Рівняння Больцмана та його спрощення

Конкретний вираз оператора T задається в основному типом випромінювання, що використовується в томоґрафії. В ідеальному випадку цей оператор повинен бути інтеґральним оператором Радона: , тобто, щоб виміряні значення p були рівними значенням інтеґралів від функції розподілу речовини всередині об’єкту дослідження по многовиду (прямих). Найближче від такої ідеальної моделі лежить Х-променева томоґрафія, бо Х- фотони (або, як їх ще називають, рентгенівські гама-кванти), якщо знехтувати їх розсіянням на ядрах молекул досліджуваної речовини, вторинними ефектами поширюються прямолінійно. Крім того, ступінь поглинання фотонів при проходження через речовину є інтеґральною характеристикою від лінійного коефіцієнта поглинання Х-променів. Побудувавши відповідну вимірювальну систему, можна добитись досить точної відповідності операторів T та R. Це стало однією з причин побудови історично першим Х- променевого томографа, хоч дослідження проводилися спочатку над радіоактивними випромінюваннями.

Взаємодія Х–випромінювання з речовиною найповніше описується рівнянням переносу (Больцмана) [1]:

, (5.6)

 

де — векторний диференціальний оператор, r — просторові координати, W — кутові координати, Е — енергія частинок (фотонів); — функція розподілу фотонів по простору r, напрямах W та енергіях Е всередині об’єкту; — функція розподілу фотонів від джерела X-випромінювання; f (r, E) — характеристика середовища; — макросічення релеївського та комптонівського розсіювання. Потік фотонів розкладається в ряд Наймана

 

, (5.7)

 

де I_p — потік первинних (нерозсіяних) фотонів, I_n — потік n -кратно розсіяних фотонів.

Для рівняння переносу оператор та функції і набирають вигляду:

, , .

Рівняння Больцмана є рівнянням у частинних похідних першого порядку, стаціонарне. Крайові і граничні умови визначаються схемою сканування, конструкцією джерел випромінювання, властивостями самого біооб’єкта та його розміщенням відносно скануючої системи.

Енергія X-випромінювання в медичній томоґрафії не перевищує 120 кеВ, основну частину (> 99%) становлять однократно розсіяні фотони [2, 3]. Тому рівняння (5.6) спрощується:

 

. (5.8)

 

Для томоґрафів з паралельною схемою сканування, з пристроями (коліматорами) для зменшення ширини пучка фотонів та ослаблення ефектів розсіювання та звуження спектру Х-випромінювання і достатньо високими рівнями енергії вираз взаємодії випромінювання з речовиною описується рівнянням:

 

, (5.9)

 

де c₀ > 0 — потужність джерела випромінювання, r ₀ — його координати, W — напрям колімації, E ₀ — енергія X-фотонів джерела, .

Для двовимірного випадку, розв'язуючи (5.9) відносно і замінивши , де — нормальні координати на площині, отримаємо:

 

, (5.10)

 

де — лінії поширення випромінювання. Як видно з виразу (5.10), кількість зареєстрованих на виході з біооб’єкта фотонів експоненційно залежить від інтеґрального коефіцієнта ослаблення Х-випромінювання вздовж лінії проходження цього випромінювання через біооб’єкт.

Приведемо вираз (5.10) до вигляду основного рівняння томоґрафії. Поділимо праву і ліву його частину на c₀ і пролоґарифмуємо його. Введемо оператор U, що „переводить” в радонівський образ :

 

, (5.11)

 

Отже, отримано лінійну залежність між інтеґральним коефіцієнтом ослабленням Х-випромінювання вздовж лінії його поширення та радонівською проекцією:

 

. (5.12)

 

Многовид кривих задається схемою сканування. Якщо знехтувати n -кратно розсіяними фотонами, то многовид стає наборами паралельних (для випадку схеми сканування з одним детектором), або віялоподібних (для схеми сканування з лінійкою детекторів) ліній. Формула (5.12) є математичним записом перетворення Радона. Задача знаходження оберненого перетворення розв'язана [4, 5].

Формула (5.10) набирає вигляду [6]:

 

, (5.13)

 

коли I залежить від Е (спектр пучка фотонів не моноенергетичний).