Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Функция нескольких переменных (ошибки косвенных измерений)





Часто встречаются случаи, когда искомая функция зависит от нескольких величин, каждая из которых определяется с ошибкой. Например, объем цилиндра зависит как от радиуса r (или диаметра d), так и от высоты h:

.

Общую функциональную зависимость в этом случае можно представить в виде Если DА и DВ являются отклонениями измеренных значений от истинных параметров, то степень зависимости DZ от них будет также обусловлена частными производными

В этом случае для каждой серии измерений

или .

При этом мы можем указать знак отклонения в большую или меньшую сторону) для DА и DВ. Для данной серии может получиться, что знаки ошибок противоположны и скомпенсируют друг друга, однако это не говорит о большой точности измерения.

Чтобы избежать зависимости от знака ошибки при усреднении по всем сериям, пользуются следующим способом. Возведем в квадрат выражение для DZ:

.

Затем, усреднив по сериям и учитывая, что в связи со случайным, но равновероятным появлением знаков (+) и (–) у DА и DВ , получим

.

Пример. Найдем ошибку в определении объема цилиндра. Сначала определим частные производные:

.

Абсолютная погрешность в определении объема будет:

.

Если Z - функция произвольного числа аргументов, т. е. Z= Z(A,B,D,E....), то среднеквадратичная ошибка среднего , которую мы здесь обозначим как DZ, будет равна:

.

Пользуясь обозначениями дифференциального исчисления, погрешность величины у, представляющей собой функцию от переменных х1, х2, …, хn: у=f(х1, х2, …, хn ), можно записать в виде

,

где Dх1, Dх2, …, Dхn - абсолютные погрешности х1, х2, …, хn соответственно, ¶f/¶x1, ¶f/¶x2, …, ¶f/¶xn – частные производные у по переменным х1, х2, …, хn соответственно. Частная производная функции многих переменных f(х1, х2,…, хn) по одной переменной, допустим х1, является обычной производной функции f по х1, причем, другие переменные х2, …, хn считаются постоянными величинами. Все производные вычисляются при значениях х1 = х1ср, х2 = х2ср, …, хn = хnср.

Относительную погрешность величины у можно вычислить согласно формуле:

.

Поскольку , то для относительной погрешности получаем

.

Рассмотрим в качестве примера функцию трех переменных u = xayb/zg, где a, b, g – любые рациональные числа, тогда относительную погрешность измерения величины u можно рассчитать по формуле:

eu = ( a2ex 2 + b2ey 2 + g2ez 2)1/2,

где ex, ey, ez - относительные ошибки измерений величин x, y, z.

 

При невысокой точности измерительных приборов случайными ошибками обычно можно пренебречь по сравнению с погрешностью измерительного прибора. Для получения результата достаточно одного отсчета.

Пусть Z = f(A, B, D, …), где A, B, D, …–непосредственноизмеряемыевеличины, а DA, DB, DD, … –ихабсолютныесистематическиеошибки, тогдаможнопредложить следующий алгоритм нахождения абсолютной ошибки косвенных измерений:

1. Продифференцируем формулу исследуемой величины:

.

2. Знаки дифференциалов “d” заменяем знаками погрешностей “D”, в случае получения в реальной формуле знаков “” у каких-либо частных производных заменяем их на знаки “+”:

В некоторых случаях сначала удобнее находить относительную ошибку и уже затем абсолютную.

Пусть функциональная зависимость имеет вид: .

1. Прологарифмируем исходную формулу:

.

2. Продифференцируем полученную в результате логарифмирования формулу:

.

3. Знаки дифференциалов “d” заменяем знаками погрешностей “D”, в случае получения в реальной формуле знаков “” у каких-либо частных производных заменяем их на знаки “+”:

.






Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 333. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.13 сек.) русская версия | украинская версия