ЛЖЕЦА» ПАРАДОКС

- один из наиболее известных логических парадоксов. В простейшем его варианте человек произносит одну фразу: «Я лгу». Или говорит: «Высказывание, которое я сейчас произношу, является ложным». Или: «Это высказывание ложно». Если высказывание ложно, то говорящий сказал правду и, значит, сказанное им не является ложью. Если же высказывание не является ложным, а говорящий утверждает, что оно ложно, то его высказывание ложно. Оказывается, таким образом, что, если говорящий лжет, он говорит правду, и наоборот.

Традиционная лаконичная формулировка парадокса гласит: если лгущий говорит, что он лжет, то он одновременно лжет и говорит правду.

В ср. в. была распространенной такая формулировка «Л.» п.: «Сказанное Платоном - ложно, — говорит Сократ. - То, что сказал Сократ, — истина, - говорит Платон». Возникает вопрос: кто из них высказывает истину, а кто — ложь?

Открытие «Л.» п. приписывается древнегреческому философу Евбулиду (IV в. до н. э.). Оно произвело громадное впечатление. Философ-стоик Хрисипп (ок. 281-208 до н. э.) посвятил ему три книги. Некто Филет Косский, отчаявшись разрешить парадокс, покончил с собой. Предание говорит, что известный древнегреческий логик Диодор Кронос (ум. ок. 307 до н. э.) уже на склоне лет дал обет не принимать пищу до тех пор, пока не найдет решение «Лжеца», и вскоре умер, ничего не добившись. В древности «Лжец» рассматривался как хороший пример двусмысленного выражения. В ср. в. «Л.» п. был отнесен к т. наз. «неразрешимым предложениям» и сделался объектом систематического анализа.

Особым вниманием «Л.» п. пользуется в современной логике. Нередко он именуется «королем логических парадоксов», ему посвящена обширная научная литература. И тем не менее, как и в случае многих других парадоксов, остается неясным, какие именно проблемы скрываются за данным парадоксом и как следует избавляться от него.

Чаще всего «Л.» п. считается характерным примером тех трудностей, к которым ведет смещение двух языков: языка предметного, на котором говорится о лежащей вне языка действительности, и метаязыка, на котором говорят о самом предметном языке. В повседневности нет различий между этими языками: и о действительности, и о языке говорится на одном и том же языке. Если язык и метаязык разграничиваются, утверждение «Я лгу» уже не может быть сформулировано.

Проблемы, связывавшиеся на протяжении веков с «Л.» п., радикально менялись в зависимости от того, рассматривался ли он как пример двусмысленности, или же как выражение, внешне представляющееся осмысленным, но по своей сути бессмысленное, или же как образец смешения языка и метаязыка. И нет уверенности в том, что с этим парадоксом не окажутся связанными в будущем и другие проблемы (см.: Антиномия).

ЛОГИКА (от греч. logos - слово, понятие, рассуждение, разум), или: Формальная логика,

— наука о законах и операциях правильного мышления. Согласно основному принципу Л., правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой, или структурой, и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. Различие между формой и содержанием может быть сделано явным с помощью особого языка, или символики, оно относительно и зависит от выбора языка.

Отличительная особенность правильного вывода в том, что от истинных посылок он всегда ведет к истинному заключению. Такой вывод позволяет из имеющихся истин получать новые истины с помощью чистого рассуждения, без обращения к опыту, интуиции и т. п. Неправильные выводы могут от истинных посылок вести как к истинным, так и к ложным заключениям.

Л. занимается не только связями высказываний в правильных выводах, но и многими иными проблемами: смыслом и значением выражений языка, различными отношениями между терминами

(понятиями), операциями определения и логического деления понятий, вероятностными и статистическими рассуждениями, парадоксами и логическими ошибками и т. д. Но главные темы логических исследований - анализ правильности рассуждения, формулировка законов и принципов, соблюдение которых является необходимым условием получения истинных заключений в процессе вывода.

Правильным является, напр., рассуждение, следующее схеме: «Если есть первое, то есть и второе; есть первое, значит, есть и второе» (см.: Модус поненс). По этой схеме из высказываний «Если сейчас день, то светло» и «Сейчас день» вытекает высказывание «Сейчас светло». Какие бы конкретные истинные высказывания ни подставлялись в указанную схему, заключение обязательно будет истинным.

В правильном рассуждении заключение вытекает из посылок с логической необходимостью, общая схема такого рассуждения выражает логический закон. Рассуждать логически правильно — значит рассуждать в соответствии с законами Л.

Л. не просто перечисляет некоторые схемы правильного рассуждения. Она выявляет различные типы таких схем, устанавливает общие критерии их правильности, выделяет исходные схемы, из которых по определенным правилам могут быть получены другие схемы данного типа, исследует проблему взаимной совместимости схем и т. д.

В современной Л. логические процессы изучаются путем их отображения в языках формализованных, или логических, исчислений. Построение исчисления отличается тщательностью, с которой формулируются его синтаксические и семантические правила, отсутствием исключений, характерных для естественного языка. Исследованием формального строения логических исчислений, правил образования и преобразования входящих в них выражений занимается логический синтаксис. Отношения между исчислениями и содержательными областями, служащими их интерпретациями или моделями, исследуются семантикой логической.

Современная Л. слагается из большого числа логических систем, описывающих отдельные фрагменты, или типы, содержательных рассуждений. Эти системы принято делить на Л. классическую, включающую классические Л. высказываний и Л. предикатов, и Л. неклассическую, в которую входят модальная Л., интуиционистская Л., многозначная Л., неклассические теории логического следования, паранепротиворечивая Л., Л. квантовой механики и др. Каждая из этих Л. также включает, как правило, соответствующие Л.

высказываний и Л. предикатов. Таким образом, хотя Л. как наука едина, она слагается из множества более или менее частных систем, ни одна из которых не может претендовать на выявление логических характеристик мышления в целом. Единство Л. проявляется прежде всего в том, что входящие в нее «отдельные» Л. пользуются при описании логических процессов одними и теми же методами исследования. Все они отвлекаются от конкретного содержания высказываний и умозаключений и оперируют только их формальным, структурным содержанием. В каждой применяется язык символов и формул, строящийся в соответствии с общими для всех систем принципами. И наконец, «сконструированная» Л. вызывает ряд вопросов, характерных для любой системы: нет ли в ней противоречий, охватывает ли она все истины рассматриваемого рода и др. (см.: Непротиворечивость, Полнота, Разрешения проблема). Между разными логическими системами имеются определенные связи. Одни системы могут быть эквивалентны другим, или включаться в них, или быть их обобщением и т. д. Единство Л. проявляется также в том, что разные Л. не противоречат друг другу: законами одной из них не являются отрицания законов, принятых в другой.

История Л. насчитывает около двух с половиной тысячелетий и разделяется на два основных этапа. Первый начался с трудов Аристотеля (384-322 до н. э.) и продолжался до второй половины XIX - начала XX в., второй — с этого времени до наших дней. На первом этапе Л. развивалась очень медленно, это дало И. Канту повод заявить, что она является с самого начала завершенной наукой, не продвинувшейся после Аристотеля ни на один шаг. Ошибочность такого представления была ясно показана в последние сто с небольшим лет, когда в Л. произошла научная революция и на смену традиционной Л. пришла современная Л., называемая также математической или символической Л. В основе последней — идеи Г. Лейбница (1646-1716) о возможности представить доказательство как математическое вычисление. Д. Буль (1815-1864) истолковал умозаключение как результат решения логических равенств, в результате чего теория умозаключения приняла вид своеобразной алгебры, отличающейся от обычной алгебры лишь отсутствием численных коэффициентов и степеней. С работ Г. Фреге (1848-1925) начинается применение Л. для исследования оснований математики. Значительный вклад в развитие Л. в дальнейшем внесли Б. Рассел (1872-1970), А. Н. Уайтхед (1861-1947), Д. Гильберт (1862-1943) и др. В 30-е годы фундаментальные результаты получили К. Гёдель (1906-1978), А. Тарский (1901-1983), А.Чёрч(р. 1903).

На первых порах современная Л. ориентировалась почти всецело на анализ только математических рассуждений. Это поддерживало иллюзию, что развитие Л. не зависит от эволюции теоретического мышления и не является в к.-л. смысле отображением последней.

В 20-е годы XX в. предмет логических исследований существенно расширился. Начали складываться многозначная Л., предполагающая, что наши утверждения являются не только истинными или ложными, но могут иметь и другие истинные значения; модальная Л., рассматривающая понятия необходимости, возможности, случайности и т. п.; деонтическая Л., изучающая логические связи нормативных высказываний, и др. Все эти новые разделы не были непосредственно связаны с математикой, в сферу логического исследования вовлекались уже естественные и гуманитарные науки.

В дальнейшем сложились и нашли интересные применения: Л. времени, описывающая логические связи высказываний о прошлом и будущем; паранепротиворечивая Л., не позволяющая выводить из противоречий все что угодно; эпистемическая Л., изучающая понятия «опровержимо», «неразрешимо», «доказуемо», «убежден», «сомневается» и т. п.; оценок Л., имеющая дело с понятиями «хорошо», «плохо», «безразлично», «лучше», «хуже» и т. п.; Л. изменения, говорящая об изменении и становлении нового; причинности Л., изучающая утверждения о детерминизме и причинности; парафальсифицирующая Л., не позволяющая отвергать положения, хотя бы одно следствие которых оказалось ложным; релевантная Л. и др. Экстенсивный рост Л. не завершился и сейчас. Основные ее ветви, или разделы, можно сгруппировать так: о базисная Л., в которую входят классическая Л., модальная Л., многозначная Л., неклассические теории логического следования;

> > металогика, исследующая сами логические теории, их внутреннюю структуру и связи с описываемой ими реальностью;

о разделы математического направления, включающие теорию доказательства, теорию множеств, теорию функций, Л. вероятностей, обоснование математики;

о разделы, ориентированные на приложение в естественных и гуманитарных науках, такие, как индуктивная Л., изучающая проблематичные выводы, логические теории времени, причинности, норм, оценок, действия, решения и выбора и др.;

> > разделы, находящие применение при обсуждении определенных философских проблем: Л. бытия, Л. изменения, Л. части и целого, логические теории вопросов, знания, убеждения, воображения, стремления и т. п.

Границы между этими областями не являются четкими, одни и те же ветви Л. могут иметь одновременно отношение к философии и естествознанию, к математике и металогике и т. д.

Прояснение и углубление оснований современной Л. сопровождалось пересмотром и уточнением таких центральных ее понятий, как логическая форма, логический закон, доказательство, логическое следование и др.

Законы Л. долгое время представлялись абсолютными истинами, никак не связанными с опытом. Однако возникновение конкурирующих логических теорий, отстаивающих разные множества законов, показало, что Л. складывается в практике мышления и что она меняется с изменением этой практики. Логические законы - такие же продукты человеческого опыта, как и аксиомы евклидовой геометрии, тоже казавшиеся когда-то априорными. Именно постоянно повторяющаяся практика выявляла некоторые общие и инвариантные отношения между вещами, вовлеченными в трудовую деятельность, и закрепляла их в сознании в виде некоторых логических структур, лежащих в основе формулирования правил логики.

Доказательство, и в особенности математическое, принято было считать императивным и универсальным указанием, обязательным для всякого непредубежденного ума. Развитие Л. показало, однако, что доказательства вовсе не обладают абсолютной, вневременной строгостью и являются только опосредствованными средствами убеждения. Даже способы математической аргументации на деле историчны и социально обусловлены. В разных логических системах доказательствами считаются разные последовательности утверждений, и ни одно доказательство не является окончательным.

Перемены, происшедшие в Л. в XX в., приблизили ее к реальному мышлению и тем самым к человеческой деятельности, одной из разновидностей которой оно является.

Для правильного понимания предмета и задач формальной Л. важно четко представлять ее соотношение с диалектической Л. Диалектика как Л. исследует становление и развитие понятий и представлений, их отношения, переходы, противоречия. Диалектические принципы историзма, конкретности истины, единства абстрактного и конкретного, практики как критерия истины и т. д. направлены на познание закономерностей мышления, взятого в его движении и развитии, в последовательном постижении реальности. Формальная Л. главное внимание направляет на прояснение структуры готового знания, на описание его формальных связей и элементов. Диалектическая и формальная Л. - две разные науки, различающиеся как предметами своего исследования, так и методами.

Современная Л. находит применение во многих областях. В частности, она оказала влияние на развитие математики, прежде всего теории множеств, формальных систем, алгоритмов, рекурсивных функций; идеи и аппарат Л. используются в кибернетике, вычислительной технике, в электротехнике и др.

ЛОГИКА ВРЕМЕНИ, или: Временная логика,

— раздел современной модальной логики, изучающий логические связи временных утверждений, т. е. утверждений, в которых временной параметр включается в логическую форму. Л. в. начала складываться в 50-е годы XX в. прежде всего благодаря работам англ. логика А. Н. Прайора, хотя первые попытки учесть роль временного фактора в логическом выводе относятся еще к античности (Аристотель, Диодор Кронос).

Задачей Л.в. является построение искусственных (формализованных) языков, способных сделать более ясными и точными, а следовательно, и более плодотворными рассуждения о предметах и явлениях, существующих во времени.

Л. в. представляет собой множество логических систем (логик), распадающихся на А-л о г и к у и B-логику времени. Первая ориентирована на временной ряд «прошлое — настоящее — будущее», вторая - на временной ряд «раньше - одновременно -позже».

В А-логике рассматриваются высказывания с «будет», «было», «всегда будет», «всегда было» и т. п. Понятия «будет» («было») и «всегда будет» («всегда было») взаимно определимы: «Будет A» («Было A») означает «Неверно, что всегда будет не - А» («Неверно, что всегда было не - А»). Напр., «Будет ветрено» означает то же, что «Неверно, что всегда будет безветренно».

В числе законов А-логики времени утверждения:

> > то, что всегда будет, будет; то, что всегда было, было (напр.: «Если всегда будет время, то оно будет»);

> > неверно, что наступит противоречивое событие; неверно, что было такое событие («Неверно, что было холодно и не холодно»);

> > если будет, что будет нечто, оно будет;

> > если неверно, что всегда было, что не всегда будет нечто, то оно имеет место сейчас;

> > будет, что нечто было, если и только если оно или есть сейчас, или будет, или уже было («Будет так, что шел снег, только если он или идет, или пойдет, или уже шел»);

> > всегда было, что всегда будет нечто, только если оно есть, всегда было и всегда будет («Всегда было, что всегда будет хорошая погода, в том и только том случае, если она есть, всегда была и всегда будет») и т. п.

Финским философом и логиком Г. X. фон Вригтом А-логика времени формулируется с использованием выражений «...и затем...» и «...и в следующей ситуации...». «A и затем В» означает «Сейчас А и будет В», что может пониматься также как «A изменяется (переходит) в B». Л.в. может, таким образом, истолковываться и как логика изменения.

В терминах временных понятий могут быть определены модальные понятия «необходимо» и «возможно»:

> > необходимым является то, что всегда было, есть и всегда будет («Пространство необходимо, только если оно всегда было, есть и всегда будет»);

> > возможно то, что или было, или имеет место, или будет («Возможно, что птицы улетают на юг, только если они уже улетели, улетают сейчас или улетят в будущем»).

В B-логике времени рассматриваются высказывания с «раньше», «позже» и «одновременно». Первые два из этих понятий взаимно определимы: «A раньше В» означает «В позже A». Одновременные события могут быть определены как такие, что ни одно из них не раньше другого.

Среди законов B-логики утверждения:

> > ничто не раньше самого себя;

> > если первое раньше второго, то неверно, что второе раньше первого;

> > если первое раньше второго, а второе одновременно с третьим, то первое раньше третьего и т. п.

Понятие «раньше» неопределимо через «было», «есть» и «будет»; раньше одно другого могут быть и два прошлых, и два будущих события. В свою очередь, временные оценки, включающие ссылку на «настоящее», несводимы к утверждениям с «раньше». А-логика и B-логика времени являются, таким образом, двумя самостоятельными, несводимыми друг к другу ветвями Л. в.

А-логика времени нашла приложения при обсуждении некоторых философских проблем, в анализе грамматических времен и др. B-логика использовалась при аксиоматизации определенных разделов физики, биологии, при обсуждении проблемы непротиворечивого описания движения и др.

Временные ряды «прошлое - настоящее - будущее» и «раньше - одновременно - позже» несводимы друг к другу. Они независимы в широких пределах и представляют собой две точки зрения на мир, два способа описания одних и тех же вещей и событий, дополняющие друг друга. Первый ряд употребляется по преимуществу в гуманитарных науках, второй - в естественных. Можно сказать, что первые понятия служат для описания становления мира, вторые — для описания его бытия. Поскольку временные ряды несводимы друг к другу, возникает вопрос, не является ли один из них более фундаментальным. Согласно распространенной точке зрения, в интерсубъективном, безличностном языке науки неправомерно употребление «было - есть - будет», предполагающих ссылку на «субъективное», постоянно меняющее свое положение «настоящее». С другой стороны, мир без «стрелы времени» неисторичен, он как бы задан сразу, и все события лежат в одной временной плоскости.

К этому спору о допустимости использования в науке временных оценок с изменяющимся истинностным значением имеет прямое отношение и Л. в.

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, или: Пропозициональная логика,

— раздел логики, формализующий употребление логических связок «и», «или», «не», «если, то» и т. п., служащих для образования сложных высказываний из простых. Высказывание называется простым, если оно не включает в себя другие высказывания, в противном случае оно называется с л о ж н ы м. В Л. в. простые высказывания рассматриваются в отвлечении от их внутренней (субъектно-предикатной) структуры. Та или иная истинностная оценка высказывания именуется его истинностным значением.

В логике классической предполагается, что простое высказывание является либо истинным, либо ложным (см.: Двузначности принцип) и что истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него простых высказываний и характера их связи.

Так, соединение двух высказываний с помощью связки «и» дает сложное высказывание (именуемое конъюнкцией), являющееся истинным, только когда оба составляющие его высказывания истинны. Сложное высказывание, образованное с помощью связки «или» (дизъюнкция), истинно, если и только если хотя бы одно из двух входящих в него высказываний истинно. Сложное высказывание, образованное с помощью «не» (отрицания), истинно, если только исходное высказывание ложно. Сложное высказывание, полученное из двух высказываний с помощью связки «если, то» (импликация), истинно в трех случаях: оба входящие в него высказывания истинны, оба они ложны, первое из этих высказываний

(следующее за словом «если») ложно, а второе (следующее за словом «то») истинно; импликация является ложной только когда первое из составляющих ее высказываний истинно, а второе ложно.

Возможны и другие способы образования сложных высказываний. Всего в классической двузначной логике четыре способа образования сложного высказывания из одного высказывания и шестнадцать способов образования сложного высказывания из двух высказываний.

Язык Л. в. включает бесконечное множество переменных: р, q, r,..., p ₁, q ₁, r ₁,..., представляющих высказывания, и особые символы для логических связок: & — конъюнкция («и»), v - дизъюнкция («или»), ~ - отрицание («не» или «неверно, что»), -> — импликация («если, то»). Роль знаков препинания обычного языка играют скобки. Понятие формулы в Л. в. определяется так: отдельная переменная является формулой; если A и В — формулы, то (А& В), (A v B), ~ A и (A -> B) также формулы.

Формулам Л. в., образованным из переменных и связок, в естественном языке соответствуют предложения. Напр., если р есть высказывание «Сейчас ночь», q — высказывание «Сейчас темно» и r — высказывание «Сейчас ветрено», то формула (p - > (q v r)) представляет высказывание «Если сейчас ночь, то сейчас темно или ветрено», формула ((q &. r)- > p) - высказывание «Если сейчас темно и ветренно, то сейчас ночь», формула (~ q - > ~ p) — высказывание: «Если неверно, что сейчас темно, то сейчас не ночь» и т. п. Подставляя вместо переменных другие высказывания, получим другие переводы указанных формул на обычный язык.

Каждой формуле Л. в. можно поставить в соответствие таблицу истинности, указывающую зависимость истинностного значения формулы от истинностных значений входящих в нее переменных. Напр., формула (~ q - > ~ p) принимает значение «ложно» только в случае ложности q и истинности р.

Формула Л. в. называется тождественно-истинной, или тавтологией, если и только если она принимает значение «истинно» при всех распределениях истинностных значений входящих в нее простых высказываний. Формула, принимающая при всех распределениях значение «ложно», называется противоречием. Тавтологии выражают логические законы. К тавтологиям относятся, в частности, формулы:

(р - > р) — закон тождества, ~ (р& ~р) — закон непротиворечия,

(p v ~ p) — закон исключенного третьего, (p - > q)- > (~ q - > ~ p) - закон контрапозиции.

Множество тавтологий бесконечно.

Л. в. может быть представлена также в форме логического исчисления, в котором задается способ доказательства некоторых высказываний (формул), называемых теоремами. Исчисление может быть формализовано с помощью аксиоматического метода. При этом указываются формулы, принимаемые в качестве аксиом, и задаются правила вывода, позволяющие получать из аксиом теоремы. Аксиоматическое исчисление высказываний строится таким образом, чтобы класс теорем совпадал с классом тавтологий, т. е. чтобы каждая теорема была тавтологией и каждая тавтология — теоремой (см.: Полнота). По отношению к аксиоматическому построению встают также вопросы о его непротиворечивости и независимости принятых аксиом и правил вывода.

Наряду с классической Л. в., предполагающей, что всякое высказывание является истинным или ложным, существуют многообразные неклассические Л. в. В числе последних — многозначные Л. в., интуиционистская Л. в. и др.