Метод построения законов распределения статистикИдентификация случайных процессов, экспресс-оценка момента их «разладки» и прогнозирование дальнейшего их развития на основе первых наблюдений может быть сведена к процедуре проверки статистических гипотез. В соответствии с этим в тестах проверки небольших последовательностей случайных чисел (коротких динамических рядов) необходимо использование некоторых функций от наблюдаемых случайных величин по терминологии Р.Фишера (статистик), законов их распределений и критериев проверки гипотез. Многие вводимые далее в рассмотрение статистики имеют форму , где и независимые случайные величины и . Обозначим их функции распределения через и , а их плотности через и соответственно. Так как величина предполагается положительной, то сосредоточена на интервале , и поэтому , (1) дифференцируя, находим, что отношение обладает плотностью . (2) Такой прием называется рандомизацией [12] и означает рассмотрение знаменателя величины как случайной величины . Используя метод рандомизации, докажем ряд теорем, которые окажутся полезными в дальнейших приложениях. Теорема 1. Пусть и – независимые случайные величины, плотности которых имеют вид (3) и , (4) тогда отношение обладает плотностью . (5) Доказательство. В соответствие с (2) . (6) В последнем выражении интеграл является интегралом от плотности гамма-распределения и, естественно, равен единице. После несложных преобразований соотношение (6) может быть преобразовано в выражение для плотности (5). Теорема доказана. Из теоремы 1. в силу большой общности гамма-распределения вытекает ряд полезных следствий, позволяющих оценить момент разладки простейшего потока, потока Эрланга и др. Так, например, если отношение представляет собой отношение двух показательно распределенных случайных независимых величин с параметром , то плотность их отношения имеет вид . (7) Если случайная величина распределена по экспоненциальному закону с параметром , а величина распределена по экспоненциальному закону с параметром , то плотность их отношения имеет вид , (8) где .
|