Неоднородные уравненияЧастное решение линейного неоднородного разностного уравнения (3) определяется видом его правой части, т.е. функцией . После того как найдено общее решение однородного уравнения (5) и затем частное решение неоднородного уравнения (3) можно записать общее решение линейного неоднородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами , (19) которое зависит от постоянных . Для определения этих постоянных нужно воспользоваться начальными условиями , , …, . С учетом заданных начальных условий и решения уравнения (19) получим систему линейных уравнений (алгебраических) относительно постоянных . Найдя из этой системы уравнений значения этих постоянных, можно записать решение разностного уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным значениям. В зависимости от вида правой части разностного уравнения, т.е. функцией , возможны следующие случаи. Случай 1. Правая часть дискретного разностного уравнения является полиномом независимой переменной степени . . (13) В этом случае частное решение линейного неоднородного уравнения (3) ищется в виде полинома той же степени . , (14) где коэффициенты ,, подлежат определению. Коэффициенты ,, определяются следующим образом: < 1> равенство (14) подставляется в исходное уравнение (3); < 2> в правой части полученного равенства выполняется группировка членов при одинаковых степенях ; < 3> приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях независимой переменной . В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов ,, . Решив ее относительно этих коэффициентов получим частное решение линейного неоднородного уравнения вида (14). Случай 2. Правая часть дискретного разностного уравнения имеет вид , (15) где a - действительное число и не является корнем характеристического уравнения (6). В этом случае частное решение линейного неоднородного уравнения (3) ищется в виде , (16) где коэффициенты ,, подлежат определению. Алгоритм вычисления неопределенных коэффициентов аналогичен алгоритму для случая 1. Случай 3. Правая часть дискретного разностного уравнения имеет вид , (17) где a - действительное число; a является корнем характеристического уравнения (6), причем его кратность равна m. Частное решение неоднородного уравнения (3) ищется в виде , (18) Алгоритм определения неопределенных коэффициентов ,, аналогичен алгоритму для случая 1. Пример. Решить разностное уравнение , при начальных условиях , . Решение. Характеристическое уравнение , , , , . Частное решение неоднородного уравнения , коэффициент подлежит определению: , Подставив последние равенства в исходное разностное уравнение, получаем , , , , . Общее решение однородного уравнения , общее решение линейного неоднородного уравнения , , , ; , , . Получили систему линейных алгебраических уравнений относительно постоянных и , , , , , , . Ответ: .
|