Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Элементы комбинаторики





Размещения: Пусть из множества элементов выбираются элементов. Такая комбинация с учетом порядка записи и называется размещением. Число размещений определяется формулой

ПРИМЕР: Сколькими способами можно набрать семизначный номер телефона, если все цифры разные?

Перестановка – произвольная упорядоченная запись элементов. Число перестановок определяется формулой

Выпишем перестановки из трех элементов.

ПРИМЕР: Сколькими способами можно разместить четверых гостей и хозяина за столом?

Сочетания. Пусть из множества элементов выбираются элементов. Любая такая комбинация без учета порядка записи и называется сочетанием. Число сочетаний равно

ПРИМЕР: Сколькими способами можно из 20 присяжных отобрать трех для участия в судебном процессе?

Алгебра событий.

Пространством элементарных событий называется множество всех элементарных исходов, относящихся к заданному опыту.

Суммой (или объединением ) двух событий называется событие, которому благоприятствуют исходы, благоприятствующие событиям или .

 
 

 


 

 

 

ПРИМЕР. При подбрасывании игрального кубика событие - выпало четное число, является суммой трех событий: - выпала “2”; - выпала “4”; - выпала “6”.

 

События и называются несовместными, если нет элементарных исходов, благоприятствующих этим двум событиям одновременно.

ПРИМЕР. При подбрасывании игрального кубика событие - выпало четное число и событие - выпала “3” несовместны, а события - выпало нечетное число и - выпала “5” совместные.

ТЕОРЕМА. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

ПРИМЕР. В урне находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих одинаковых по размеру шаров. Какова вероятность, что шар, случайным образом извлеченный из урны, будет цветным (не белым)?

Пусть событие - извлечение красного шара,

событие - извлечение синего шара.

Событие - извлечение цветного шара.

Так как события и несовместны (извлекается только один шар), то по теореме сложения

Произведением (или пересечением ) двух событий называется событие, которому благоприятствуют исходы, благоприятствующие одновременно событиям и .

 

 

ПРИМЕР. При подбрасывании игрального кубика событие - выпало “5”, ¾ является произведением двух событий: события - выпало нечетное число очков; и события - выпало больше трех очков.

Событие называется противоположным событию , если событию благоприятствуют все те элементарные исходы, которые не являются благоприятствующими для события .

 

 

 

 

ПРИМЕР. При подбрасывании игрального кубика событие - выпало четное число очков, является противоположным событию - выпало нечетное число очков.

ТЕОРЕМА. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

ПРИМЕР. Если вероятность попадания в цель при одном выстреле , то вероятность промаха

.

ЗАДАЧА. При проверке качества деталей, выпущенных на заводе, в среднем из 100 деталей оказывается 85 деталей первого сорта и 10 деталей второго сорта. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется бракованной.

- деталь качественная,

- деталь бракованная,

- деталь первого сорта,

- деталь второго сорта.

Вероятности событий и нам заданы

Найдем вероятность того, что деталь бракованная.

ТЕОРЕМА. Если события и совместны, вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

ЗАДАЧА. Из 20 студентов группы 5 не сдали экзамен по математике, 4 – по информатике, причем 3 получили двойки по двум предметам. Какова вероятность, что случайно выбранный студент будет успевающим?

- студент не имеет двоек,

- студент имеет двойку по математике,

- студент имеет двойку по информатике.

Вероятности событий известны

Тогда вероятность того, что случайно выбранный студент будет неуспевающим

А нам необходимо найти вероятность противоположного события. Так как получим

Условная вероятность.

Иногда необходимо определить вероятность случайного события , при условии что произошло. То, что произошло, сужает пространство элементарных исходов.

Пусть множество состоит из равновозможных исходов. Событию благоприятствуют исходов, событию благоприятствуют исходов. Тогда

Условная вероятность события , при условии что произошло есть вероятность события в новом вероятностном пространстве . Условная вероятность обозначается как или .

Если событие произошло, реализовался один из исходов. То есть множеством всех элементарных исходов для будет , а множеством благоприятных исходов .

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА. Из 30 экзаменационных билетов студент знает 25. Если он отказался отвечать по первому билету, ему разрешают взять второй. Определить вероятность того, что второй билет ему известен.

РЕШЕНИЕ. Пусть событие - первый билет “плохой”

событие - второй билет “хороший”.

Если произошло событие , из 30 билетов осталось 29, причем известных студенту по-прежнему 25.

ТЕОРЕМА. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого, при условии, что первое уже произошло.

Эта теорема может быть обобщена на любое число множителей.

 

ЗАДАЧА. Студент знает 25 из 30 экзаменационных вопросов. Экзамен сдан, если он ответит на три вопроса билета.

РЕШЕНИЕ. Пусть событие - ответил на первый вопрос,

- ответил на второй вопрос,

- ответил на третий вопрос.

 

События и называются независимыми, если условная вероятность при условии наступления события равна безусловной.

ТЕОРЕМА. Если события и независимы, вероятность их произведения равна произведению вероятностей.

ЗАДАЧА. Двумя стрелками производится по одному выстрелу по мишени. Вероятности попадания 0,8 и 0,9 соответственно. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в мишень.

РЕШЕНИЕ. События - попадание первого стрелка, и - попадание второго стрелка, независимы, Таким образом

Формула полной вероятности.

Система событий называется полной группой событий для данного испытания, если любым исходом опыта является одно и только одно событие этой группы. Таким образом, событие достоверно, то есть , и события и попарно несовместны, то есть .

 

 

 

Пусть событие может произойти в результате появления одного и только одного события из полной группы событий. События этой группы обычно называют гипотезами.

ТЕОРЕМА. Вероятность события равна сумме произведений вероятностей всех гипотез, образующих полную группу, на соответствующие вероятности события .

 

ЗАДАЧА. В партии из 600 электрических лампочек 200 лампочек изготовлены на первом заводе, 250 на втором и 150 на третьем. Известны также вероятности 0.95, 0.91, 0.93 того, что лампочка окажется стандартного качества при изготовлении её соответственно первым, вторым и третьим заводами. Какова вероятность, что наудачу выбранная из данной партии лампочка окажется стандартной?

РЕШЕНИЕ. Пусть событие - лампочка оказалась стандартной.

Событие может произойти, если выполнена одна из гипотез.

- лампочка изготовлена на первом заводе,

- на втором заводе,

- на третьем заводе.

Вероятности гипотез:

.

Условные вероятности события :

Тогда полная вероятность события равна

Формула Байеса.

Имеется полная группа несовместных гипотез , вероятности которых известны до опыта (априори). Производится опыт, в результате которого зарегистрировано появление события , причем этому событию гипотезы приписывали определенные вероятности . Необходимо переоценить вероятности гипотез после опыта (апостериори), то есть нужно определить условные вероятности .

По теореме умножения вероятностей имеем:

.

Отсюда следует, что

,

где находим по формуле полной вероятности.

ЗАДАЧА. Пусть при массовом производстве некоторого изделия вероятность того, что оно окажется стандартным, 0.95. Для контроля производится проверка стандартности, которая даёт положительный результат в 99% случаев для стандартных изделий и в 3% случаев для нестандартных. Какова вероятность стандартности изделия, выдержавшего проверку?

РЕШЕНИЕ. Событие - изделие выдержало проверку. Событие может произойти, если выполнена одна из гипотез.

- изделие стандартное,

- изделие нестандартное.

Вероятности гипотез:

.

Условные вероятности события :

Тогда полная вероятность события

Повторение опытов.

Пусть производится серия испытаний. В результате каждого отдельного опыта событие А появляется с определенной вероятностью. Нас интересует число появлений события А в серии. Пусть опыты независимы и вероятность появления события А в каждом опыте постоянна.

Схема Бернулли.

Поскольку вероятность представляется членами разложения бинома , то распределение называется биномиальным.

Задача. Вероятность заболеть гриппом равна 0,4. Найти наивероятнейшее число заболеваний гриппом из 5 сотрудников отдела.

Решение.

.

,

,

,

,

.

Таким образом, с наибольшей вероятностью заболеет 2 сотрудника.

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Вычисление вероятности по формуле Бернулли становится затруднительным при больших , поскольку . Поэтому на практике применяют приближенные формулы. Одна из них формула Муавра-Лапласа.

где

Функция - четная: ; достигает максимума в точке . При этом быстро стремится к нулю с увеличением абсолютной величины :

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА. Найти вероятность того, что событие наступит 75 раз в 400 испытаниях, если .

РЕШЕНИЕ.

 

Сравним с точным значением

.

Интегральная формула Муавра-Лапласа.

Если нас интересует вероятность того, что в серии из испытаний событие появится не менее и не более раз, то

где

Здесь - функция Лапласа. Функция нечетная . При возрастании от 0 до функция быстро возрастает почти до 0,5. , . Можно считать при всех .

 

 

 

 

ЗАДАЧА. Вероятность того, что зашедший в ресторан посетитель сделает заказ равна 0,8. Определить вероятность того, что из 100 зашедших не менее 75 сделают заказ.

РЕШЕНИЕ.

Закон редких явлений Пуассона.

Если вероятность появления события мала , а число испытаний велико , то для приближенного вычисления используем закон Пуассона. Положим . Тогда

Закон Пуассона дает хорошее приближение при .

ЗАДАЧА. Завод отправил на базу партию в 500 изделий. Вероятность повреждения в пути 0,002. Найти вероятность прибытия не более трех негодных изделий.

РЕШЕНИЕ.

Сравним с точным значением:

Случайные величины.

Случайная величина – это величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение случайным образом с некоторой вероятностью.

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.

Дискретная случайная величина – это величина, число возможных значений которой конечно или счётно. Например, число попаданий при трех выстрелах(0,1,2,3) или число вызовов, поступивших на телефонную станцию за сутки (0,1,2,3,4,…).

Непрерывная случайная величина – величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток. Например, вес наугад взятого зерна пшеницы или скорость самолета в момент выхода на заданную высоту.

Случайные величины обозначают , а значения случайных величин .

Закон распределения случайной величины – это всякое соответствие, устанавливающее связь между значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.

Дискретные случайные величины.

Рассмотрим дискретную случайную величину (ДСВ) с возможными значениями . Каждое значение возможно, но не достоверно. Величина может принять каждое значение с некоторой вероятностью.

В результате опыта ДСВ примет одно из этих значений, которые несовместны и образуют полную группу.

Простейшая форма задания значений случайной величины и соответствующих вероятностей – это таблица, которая называется ряд распределения ДСВ .

X ¼
p ¼

Для наглядности можно по оси абсцисс отложить значения случайной величины, а по оси ординат соответствующие вероятности и соединить полученные точки.

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА. Вероятность того, что необходимая студенту книга свободна 0,7. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если всего в городе их четыре.

РЕШЕНИЕ. ,

,

X
P 0.7 0,21 0,063 0,027

Числовые характеристики дискретных

случайных величин.

Математическое ожидание.

Математическое ожидание ДСВ – число равное сумме произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности.

Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание от постоянной величины равно самой этой величине.

2. Математическое ожидание от мат. ожидания равно мат. ожиданию.

3. Постоянную можно вынести за знак математического ожидания.

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме мат. ожиданий этих случайных величин.

5. Математическое ожидание произведения двух независимых величин равно произведению мат. ожиданий.

ЗАДАЧА. Найти мат. ожидание суммы очков при подбрасывании двух игральных костей.

РЕШЕНИЕ. Первый способ. Пусть - сумма очков на двух костях.

Второй способ. Пусть - число очков на первом игральном кубике, - число очков на втором.

Мода.

Мода дискретной случайной величины – это то её значение, которому соответствует большая вероятность.

В задаче .

ПРИМЕР.

0,3 0,5 0,2

Медиана.

Медиана – то значение случ. величины, для которой выполняется условие:

ПРИМЕР.

0,2 0,2 0,2 0,1 0,2 0,1

Дисперсия.

Рассмотрим случайную величину

(центрированная случайная величина). Для нее имеем:

Определение. Дисперсия сл. величины есть мат. ожидание квадрата случ. величины , то есть

Û

Закон распределения имеет вид

Для , следовательно, получаем

Поэтому

Свойства дисперсии.

1) Если , то :

2) Для произвольной константы

3) Для суммы независимых случайных величин и

4) Для произвольной с.в. имеет место соотношение

Пример. Найти дисперсию дискретной с.в., заданной законом распределения

0.3 0.2 0.5

Решение.

Если использовать вторую формулу, получим

Среднее квадратичное отклонение.

Устраняет разницу в единицах измерения между математическим ожиданием и дисперсией.

Интегральная функция распределения вероятности.

Пусть задана случайная величина и - любое действительное число. Вероятность того, что случайная величина примет значение меньше называется интегральной функцией распределения СВ .

Свойства.

1. Значения интегральной функции удовлетворяют неравенству .

2. Интегральная функция является неубывающей функцией.

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала , равно приращению интегральной функции на этом интервале.

4. Если все значения случайной величины принадлежат интервалу , то интегральная функция

5.

ПРИМЕР. Построить интегральную функцию распределения для случайной величины, заданной рядом распределения.

0.2 0.3 0.4 0.1

 

0.9

 

0.5

0.2

 

1 2 3 4

 

 

Непрерывные случайные величины.

Вероятность попадания НСВ в точку равна 0.

Вероятности того, что НСВ будет принимать значения на отрезке и на интервале , одинаковы.

Дифференциальная функция распределения

(плотность вероятности).

Пусть функция непрерывна и дифференцируема. Тогда первая производная интегральной функции и называется дифференциальной функцией.

Свойства.

1. Дифференциальная функция неотрицательна.

так как неубывающая.

2. Вероятность попадания случайной величины в промежуток равна интегралу от диф. функции по этому промежутку.

3.

4. Интегральную функцию можно найти, если взять интеграл с переменным верхним пределом от дифференциальной функции.

ПРИМЕР. СВ распределена с плотностью

Найти:

1) параметр ,

2) интегр. функцию ,

3) вероятность того, что случайная величина примет значение в промежутке ,

4) построить графики функций и .

РЕШЕНИЕ. 1)

2) При ,

при ,

при .

3)

 

4)

1 1

 

 

0 3 0 3

 

 

Математическое ожидание и дисперсия

непрерывных случайных величин.

ПРИМЕР. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение для случайной величины, заданной плотностью вероятности из предыдущей задачи.

Решение. Найдем мат. ожидание как определенный интеграл в пределах от 0 до 3 , так как вне этого интервала .

Теперь найдем дисперсию случайной величины.

Найдем среднее квадратичное отклонение.

ЗАДАЧА. НСВ задана интегральной функцией распределения вероятностей.

Найти плотность вероятности, построить графики функций и , вычислить мат. ожидание и дисперсию, найти вероятность попадания СВ в промежуток .

Решение. Найдем плотность вероятности.

 

 

 

 

Равномерное распределение.

Пусть плотность вероятности является постоянной. на интервале и вне этого интервала.






Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 326. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.421 сек.) русская версия | украинская версия