Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Уравнения касательной и нормали к плоской кривой





 

Пусть дана функция y=f(x). К графику этой функции (рис.5) проведена касательная в точке М0(х0;у0). Угловой коэффициент касательной в точке М0 равен значению производной функции f(x) в точке х0, то есть k=tgj=f′(x0).

Уравнение касательной, проходящей

через точку М0(х0;у0), имеет вид:

у-у0= f′(x0)(х-х0).

Прямая, перпендикулярная к

касательной и проходящая через

точку М0, называется нормалью.

Уравнение нормали в точке М0(х0;у0):

у-у0= (х-х0).

_________________

4.4.1. Написать уравнения касательной и нормали к данным кривым в заданной точке:

а) у=х2-4х+3, х0=-1; б) у=х2е, х0=1;

в) у=-х2+6х-5

в точках пересечения с осью ОY.

Ответ: а) у=-6х+2; б) ; в) у=6х-5;

; у=-е+е+ ; -5.

4.4.2. В каких точках касательные к кривой параллельны прямой у=2х-1?

Ответ: (3;-2); (-1; 2/3).

4.4.3. Найти площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции в точке х0=-1.

Ответ: 4,5.

4.4.4. Через точку М(1;1) походят две касательные к графику функции f(x)=2x2+4x+3. Найти сумму абсцисс точек касания.

Ответ: 2.

4.4.5. Написать уравнения касательных к окружности х2+у2+4х-4у+3-0 в точках пересечения ее с осью ОХ. Построить окружность и касательные.

Ответ: 2у=-х-3; 2у=х+1.

4.4.6. Найти точки пересечения нормали гиперболы х2-у2=9, проведенной из точки М(5;4) с асимптотами.

Ответ: ; (40;40).

_____________

 

4.4.7. Написать уравнения касательной и нормали к кривым:

а) у=х3, х0= -2; б) у=2х-х2 в точках пересечения кривой с осью ОХ;

в) у=2х2-5, у=х2-3х+5 в точках пересечения этих кривых.

Ответ: а) у=12х+24; б) у=2х; у=-2х+4;

; ; ;

в) у=8х-16; у= ; у=-20х-100; у= ; у=х-2; у= -х+2; у= -13х-65; у= .

4.4.8. В каких точках касательные к кривой перпендикулярны к прямой у=2х-5?

Ответ: (0;-1); (-2;3).

4.4.9. Написать уравнения касательных к астроиде х2/3+у2/3=а2/3 в точках пересечения ее с прямой у=х.

Ответ: .

 






Дата добавления: 2014-10-22; просмотров: 828. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.006 сек.) русская версия | украинская версия