Решение задач 1-3 контрольной работы № 1
Задача 1. Решить задачу, пользуясь диаграммой Эйлера-Венна. Группа туристов из 100 человек пробыла в городе N три дня. За это время драматический театр посетили 28 туристов, оперный – 42, кукольный – 30. И в драматическом, и в оперном побывало 10 человек; в драматическом и кукольном – 8; в оперном и кукольном – 5. Все три театра посетили три человека. Сколько туристов не были ни в одном театре? Решение. В задаче идет речь о трех множествах Д, О, К – зрителей драмы, оперы и кукольного спектакля соответственно. Универсальное множество U – это множество туристов группы. Используя обозначение – количество элементов множества Х, запишем кратко условие задачи: U
В задаче требуется найти . Перенесем эти данные на диаграмму Эйлера-Венна. Разметку диаграммы начинаем с множества – здесь три элемента. В множестве - 10 элементов, но три из них уже учтены. Оставшиеся 7 элементов проставляем на диаграмме и т.д.
Теперь на диаграмме (рис. 1.6) все элементы учтены ровно по одному разу, следовательно, количество туристов, которые побывали хотя бы в одном театре, равно
Количество туристов, не побывавших ни в одном театре U Ответ: не были ни в одном театре 20 человек. Задача 2. Задано универсальное множество U и множества . Перечислить элементы множества . Записать булеан множества Х, какое-либо разбиение множества Y, покрытие множества Z. Решение. Для нахождения множества W выполним операции над множествами в следующем порядке: 1) - по определению операции дополнения; 2) - по определению операции пере-сечения множеств; 3) . Итак, Для построения булеана множества X воспользуемся двоичной записью числа. Если множество X содержит n элементов, его булеан содержит подмножеств – в нашем случае 8 подмножеств. Будем записывать номер подмножества трехразрядным двоичным числом от 0 до 7, включая в подмножество только те элементы, которым соответствует единица в двоичном разряде (табл. 1.2).
Таблица 1.2 Булеан множества X
Итак, в булеан множества Х включаем пустое множество, само множество Х, все одноэлементные подмножества, все двухэлементные подмножества множества Х: B Æ, . Для множества Y построим разбиение, состоящее из трех блоков R , например, таким образом:
Определение разбиения выполняется: множества не пусты, не пересекаются ( Æ, Æ, Æ), их объединение равно множеству Y:
Для построения покрытия выберем подмножества и . Полученная система множеств P состоит из двух блоков, объединение которых равно множеству Z: . Задача 3. Упростить выражение, пользуясь законами алгебры множеств: . Решение. Договоримся считать, что операция пересечения множеств имеет более высокий приоритет, чем объединение множеств, т.е., если нет скобок, изменяющих приоритет, вначале выполняется пересечение, а затем объединение. Пользуясь этим правилом и законом ассоциативности, определим порядок действий: . Выполним преобразования, указывая номер закона (табл. 1.1) над знаком равенства: 1) ; 2) ; 3) Ответ: . Задача 4 контрольной работы 1 выполняется аналогично доказательству закона дистрибутивности (1.1) в подразделе 1.1.7.
1.1.9. Контрольные вопросы и упражнения
1. Вставьте обозначения числовых множеств: ____ - множество натуральных чисел; ____ - множество целых чисел; ____ - множество рациональных чисел; ____ - множество действительных чисел. 2. Вставьте пропущенный знак Î или Ï: 117 ____ N; 22, 4 ____ Z; 4/3 ____ Q; ____ Q; ____ R; p ____ Z.
3. Принадлежит ли множеству корней уравнения число ? 4. Какими способами можно задать множество? 5. Запишите множество действительных корней уравнения . Как записать ответ, если требуется найти множество целых корней этого уравнения? 6. Что такое подмножество данного множества? Какой символ используется для записи “множество А является подмножеством множества В ”? Запишите его: А ____ В. 7. Вставьте пропущенный символ Î или Í: 1 ____ {1, 2, 3}; {1}____ {1, 2, 3}; Æ ____ {1, 2, 3}; {2, 3}____ {1, 2, 3}. 8. Обведите кружком номер правильного ответа: Множество всех элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В, называется: 1) объединением множеств А и В; 2) пересечением множеств А и В; 3) разностью множеств А и В. 9. Вставьте пропущенные знаки операций над множествами: ___ ; ___ ; ___ . 10. Что такое булеан множества Х? 11. Является ли булеаном множества система подмножеств ? 12. Является ли разбиением множества система подмножеств ? Является ли она покрытием данного множества? 13. Нарисуйте диаграмму Эйлера – Венна для множества . Нарисуйте диаграмму для . Сравните заштрихованную часть на обеих диаграммах. Как называется закон, который Вы проиллюстрировали? 14. Нарисуйте диаграммы Эйлера – Венна для левой и правой частей закона де Моргана. Сравните их. 15. Запишите законы алгебры множеств. Запомните их названия.
|