала поля тяготения.

Уравнение движения массы m в поле тяготения при скорости движения тела v₀< < с:

. (1.131)

Первая космическая скорость

. (1.132)

Вторая космическая скорость

. (1.133)

Период обращения спутника, совершающего движение по круговой орбите:

. (1.134)

“ Потенциальная яма ” - ограниченная область пространства, определяемая физической природой взаимодействия частиц. В этой области пространства потенциальная энергия частицы меньше, чем вне ее.

Характеристики “потенциальной ямы”:

а) ширина – расстояние, на котором проявляется действие сил притяжения;

б) глубина – разность потенциальных энергий частицы на “краю” ямы и на ее “дне”, соответствующем минимуму потенциальной энергии, которую удобнее принять равной нулю.

Основное свойство “потенциальной ямы” – способность удерживать частицу, полная энергия W которой меньше .

Потенциальный барьер – ограниченная в пространстве область, по обе стороны которой потенциальная энергия резко спадает. Прохождение частицы через потенциальный барьер возможно лишь в том случае, если ее полная энергия не меньше высоты потенциального барьера W³ .

1.6. Волновые процессы

Волны – изменения состояния среды (возмущения), распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию - процесс распространения колебаний в пространстве.

Фронт волны (волновой фронт) - геометрическое место точек, до которых доходят волны за некоторый промежуток времени t.

Волновая поверхность - геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Основное свойство волн, независимо от их природы, - перенос энергии без переноса вещества в пространстве.

Упругие (или механические) волны - механические возмущения, возникающие и распространяющиеся в упругой среде. Различают продольные и поперечные волны.

Продольные волны - волны, направление распространения которых совпадает с направлением смещения (колебания) частиц среды.

Поперечные – волны, направление распространения которых и направление смещения (колебания) частиц среды взаимно перпендикулярны.

В жидкостях и газах возникают и распространяются только продольные волны (“волны сжатия”).

В твердых телах возникают и распространяются не только продольные, но и поперечные волны (“волны сдвига”).

Одиночная волна (импульс) - сравнительно короткое возмущение, не имеющее регулярного характера.

Волновой пакет – совокупность волн, частоты которых мало отличаются друг от друга.

Бегущие волны - волны, которые переносят в пространстве энергию.

Гармоническая волна – бесконечная синусоидальная волна, в которой все изменения среды происходят по закону синуса или косинуса.

Плоские волны – такие, волновые поверхности которых представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей, перпендикулярных направлению распространения волны.

Сферические волны - такие, волновые поверхности которых представляют собой систему концентрических сферических поверхностей.

Принцип суперпозиции волн - результат геометрического сложения когерентных волн.

Когерентные волны – обладающие в каждой из точек среды постоянной разностью фаз и имеющие одинаковую частоту.

Когерентные источники - точечные источники, размерами которых можно пренебречь, излучающие в пространство когерентные волны.

Интерференция волн – явление наложения когерентных волн, в результате которого происходит перераспределение энергии волны в пространстве.

Стоячая волна – волна, возникающая при интерференции двух встречных (падающей и отраженной) плоских волн с одинаковой амплитудой.

Пучности стоячей волны - точки, в которых амплитуда удваивается.

Узлы стоячей волны – точки, в которых амплитуда обращается в нуль.

Длина стоячей волны - расстояние между соседними узлам l₀:

. (1.135)

Скорость распространения стоячей волны:

, (1.136)

где L – некоторое расстояние, на котором наблюдается стоячая волна;

n – число узлов;

n - частота колебаний.

Фазовая скорость упругих волн:

продольных - , поперечных - , (1.137)

где E – модуль Юнга; G – модуль сдвига.

Групповая скорость - скорость перемещения в пространстве амплитуды волны:

. (1.138)

Длина волны l - расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе (расстояние, на которое распространяется волна за один период):

; , (1.139)

где l - длина волны;

T – период;

n - частота;

v – скорость распространения волны.

Волновой вектор k определяет направление волны. Направление волнового вектора совпадает с направлением вектора скорости:

, (1.140)

где w - круговая частота.

Волновое число - численное значение волнового вектора:

. (1.141)

Уравнение плоской прямой бегущей волны - выражение, которое определяет смещение колеблющейся точки как функцию ее координат и времени:

. (1.142)

Уравнение плоской обратной бегущей волны:

. (1.143)

Волновое уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси X, дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных:

. (1.144)

Волновое уравнение плоской волны, распространяющейся в трехмерном пространстве:

, (1.145)

где - оператор Лапласа (лапласиан).

Уравнение стоячей волны:

, (1.146)

где - амплитуда стоячей волны.

Условие максимального значения амплитуды стоячей волны:

kx = ± np (n = 0, 1, 2, ¼); A = 2x₀. (1.147)

Условие минимального значения амплитуды стоячей волны:

kx = ± (2n + 1)p; A = 0. (1.148)

Вектор плотности потока энергии волны – физическая величина, модуль которой равен энергии DE, переносимой волной за единицу времени (Dt=1) через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны (DS_^):

; = u× v; j = u× v, (1.149)

где u – плотность энергии в каждой точке среды, среднее значение которой вычисляется по формуле ;

ρ – плотность среды;

x₀ – амплитуда волны;

w - круговая (циклическая частота);

v – фазовая скорость (скорость перемещения фазы волны).

1.7. Элементы механики жидкостей

Жидкость - агрегатное состояние вещества, промежуточное между твердым и газообразным состояниями.

Чистые жидкости по химическому составу - однокомпонентные жидкости.

Жидкие смеси (растворы) по химическому составу - двух - или многокомпонентные жидкости.

Нормальные (обычные) жидкости - однородные макроскопические и изотропные жидкости. При отсутствии внешних воздействий обладают только одной жидкой фазой.

Квантовые жидкости - жидкости, которые могут находиться в нормальной и одной или нескольких анизотропных фазах.

Простые жидкости - жидкости, состоящие из сферически симметричных молекул, между которыми действуют силы Ван дер Ваальса, не имеющие какого-либо преимущественного направления и обладающие наиболее простыми свойствами.

Ближний порядок - упорядоченное расположение по отношению к любой молекуле ближайших к ней соседей.

Зависимость между временем t одного колебания молекулы относительно данного положения и временем " оседлой" жизни t₀:

, (1.150)

где U - " потенциальный барьер", численно равный разности энергий молекулы в двух возможных областях ее колебаний, разделяющий две возможные области колебаний молекулы);

Т - температура жидкости;

k - постоянная Больцмана.

Число молекул жидкости в некотором сферическом слое толщиной dr на расстоянии r от произвольно выбранной молекулы:

, (1.151)

где n₀ = N/V - число молекул в единице объема жидкости;

F(r) - радиальная функция распределения, которая определяет вероятность нахождения некоторой молекулы жидкости в какой-либо точке ее объема.

Вязкость - свойство жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. Определяется их молекулярным составом и строением.

Основной закон вязкого течения (закон Ньютона):

, (1.152)

где dv/dz - градиент скорости в направлении z;

S - площадь слоя, по которому происходит сдвиг;

h - коэффициент динамической вязкости, который характеризует сопротивление жидкости смещению ее слоев.

Зависимость коэффициента вязкости жидкостей от температуры:

, (1.153)

где U – энергия, необходимая для перехода молекулы жидкости из одного равновесного состояния в другое.

Кинематическая вязкость - отношение динамической вязкости к плотности жидкости:

n = h/r. (1.154)

Текучесть жидкостей – свойство, обратное вязкости, обусловлено той свободой движения молекул в объеме, которая еще допускается силами сцепления между ними.

Коэффициент текучести (или текучесть):

j = 1/h. (1.155)

Сжимаемость - способность жидкости изменять свой объем под действием всестороннего давления.

Коэффициент сжимаемости - выражает уменьшение единичного объема (или плотности) при увеличении давления на единицу:

, (1.156)

где DV, Dρ - изменение первоначального объема и первоначальной плотности жидкости при изменении давления на Dp.

Уравнение состояния жидкости (с определенной степенью точности):

. (1.157)

Сфера действия молекулярных сил - область, в которой расположены взаимодействующие молекулы, в центре которой находится рассматриваемая молекула (R ~ 10^-9 м).

Экспериментальный закон зависимости объема жидкости от температуры:

V_t = V₀(1 + at), (1.158)

где a - коэффициент объемного расширения, который определяется соотношением:

. (1.159)

Связь коэффициентов сжимаемости и объемного расширения жидкостей:

. (1.160)

Поверхностное натяжение - мера некомпенсированности межмолекулярных сил в поверхностном (межфазном) слое.

Работа dA по изменению поверхности жидкости на dS совершается за счет изменения потенциальной энергии поверхностного слоя (поверхностной энергии жидкости) dW_ps:

dA = - dW_ps = - s× dS, (1.161)

где " минус " показывает, что увеличение поверхности жидкости сопровождается совершением работы;

s - коэффициент поверхностного натяжения, который характеризует свойства поверхности жидкости и показывает, какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить поверхность жидкости на единицу.

Работа по изменению поверхности жидкости, совершаемая внешними силами:

dA = - F dx = -s× dS = - s× l× dx, (1.162)

где l - длина контура, охватывающего поверхность жидкости;

dx - смещение границы поверхностного слоя;

F - сила поверхностного натяжения;

s - коэффициент поверхностного натяжения, который численно равен силе поверхностного натяжения, стремящейся изменить длину контура, охватывающего поверхность жидкости, на единицу.

Зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры:

, (1.163)

где r = dQ/dS - количество тепла, затраченное на изменение поверхности пленки на единицу.

Полное молекулярное давление в поверхностном слое жидкости:

p = p₀ ± Dp, (1.164)

где p₀ - молекулярное давление жидкости с плоской поверхностью;

Dp - дополнительное давление, возникающее за счет кривизны поверхности жидкости;

знак " +" - соответствует выпуклой поверхности;

знак " -" - соответствует вогнутой поверхности.

Формула Лапласа для дополнительного давления (для капли, которая полностью заполнена жидкостью, или для пузырька внутри жидкости) в случае:

1) произвольной поверхности

, (1.165)

где R₁ и R₂ - радиусы кривизны поверхностного слоя жидкости;

2) сферической поверхности

, (1.166)

где R - радиус сферы;

3) цилиндрической поверхности

, (1.167)

где R - радиус цилиндрической поверхности.

Формула Лапласа для дополнительного давления (для пузырька, который не заполнен жидкостью, например мыльного) в случае:

1) сферической поверхности

; (1.168)

2) цилиндрической поверхности

. (1.169)

Условие равновесия капли на поверхности другой жидкости:

s₁₂ + s₂₃ = s₁₃, (1.170)

где s₁₂ - коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью капли и жидкостью, на которой она находится;

s₁₃ - коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью, на которой находится капля, и воздухом;

s₂₃ - коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью капли и воздухом.

Условие равновесия капли на поверхности твердого тела:

s₁₂ + s₂₃× cosq = s₁₃, (1.171)

где s₁₂ - коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью капли и твердым телом;

s₁₃ - коэффициент поверхностного натяжения между твердым телом и воздухом;

s₂₃ - коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью капли и воздухом;

q - краевой угол (угол между касательными к поверхности жидкости и твердого тела).

Условие смачивания (краевой угол острый):

s₁₂ + s₂₃× cosq £ s₁₃. (1.172)

Условие абсолютного смачивания:

s₁₂ + s₂₃× cosq< s₁₃. (1.173)

Условие несмачивания (краевой угол тупой):

s₁₂³ s₂₃× cosq +s₁₃. (1.174)

Условие абсолютного несмачивания:

s₁₂> s₂₃× cosq +s₁₃. (1.175)

Капиллярные явления (капиллярность) - изменение высоты уровня жидкости в узких трубах (капиллярах) или зазорах между двумя стенками.

Условие капиллярности:

Dp = p, (1.176)

где - дополнительное давление, возникающее за счет кривизны поверхности жидкости при капиллярности;

p = rgh - давление;

- радиус мениска; r - радиус капилляра; q - краевой угол.

Высота подъема (опускания) жидкости в капиллярах:

. (1.177)

Высота подъема (опускания) жидкости в узком зазоре между погруженными в жидкость параллельными пластинами:

, (1.178)

где d - расстояние между пластинами.

Давление внутри жидкости во всех точках, расположенных на одном уровне (при механическом равновесии, если жидкость находится в поле тяготения):

p = const. (1.179)

Давление в жидкости на двух разных уровнях (при механическом равновесии, жидкость находится в поле тяготения) отличается на величину, равную весу вертикального столба жидкости, заключенного между этими уровнями, с площадью сечения, равного единице:

p₂ = p₁ + rgh, (1.180)

где p₁, p₂ - давления жидкости на соответствующих уровнях;

h - высота между слоями.

Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (или газ), находящееся в механическом равновесии, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа), направленная по вертикали вверх и приложенная к центру масс вытесненного объема:

. (1.181)

Поток жидкости - совокупность частиц, движущейся жидкости.

Линия тока жидкости - линия, касательная к которой совпадает с направлением скорости частицы жидкости в рассматриваемый момент времени и в данной точке пространства. Линии тока жидкости служат для графического отображения потока жидкости.

Трубка тока - часть жидкости, ограниченная линиями тока.

Установившееся (стационарное) течение жидкости - движение жидкости, при котором форма и расположение линий тока, а также значения скоростей частиц жидкости в каждой их точке не изменяются со временем.

Неустановившееся (нестационарное) течение жидкости - движение жидкости, при котором не выполняются условия стационарного движения.

Математическая форма записи теоремы (уравнения) о неразрывности (непрерывности струи) для несжимаемой жидкости:

S× v = const, (1.182)

где S - площадь сечения трубки тока;

v - скорость жидкости.

Уравнение Бернулли для стационарно текущей идеальной жидкости (для жидкостей с малой вязкостью):

, (1.183)

где r - плотность жидкости;

v - скорость течения жидкости;

h - высота, на которой находится некоторое сечение трубки тока;

p - давление жидкости на уровне этих сечений.

Закон изменение давления жидкости для двух сечений (с изменением высоты h сечений) при v₁ = v₂:

. (1.184)

Закон изменение давления жидкости для горизонтального потока (h₁ = h₂):

, (1.185)

где p - давление, не зависящее от скорости (статическое давление жидкости);

- давление, зависящее от скорости (динамическое давление), которое показывает, на какую величину изменяется статическое давление при остановке движущегося потока жидкости.

Полное давление потока жидкости - сумма статического и динамического давлений.

Монометрические трубки (трубки Пито) - приборы, с помощью которых измеряют статическое и полное давление жидкости.

Скорость течения вязкой жидкости в трубе:

, (1.186)

где p₁, p₂ - давления двух сечений трубы;

R - радиус трубы;

r - расстояние от центра трубы до рассматриваемой трубки тока;

h - коэффициент вязкости жидкости; l - расстояние между сечениями трубы.

Формула Пуазейля для определения объема жидкости, прошедшего через сечения трубы:

. (1.187)

Ламинарное (слоистое) течение жидкости – когда жидкость как бы разделяется на слои, скользящие относительно друг друга, не перемешиваясь. Ламинарное течение жидкости стационарно.

Турбулентное течение жидкости – когда происходит энергичное перемешивание жидкости. При турбулентном течении скорость частиц в каждом месте изменяется хаотично, течение - нестационарное.

Число Рейнольдса определяет характер течения жидкости:

, , (1.188)

где r - плотность жидкости;

v - средняя по сечению скорость движения жидкости;

l - характерный для поперечного сечения размер;

h - динамическая вязкость;

n - кинематическая вязкость.

1. 8. Основы теории относительности

Теория относительности - физическая теория, рассматривающая пространственно-временные закономерности, справедливые для любых физических процессов (свойства пространства-времени).

Специальная (частная) теория относительности (СТО) изучает свойства пространства-времени, справедливые с той точностью, с какой можно пренебрегать действием тяготения.

Общая теория относительности (ОТО) - теория тяготения, изучающая свойства пространства-времени, которые определяются действующими полями тяготения.

Симметрия (инвариантность) законов физики - неизменность законов физики, устанавливающих соотношение между величинами, характеризующими физическую систему, или определяющие изменение этих величин со временем при определенных операциях - преобразованиях.

Преобразования пространства-времени:

а) Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве - эквивалентность всех точек пространства, т.е. отсутствие в нем выделенных точек (однородность пространства). Любой физический закон (процесс) происходит одинаково в любой точке пространства.

б) Поворот системы как целого в пространстве - симметрия физических законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропию пространства).

в) Изменение начала отсчета времени (сдвиг во времени) означает, что физические законы не меняются со временем.

г) Переход к системе отсчета, движущейся относительно данной системы с постоянной (по направлению и величине) скоростью означает эквивалентность всех инерциальных систем отсчета.

Точечное событие - нечто, происходящее в данной точке пространства в данный момент времени (например, выстрел, распад элементарной частицы).

Первый постулат специальной теории относительности (принцип относительности): никакие физические опыты (механические, оптические, тепловые, электромагнитные и т.д.), производимые внутри инерциальной системы отсчета, не позволяют установить, находится ли она в равномерном абсолютном и прямолинейном движении или нет.

Второй постулат специальной теории относительности (принцип независимости и постоянства скорости света): скорость света в вакууме одинакова во всех направлениях и не зависит от движения источника света.

Третий постулат специальной теории относительности (принцип одновременности событий): события, одновременные в одной системе отсчета, не являются одновременными в другой системе отсчета, то есть одновременность является понятием относительным.

" Мир" - четырехмерное пространство, в котором каждое мгновенное событие характеризуется точкой (мировой точкой) с указанием координат.

Мировая линия данной материальной точки - некоторая линия в четырехмерном пространстве, отображающая события, происходящие с материальной точкой.

Положение материальной точки, тела в четырехмерной системе отсчета задается с помощью координат: x, у, z, и t (x, у, z, - пространственные координаты; t - координата времени, равная: t = ict, где , c - скорость распространения света в вакууме, t - время). При этом x = x₁, у = x₂, z = x₃, и t = ict = x₄.

Четырехмерный радиус-вектор S = S (x₁, x₂, x₃, x₄) - вектор, проведенный из начала координат в мировую точку. Его три проекции на оси x₁, x₂ и x₃ представляют собой обычные координаты материальной точки x, у и z в момент времени , т.е. в момент времени, которым является четвертая проекция вектора S, деленная на ic.

Четырехмерное перемещение D S - вектор, проведенный из начального положения материальной точки в конечное. Первые три проекции этого вектора Dx, Dу, Dz отображают перемещение материальной точки в обычном пространстве, а четвертая проекция, деленная на ic, равна Dt.

Пространственно-временной интервал между двумя событиями - расстояние между двумя точками (событиями) в четырехмерном пространстве:

. (1.189)

Бесконечно-малый промежуток времени между двумя событиями dt - время, которое отметят часы, находящиеся на теле, в то время как часы системы, по отношению к которой тело движется со скоростью v, отметят время dt:

, (1.190)

где b = v²/c².

Скорость в четырехмерной системе отсчета - четырехмерный вектор, первые три проекции которого в отличаются от обычных проекций v_x, v_у и v_z v. Четвертая проекция - мнимая величина, не имеющая физического смысла:

. (1.191)

Ускорение в четырехмерной системе отсчета:

. (1.192)

Кинематические уравнения движения в четырехмерном системе отсчета (по известному а (t) можно найти v (t) и S (t)):

, . (1.193)

Формулы преобразования координат при переходе из одной системы отсчета в другую (преобразования Г.А. Лоренца):

а) обратные ; у = у^'; z = z^'; ; (1.194)

б) прямые ; у = у^'; z = z^'; . (1.195)

Следствия из преобразований Лоренца:

а) Закон сложения скоростей (в частном случае, когда скорость " u" направлена вдоль оси OX):

. (1.196)

б) Сокращение продольных движущихся масштабов длин (лоренцево сокращение):

; , (1.197)

где l₀ - длина стержня в той системе отсчета, в которой он покоится;

l - длина стержня в системе отсчета, движущейся относительно стержня.

t₁^' = t₂^'.

в) Замедление хода движущихся часов:

; , (1.198)

где τ ₀ = t₂^' - t₁^' - промежуток времени, прошедший между этими событиями, в подвижной системе К^';

τ = t₂ - t₁ - промежуток времени, прошедший между этими событиями, в неподвижной системе К.

Первый закон Ньютона в специальной теории относительности устанавливает существование в природе систем отсчета, сколь угодно близких к инерциальным системам отсчета. Такими системами отсчета являются те, в которых свободное тело не имеет по отношению к ним ускорения.

Зависимость массы от скорости:

, (1.199)

где m - масса движущегося тела;

m₀ - масса покоя.