Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Черкаси 2009 7 страница





(9.13)

Коректор отримуємо аналогічно. На цьому етапі використаємо значення pk+1. Будуємо інший поліном Лагранжа для функції f(t,y(t)) по точках (tk-1, fk-1), (tk, fk) і у новій точці (tk+1, fk+1) = (tk+1, f(tk+1,pk+1)). Інтегруємо поліномом на відрізку [t k-1, tk+1] і в результаті отримаємо відому формулу Сімпсона:

(9.14)

Оцінка помилки та корекція. Залишкова складова формули чисельного інтегрування використовується для отримання як прогнозу, так і коректору порядку О(h5). Остаточна загальна помилка (О.З.П.) для формул (9.13) та (9.14) дорівнює

(О.З.П. для прогнозу) (9.15)

(О.З.П. для коректора) (9.16)

Припустимо, що крок h настільки малий, що y(5)(t) майже стала на інтервалі . Тоді із формул (9.15) і (9.16) можемо виключити елементи, які містять похідну п’ятого порядкую, і в результаті отримати формулу:

(9.17)

Формула (9.17) дає оцінку прогнозу, яка ґрунтується на обчисленні значень і і не використовує . Її можна застосовувати для покращення значень прогнозу. Якщо припустити, що різниця між значеннями прогнозу і корекції на кожному кроці змінюється повільно, то можна підставити і замість і в формулу (9.17) і отримати наступний управляючий параметр:

(9.18)

Його значення використовується замість на кроці корекції, і формула (9.14) приймає вигляд:

(9.19)

Таким чином, в покращеному модифікованому методі Мілна-Сімпсона послідовно використовуються наступні формули:

(прогноз)

(управляючий параметр)

(9.20)

(коректор)

 

9.3. Метод Хеммінга

 

Ще один важливий метод для розв’язання задачі Коші y’=f(t,y) з початковою умовою y(a)=y0 на інтервалі [a, b] – метод Хеммінга. Прогноз, як і в попередніх методах, базується на наближенні поліномом Лагранжа для . Він побудований по точкам та . При інтегруванні отриму­ємо прогноз Хеммінга:

(9.21)

Коректор отримуємо, будуючи другий поліном Лагранжа для функції f(t,y(t)) по точках (tk-1, fk-1), (tk, fk) і у новій точці (tk+1, fk+1) = (tk+1, f(tk+1,pk+1)). В результаті одержуємо формулу:

(9.22)

Управляючий параметр:

(9.23)

 

9.4. Обмеження при застосуванні методів прогнозу-корекції

Методи прогнозу корекції при великому кроці розрахунку можуть бути не стійкими. При таких розрахунках похибка ітерації збільшується від кроку до кроку, що і обумовлює нестійкість. Для забезпечення стійкості розглянутих методів потрібно корегувати крок на етапі його вибору. З умови стійкості метод крок вибирається за нерівностями [5]:

 

(9.24)

 

Методи Адамса-Бешфорса-Мултона і Хемінга дозволяють отримати результати з високим рівнем точності за невелику кількість кроків, тобто швидко збігаються до розв‘язку. Метод Сімпсона застосовують переважно, коли розв‘язок рівняння є негладкою функцією.

 

Наведемо приклад розв‘язання задачі Коші для рівняння з початковими умовами y(0) = 1 на інтервалі [0;10]. Всі три розглянуті вище багатокрокові методи мають порядок похибки розв‘язку О(h4). Побудуємо графіки розв‘язків рівняння при мінімальній (меншій за визначений за критерієм стійкості методу) кількості кроків і при кількості кроків, визначеній за формулами (9.24).

Для методу Адамса-Бешфорса-Маултона:

;

тому N = 65 (рис. 9.3).

*// У прикладі

Рис. 9.3. Розв‘язок задачі за методом Адамса-Бешфорса-Маултона.

 

Для методу Мілна-Сімпсона:

;

тому N = 110 (рис. 9.4).

 

Рис. 9.4. Розв‘язок задачі за методом Мілна-Сімпсона.

 

Для методу Хемінга:

;

тому N = 70 (рис. 9.5).

 

 

Рис. 9.5. Розв‘язок задачі за методом Хемінга.

 

Таким чином, з прикладу видно, що при порушенні умов обмеження кроку розв‘язок втрачає стійкість, що не дозволяє довіряти отриманим результатам.

 

Контрольні питання

1. В чому полягає суть багатокрокових методів розв‘язання диференційних рівнянь в частинних похідних?

2. Яка роль управляючого параметра у підвищенні точності багатокрокового методу розв‘язання диференційних рівнянь в частинних похідних?

3. Які обмеження мають вхідні параметри багатокрокових методів? Чим викликані дані обмеження?

4. Який з методів, розглянутих у розділі є найбільш ефективним для рівнянь з розв‘язком, що представлений гладкою функцією?

5. Яку точність розв’язків забезпечують методи прогнозу-корекції?


Розділ 10. Крайові задачі для звичайних диференційних рівнянь. Методи сіток

 

10.1. Основні поняття

Для знаходження єдиного розв‘язку диференційного рівняння потрібно задати певні допоміжні умови, що використовуються для обчислення інтегралу (при класичному представленні розв‘язку диференційного рівняння). Для рівняння n-го порядку мінімально необхідні n таких умов. Якщо умови задані для одного значення незалежної змінної (тобто для абсциси х0 чи хN одного з кінців відрізку розв‘язання задачі), то це початкові умови для розв‘язання задачі Коші. Якщо ж додаткові умови передбачені для значень хі на різних кінцях відрізку, то маємо диференційну крайову задачу і граничні умови для її розв‘язання.

Щоб розв‘язати звичайне диференційне рівняння, що моделює конкретний неперервний процес, необхідно знати такі допоміжні умови:

- початкові умови, так для рівняння , розв‘язок якого потрібно знайти на відрізку [x0, xn], початкову умову можемо записати у вигляді ;

- граничні умови, тобто для рівняння , розв‘язок якого потрібно знайти на відрізку [x0, xn], граничними умовами вважаються y(x0)=y0 та y(xn)=yn .

Крайова диференційна задача пошуку часткового розв‘язку диференційного рівняння. Для двоточкової крайової задачі диференційне рівняння другого порядку запишемо у вигляді:

(10.1)

з крайовими умовами

(10.2)

Додаткові умови можуть зв‘язувати між собою значення кількох функцій в різних точках.

Крайова задача може мати єдиний розв‘язок, або навіть не один розв‘язок, а також розв‘язок задачі може не існувати. Тому перед початком розв‘язання крайової задачі потрібно перевірити умови існування розв‘язку задачі. Теорема 10.1 визначає загальні умови існування єдиного розв‘язку диференційної крайової задачі.

Теорема 10.1. Допустимо, що неперервна в області

(10.3)

і що рівняння

(10.4)

теж неперервні на D. Якщо існує постійна М > 0, для якої виконуються умови

(10.5)

то крайова задача (4.1), (4.2) має єдиний розв‘язок у(х) для .

 

У обчислювальній практиці найчастіше зустрічаються доточкові лінійні крайові задачі виду:

(10.6)

з крайовими умовами

(10.7)

де . Умови, яким повинні задовольняти функції p(x), q(x) та f(x) для забезпечення єдиного розв‘язку задачі визначаються наслідком з теореми 10.1.

 

Наслідок теореми 10.1. Якщо p(x) і q(x) неперервні на D і q(x) < 0, то задача (10.6, 10.7) має єдиний розв‘язок на проміжку [a, b].

Частинним випадком доточкової задачі є задача про механічні та електричні коливання, в якій функції p(x), q(x) та f(x) є константами, а незалежною змінною, по якій відбувається диференціювання, є час t.

 

Граничні умови визначають ступінь крайової задачі.

ü Перша крайова задача має умови . (10.8)

ü Друга крайова задача має умови . (10.9)

ü Третя крайова задача записується так:

,(10.10)

за умови, що .

Знаходження розв‘язку крайової задачі у точній (аналітичній формі) значно складніша задача, ніж розв‘язок задачі Коші. Тому для розв‘язування крайових задач розроблено багато наближених методів, що діляться на дві групи:

· наближено-аналітичні методи, які приводять до наближеного розв‘язку крайової задачі на відрізку [a, b] у вигляді аналітичної функції;

· чисельні методи, у яких розв‘язок крайової задачі визначається у вигляді табличної функції, заданої на сітці відрізків .

Розглянемо деякі з методів розв‘язання диференційної крайової задачі.

 

10.2. Методи сіток.

 

При проектуванні технічних об’єктів виникає необхідність аналізу неперервних фізичних, економічних та інших процесів, що описуються диференційними рівняннями в частинних похідних. Це задачі дослідження напруженого стану конструкцій, їх деталей та розрахунки на міцність, розрахунок теплових режимів роботи деталей, вивчення аеро- та гідродинамічних властивостей технічних об’єктів, моделювання зміни курсу валюти в залежності від фінансово-економічних показників, вивчення динаміки змін в чисельності населення залежно від фінансово-економічних та соціально-економічних чинників у державі та багато інших. Для розв’язання таких задач найбільш розповсюдженими є методи сіток.

Сутність цих методів полягає в апроксимації початкової безперервної функції множиною наближених значень, що розраховані в деяких точках області, які називаються вузлами . Сукупність вузлів, з’єднаних певним чином, утворюють сітку, яка є дискретною моделлю області визначення шуканої функції.

За допомогою методів сіток диференційну крайову задачу зводять до системи лілійних або нелінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих вузлових значень функції. Найбільше розповсюдження в сучасних математичних середовищах та системах автоматизованого проектування отримали два методи сіток:

§ метод кінцевих різниць (МКР),

§ метод кінцевих елементів (МКЕ).

 

10.2.1. Метод кінцевих різниць

 

Розглянемо метод кінцевих різниць. Суть методу полягає у заміні похідних диференційного рівняння задачі різницевими аналогами, запису різницевих рівнянь відносно всіх точок області визначення задачі й у розв‘язанні отриманої системи різницевих рівнянь. Порядок розв’язання диференційної крайової задачі МКР можемо відобразити наступними етапами:

1) розбиття області визначення диференційної задачі вузловими точками,

2) заміна похідних у рівнянні, що описує задачу, відповідно до ступеня похідної та місця розташування вузлових точок різницевими аналогами,

3) на основі отриманого в п.2 різницевого рівняння побудова системи різницевих рівнянь відносно всіх точок області визначення,

4) розв‘язок системи різницевих рівнянь з врахуванням граничних умов,

5) представлення результатів розрахунків у зручному для аналізу вигляді (графіка, чи таблиці) та аналіз отриманих розв‘язків.

 

Для заміни похідних використовують ліві, праві і центральні різницеві аналоги. Центральні різницеві аналоги похідних першого – другого порядків представлені рівняннями (10.11) ¸ (10.21):

(10.11)

(10.12)

(10.13)

(10.14)

 

(10.15)

(10.16)

 

(10.17)

 

(10.18)

(10.19)

 

(10.20)

 

(10.21)

 

 

Розглянемо застосування метода кінцевих різниць (МКР) на прикладі стержня, закріпленого у стіні і підігрітого джерелом тепла, що підводиться до вільного кінця стержня. Припустимо, що існує невідома функція температури Ф(х, t), яка відображає нагрів стержня одиничної довжини у продовж часу (рис. 10.3).

 

Рис 10.3. Одновимірний елемент, розбитий вузловими точками.

 

Нагрівання забезпечується зовнішнім джерелом тепла :

j (х) = х (х - 1) (10.22)

Диференційне рівняння, що описує процес розповсюдження тепла у стержні запишемо у вигляді:

(10.23)

В момент часу t граничні умови задачі:

§ при х = 0 температура дорівнює 10×k ;

§ при х = 1 температура дорівнює (k + 1)×40.

 

Потрібно знайти розв’язок початково-крайової задачі :

(10.24)

Різницева апроксимація диференційного рівняння має вигляд:

(10.25)

Приймемо: . Тоді .

Приймемо також

 

Замінивши диференційне рівняння (10.23) різницевим (10.25) і записавши його відносно вузлових точок (рис.10.3) отримаємо систему лінійних рівнянь:

(10.26)

Оскільки вузлових точок 6, а рівнянь в системі 4, використаємо граничні умови задачі. Нехай Ф01 = 10, Ф51 = 80, тобто k = 1. Кожне Фі0 = ni×mi, де ni – відстань в долях відрізка до початку стержня, mi – відстань в долях відрізка до кінця стержня. Наприклад: Ф20 = = .

Побудуємо систему рівнянь:

(10.27)

Приведемо коефіцієнти системи до цілих чисел:

Розв’язати отриману систему цілком можливо одним з точних методів розв‘язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Але ефективніше застосовувати метод прогонки, оскільки система рівнянь є три діагональною.

 

Метод прогонки. Розглянемо лінійну крайову задачу на відрізку :

(10.28)

при , та припустимо, що функції p(x), q(x), f(x) неперервні на [a,b].

Від диференційного рівняння (10.28) перейдемо до кінцево-різницевого. Для цього розіб'ємо відрізок [а,b] на n рівних частин із кроком Покладаючи, що і вводячи позначення: для внутрішніх точок (i=1, 2, ..., n-1) відрізку [a,b] замість диференційного рівняння (10.28) отримаємо систему кінцево-різницевих рівнянь:

де (i=1,2,...,n-1).

Звідси матимемо

(і=1,2, ... , n-1) (10.29)

де (10.30)

Для похідних на кінцях і беремо односторонні похідні:

(10.31)

Згідно граничних умов (10.28) матимемо

(10.32)

Лінійна система диференційних рівнянь (10.28) з граничними умовами (10.32) містить (n + 1) рівняння першого ступеня відносно невідомих . Розв'яжемо її методом прогонки [17]. Знайдемо з рівняння (10.29)

(10.33)

Припустимо, що за допомогою системи (10.28) з граничними умовами (10.32) із рівняння (10.33) виключена невідома . Тоді

, (10.34)

де - деякі коефіцієнти. Аналогічно .

Підставимо цей вираз у (10.29) і отримаємо

звідки

(10.35)

З цього виразу, враховуючи формулу (10.34) отримаємо рекурентні формули

(10.36)

Визначимо і . Із першої граничної умови (10.32) отримаємо

З іншого боку, з формули (10.34) при і=0 маємо

(10.37)

Порівнюючи дві останні нерівності, знаходимо

(10.38)

На основі формул (10.36), (10.38) послідовно визначаються коефіцієнти до і включно, це прямий хід.

Зворотній хід починається із розрахунку значення . Використовуючи другу крайову умову (10.32) і формулу (10.34) при i = n-1, отримаємо систему двох рівнянь

, (10.39)

Розв'язуючи її відносно , будемо мати

(10.40)

Тепер за формулою (10.34) послідовно знаходимо

 

10.2.2. Метод кінцевих елементів

 

Розглянемо диферен­ційну крайову задачу для двовимірного диференційного рівняння з частинними похідними. Розв‘язок задачі, що визначається

(10.35)

будемо шукати у вигляді лінійної комбінації простих однотипних функцій:

(10.36)

що мають вигляд

(10.37)






Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 322. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.034 сек.) русская версия | украинская версия