Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Уравнение Рейнольдса для смазочного слоя





Схема на рис.16.1 представляет задачу о вычислении несущей способности клиновидного слоя смазки вязкостью μ. Ламинарное течение жидкости в клиновом зазоре вызвано движением со скоростью U горизонтальной твердой плоскости относительно неподвижной пластины. Пластина единичной ширины расположена под малым углом к оси Х и образует величины зазоров h1 и h0 на входе и выходе из слоя смазки . Вертикальная ось У размещена на выходе из клинового зазора, длиной а. На схеме обозначены эпюры распределения давлений Р(х) и скоростей V(X,y) жидкости в пределах смазочного клина.

Рассматриваемая схема соответствует течению в подпятниках и подшипниках скольжения и разъясняет механизм формирования несущей способности смазочного слоя.

1. Геометрия течения описывается зависимостью высоты смазочного слоя от координаты Х:

 

h(х) = h0 (1+ β х), (16.1)

 

где β= (h1 - h0)/ аh0 = (к-1)/а.

2. Выделяя в зазоре бесконечно малый объем жидкости 1dхdy, на который действуют силы распределенного по длине Х давления Р(х) и силы вязкого трения τ(х,у), запишем уравнение движения. Поскольку движение частиц жидкости происходит практически без ускорения и только вдоль оси Х то это уравнение отражает равенство нулю суммы проекций сил на ось Х:

Р(х)1dy - [Р(х) +(/dx) dx]1dy + [τ +(dτ/ dy) dy] 1 - τ1 = 0,

 

или: - dР(х)/dx + (dτ/dy) dy =0. (16.2)

 

Согласно закону вязкого трения: τ(х,у) = μ dV(X,y)/ dy и 16.2 приобретает вид:

 

dР(х)/dx = μ d2V(х,,y)/ dy2).(16.3)

 

В этом уравнении учитывается сложное распределение скоростей частиц жидкости в масляном клине, поэтому V(X,y) записывается как функция обеих координат.

 

 

 


3. Вычислим функцию V(X,y) дважды интегрируя 16.3 по переменной у с учетом граничных условий V(X,y) = - U при у=0 и V(X,y) = 0 при у= h(х).

 

V(X,y)= (/dx) y2/2μ + С1 y + С2,

При этом:

 

С2= - U, С1 =U / h(х) - [(/dx)] h(х)/2μ.

 

Распределение скоростей в масляном клине в явном виде зависит от координаты У, а от Х неявночерез градиент давления /dx) и h(х):

 

V(X,y) = (/dx) y2/2μ + {U / h(х) - [(/dx)] h(х) / 2μ} y – U. (16.4)

 

4. Для определения /dx воспользуемся уравнением сохранения массы и вычислим объемный расход жидкости в клине Q путем интегрирования 16.4 по у от нуля до h(х):

 

Q(х)= V(X,y) dy = h3(х)(/dx)/6μ+{U / h(х) - h(х)[(/dx)]/2μ}0,5h2(х)- U h(х)=

= - 0,5 U h(х) – h3(х)[(dР)/dx)]/12 μ = С3 = Const=- 0,5 U h*. (16.5)

 

Из очевидного постоянства Q(х) следует его равенство С3 = - 0,5 U h*, где h* - высота клина при координате Х= ХМАХ, где эпюра давления имеет максимум, т.е. dР(х)/dx=0.

5. Производная dР(х)/dx , как это следует из 16.5 равна:

 

dР(х)/dx =U [h* - h(х)]/ h3(х),

 

а для заданной геометрии масляного клина выражается через 16.1 в явном виде и называется уравнением Рейнольдса:

 

dР(х)/dx =U β( ХМАХ - Х)/ h30 (1 + β Х )3 . (16.6)

 

6. Получаемая интегрированием 16.6 функция Р(х):

 

Р(х)= (6μ U β /h30) ∫(ХМАХ - Х)/ (1 + β Х )3 dx + С4. (16.7)

 

содержит две постоянные - ХМАХ и С4. Определяя последние через 2 граничных условия: Р(х)=0 при Х=0 и Х=а, после вычислений и преобразований имеем:

 

С4= 6μ U β (β ХМАХ - 1) / 2 β2 h20) , ХМАХ = а/(к - 1), (16.8)

 

Р(х)= [6μ U α /h20] Х(к - 1)( а- Х ) / (к + 1) [а + Х(к - 1)]2. (16.9)

 

Зная закон распределения давления Р(х) легко получить координату центра давления.

7. Грузоподъемность смазочного клина единичной ширины G вычисляется интегрированием 16.9 в пределах от 0 до а:

 

G = - Р(х) dx = [6μ U α /(к - 1)2 h20] [ - lnк+ 2(к - 1)/ (к + 1)]. (16.10)

 

 

Исследуя полученную функцию, нетрудно видеть, что предельное значение грузоподъемности при заданных μ, U и геометрии (β, к) определяется величиной h0. Режим жидкостной смазки возможен только при h0 большей, чем удвоенная высота профиля шероховатостей поверхностей пяты и подпятника. Это лимитирует грузоподъемность устройства.

Практика инженерных расчетов опор скольжения использует более сложные расчетные схемы. учитывающие конечность поперечных размеров, кривизну поверхностей, тепловыделение и т.д.

 






Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 244. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия