МЕТАМАТЕМАТИКА

— раздел математической логики, изучающий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных методов.

М. рассматривает формализованную теорию как множество некоторых конечных последовательностей символов, называемых формулами и термами, к которым добавляется множество операций, производимых над этими последовательностями. Формулы и термы, получаемые с помощью простых правил, служат заменой предложениям и функциям содержательной математической теории. Операции над формулами соответствуют элементарным шагам дедукции в математических рассуждениях. Формулы, соответствующие аксиомам содержательной теории, выступают в качестве аксиом формализованной теории. Формулы, которые могут быть выведены из аксиом посредством принятых операций, соответствуют теоремам содержательной теории.

Множество формул и множество термов, рассматриваемые как множества конечных последовательностей с операциями, в свою очередь, могут быть объектами математического исследования. В ранний период развития математической логики использовались в основном простые методы, исключались все нефинитные. Лидером этого направления был Д. Гильберт, полагавший, что с помощью простых методов М. удастся доказать непротиворечивость фундаментальных математических теорий. Однако теоремы К. Гёделя показали, что программа Гильберта неосуществима. Использование финитных методов для исследования формализованных теорий является естественным в силу их очевидного финитного характера. Но на практике ограничение методов доказательства элементарными методами значительно усложняет математические исследования. Поэтому для более глубокого проникновения в сущность формализованных теорий современная М. широко использует более сложные, нефинитные методы.

Множество термов любой формализованной теории является алгеброй, и множество всех формул также является алгеброй. После естественного отождествления эквивалентных формул множество всех формул становится решеткой (структурой), а именно: булевой алгеброй, псевдобулевой алгеброй, топологической булевой алгеброй и т. п. - в зависимости от типа логики, принимаемой в теории. Эти алгебры, в свою очередь, связаны с понятием поля множеств и топологического пространства. С этой точки зрения представляется естественным применение в М. методов алгебры, теории решеток (структур), теории множеств и топологии. В М. широко используется также гёделевский метод арифметизации и теория рекурсивных функций.

М. исследует вопросы непротиворечивости и полноты формализованных теорий; независимость аксиом; проблему разрешимости; вопросы определимости и погружения одних теорий в другие; дает точное определение понятия доказательства для различных формализованных теорий и доказывает теоремы о дедукции;

изучает проблемы интерпретации формальных систем и их различные модели; устанавливает разнообразные отношения между формализованными теориями и т. п.

МЕТАФОРА (от греч, metaphora - перенос, образ)

- перенесение свойств одного предмета (явления или аспекта бытия) на другой по принципу их сходства в к.-л. отношении или по контрасту, напр.: «говор волн», «нос самолета», «свинцовые тучи» и т. п. В отличие от сравнения, где присутствуют оба члена сопоставления, М. — это скрытое сравнение, в котором слова «как», «как будто», «словно» и т. п. опущены, но подразумеваются. В М. различные признаки — то, чему уподобляется предмет, и свойства самого предмета — представлены не в их качественной раздельности, как в сравнении, а сразу даны в новом нерасчлененном единстве. Обладая неограниченными возможностями в сближении или неожиданном уподоблении самых разных предметов и явлений, по существу по-новому осмысливая предмет, М. позволяет вскрыть, обнажить, прояснить его внутреннюю природу.

В науке М. - необходимое средство научного творчества. Практически всякое новое научное понятие появляется как некая М., становясь точным понятием лишь с течением времени. Напр., «световая волна» — это М., уподобляющая свет колебаниям волн на поверхности воды; «электрический ток» - тоже М., приравнивающая электричество к потоку воды, и т. п. Часто новое явление обозначается старым термином, относящимся к известным явлениям, и в течение некоторого времени этот термин выступает в качестве М., в которой отображаются свойства различных явлений.

МЕТАЯЗЫК (от греч. meta - после, за, позади)

- язык, средствами которого исследуются и описываются свойства другого языка, называемого предметным, или объектным. Напр., когда мы начинаем изучать иностранный язык, знакомиться с его выражениями, с его грамматической структурой, системой времен, падежей и т. п., мы пользуемся для описания свойств этого пока еще не известного нам языка своим родным языком, который и выступает в данном случае в качестве М.

Смешение объектного языка и М. приводит к противоречиям и парадоксам (см.: «Лжеца» парадокс). В естественном языке явного различия между объектным и М. нет: мы пользуемся одним и тем же языком и для того, чтобы говорить о внеязыковых объектах, и для того, чтобы говорить о самом языке. Только интуиция помогает нам избежать путаницы и противоречий. Однако всегда существует опасность того, что неразличение объектного и М. приведет к противоречию. Поэтому в науке, в частности в металогике и метаматематике, проводится четкое разделение этих двух языков. К М. обычно предъявляются следующие требования: 1) в нем должны быть средства для описания синтаксических свойств объектного языка, в частности средства для построения выражений объектного языка; 2) М. должен быть настолько богат по своим выразительным возможностям, чтобы для каждого выражения объектного языка в нем существовала формула, являющаяся переводом этого выражения; 3) логический словарь М. должен быть по крайней мере столь же богат, как и логический словарь объектного языка; 4) в М. должны быть дополнительные переменные, принадлежащие к более высокому типу, чем переменные объектного языка, и т. д.

МЕТОД (от греч. methodos - путь, способ исследования, обучения, изложения)

— совокупность приемов и операций познания и практического преобразования действительности; способ достижения определенных результатов в познании и практике. Применение того или иного М. детерминируется целью познавательной или практической деятельности, предметом изучения или действия и условиями, в которых осуществляется деятельность.

Существует множество классификаций М. познания. В частности, выделяют частные специальные М. отдельных конкретных наук, напр. М. механики, оптики, термодинамики, химического анализа, критический анализ источников как М. исторической науки, сравнительный М. в языкознании и т. п. Наряду с М. конкретных наук существуют также общенаучные М., т. е. М., используемые обширным классом наук или даже всеми науками. К числу таких М. обычно относят наблюдение, измерение, эксперимент, индуктивный М., М. гипотез, М. формальной логики и т. п. И наконец, наиболее общими М., применимыми как в познании, так и в практике, являются философские М., напр. метафизический и диалектический М., М. восхождения от абстрактного к конкретному, анализ и синтез, идеализация и абстракция, сравнение и т. п. Наряду с указанной классификацией широким распространением пользуется также разделение М. науки на эмпирические и теоретические М. познания.

Всякий М. опирается на определенное знание об объектах познания или практического действия. Поэтому иногда М. называют научные принципы и теории; напр., вариационные принципы механики — принцип возможных перемещений, принцип наименьшего действия, принцип Д'Аламбера и т. п. — выступают в качестве М. изучения равновесия и движения несвободной механической системы. Материалистическую диалектику часто также называют всеобщим М. познания и действия. Возможно, в этом случае лучше говорить о методологической функции законов и теорий науки, принципов философии. Учение о М. называется методологией.