Введение. Рассмотрим на примере элементов прямоугольной формы сеченияОбязательным условием допуска студента к зачету является выполнение и защита всех лабораторных работ. Лабораторные работы выполняются на листах формата А4 и включают в себя: 1 Титульный лист (Приложение А). 2 Задание (согласно варианту). 3 Расчетную часть. Лабораторные работы оформляются от руки или с применением текстового редактора Microsoft Word в соответствии с требованиями к оформлению. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 Расчет механических систем с одной степенью свободы на собственные колебания. (2 часа)
Цель работы: расчет механических систем с одной степенью свободы на собственные колебания. Задачи работы: приобретение практических навыков расчета механических систем с одой степенью свободы на собственные колебания. Обеспечивающие средства: методика расчета механических систем с одной степенью свободы на собственные колебания. Задание: Составление уравнений движения.Определение частоты собственных колебаний. Влияние на движение системы начального перемещения и начальной скорости движения. Требования к содержанию отчета: по результатам работы оформляется отчет в соответствии с порядком выполнения работы. Порядок выполнения. 1. Составление уравнения движения. Рассмотрим случай (рис. 1.1, а), когда груз весом G (точнее массой G/g) соединен с опорой через линейную упругую винтовую пружину. Если считать, что возможно только вертикальное перемещение груза G, а масса пружины мала по сравнению с массой груза, то систему можно рассматривать как имеющую одну степень свободы. Конфигурация системы будет полностью определяться смещением 1 груза от равновесного состояния. Как только груз прикреплен к пружине, он приобретает статическое перемещение
где C — сила, вызывающая удлинение пружины, равное единице; она называется жесткостью пружины. Если вес измерен в ньютонах (Н), а удлинение в метрах (м), то жесткость пружины будет выражена в Н/м. Для винтовой цилиндрической пружины с плотно намотанными п витками, имеющими средний диаметр витка D и диаметр проволоки d, жесткость пружины можно определить по формуле:
гдеE — модуль упругости при сдвиге материала проволоки. Пусть теперь груз выведен из положения равновесия и затем отпущен, в результате чего возникают колебания. Такие колебания, которые поддерживаются только упругими силами пружины, называются свободными, или собственными. Если за положительное принять перемещение х, направленное вниз, то сила, возникающая при этом в пружине, для произвольного положения груза будет равна G + Cx (рис. 1.1, б). Зная, что масса груза равна G/g, и обозначая ускорение (G/g)
Рисунок 1.1 Действующие на груз неуравновешенные силы показаны на рисунке 1.1, в. Слагаемые в правой части уравнения (в), обозначающие вес G, сокращаются; это означает, что дифференциальное уравнение движения для свободных колебаний системы не зависит от гравитационного поля. Для приводимых ниже рассуждений важно помнить, что перемещение х измеряется от положения статического равновесия и что оно считается положительным, когда направлено вниз. Вводя обозначение
уравнение (в) можно представить в виде
2. Решение уравнения движения. Этому уравнению могут удовлетворять решения в виде х — A1 cos pt или х = A2sin pt, где A1 и A2 — произвольные постоянные. Суммируя эти частные решения, получим общее решение уравнения (1.1):
Видно, что вертикальное давление груза G имеет колебательный характер, поскольку функции cos pt и sin pt являются периодическими, принимающими один и те же значения через интервал времени T, откуда следует
Этот интервал времени называется периодом колебаний. Его величина определяется из уравнения (д):
С учетом обозначений (г) получаем следующую формулу:
Можно видеть, что период колебаний зависит от веса G и жесткости пружины C и не зависит от величины перемещения. Можно также отметить, что период колебаний подвешенного груза весом G совпадает с периодом колебаний простейшего маятника, длина которого равна статическому перемещению Число возвратно-поступательных движений в единицу времени (т. е. число циклов в секунду) называется частотой колебаний. Обозначая частоту колебаний через f, получим
Колебательное движение, описываемое выражением (1.2), называется простым гармоническим движением. Для определения постоянных интегрирования A1 и A2 следует рассмотреть начальные условия. Предположим, что в начальный момент времени (t = 0) груз G имеет перемещение x0 от положения равновесия, а начальная скорость равна
Найдя производную выражения (1.2) по времени и подставляя t = 0, получим
Выражение, описывающее колебательное движение груза G, получаем подстановкой в выражение (1.2) значений постоянныхA 1 и A2, что дает
Можно видеть, что в этом случае колебание состоит из двух частей: первая пропорциональна cos pt и зависит от начального перемещения x0, а вторая пропорциональна sin pt и зависит от начальной скорости
Исходные данные к выполнению работы На основании расчетной схемы (рисунок 1.1) определить собственную частоту колебаний системы, период колебаний. Построить график зависимости перемещения от начальной скорости движения. Интервал изменения начальной скорости 0, 1 м/с.
Контрольные вопросы.
1 Гармоническое колебательное движение. Параметры этого движения - амплитуда, фаза, период. 2 Циклическая частота и частота колебательного движения. 3 Количество частот собственных колебаний системы в зависимости от числа степеней свободы. 4 Уравнение колебания точечного груза на пружине незначительной жесткости. 5 Дифференциальное уравнение собственных колебаний упругой системы без трения. 6 Вид обшего решения дифференциального уравнения собственных колебаний упругой системы без трения. 7 Формула определения циклической частоты собственных колебаний одномассовой системы.
Лабораторная работа №2 Исследование колебаний системы с одной степенью свободы. (2 часа)
Цель работы: экспериментальное исследование колебаний систем с одной степенью свободы. Рассматриваются изгибные. Задачи работы: приобретение практических навыков исследование колебаний систем с одной степенью свободы. Обеспечивающие средства: методика исследования колебаний систем с одной степенью свободы, стенд – консольная балка, набор грузов. Задание: Сравнить теоретическое и экспериментальное значения частот свободных колебаний, по графику затухающих колебаний определить логарифмический декремент колебаний и вычислить коэффициент затухания. Требования к содержанию отчета: по результатам работы оформляется отчет в соответствии с порядком выполнения работы. 1. Основные положения Под свободными колебаниями понимают колебания упругой системы, выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе. Эти колебания продолжаются до тех пор, пока сообщенная в начале колебательного процесса энергия не будет полностью израсходована на преодоление сил сопротивления, поэтому в реальных условиях свободные колебания являются затухающими. Особенность колебательного процесса в значительной мере зависит от числа степеней свободы рассматриваемой системы. Числом степеней свободы называется число независимых параметров (функций), однозначно определяющих положение системы в любой момент времени. На рис.2.1, а изображена упругая балка, несущая на конце сосpeдоточенный груз массой m. Если масса балки мала по сравнению с массой груза, то при свободных колебаниях на балку действует сила инерции гpyзa, которую можно вычислить по закону его движения
Свободные колебания системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивления являются гармоническими. Закон движения в этом случае имеет вид
где A и α — амплитуда и фаза колебаний, которые находятся из начальных условий движения; ω — круговая (циклическая) частота свободных колебаний. Круговая частота колебаний вычисляется по формуле
Где C - коэффициент жесткости (сила, вызывающая единичное перемещение в направлении своего действия); δ 11 — перемещение точки приложения массы груза под действием единичной силы. Период свободных колебаний (время одного колебания)
Число колебаний в единицу времени (например, за одну секунду) называется технической частотой колебаний: Если учесть силы сопротивления (силы внутреннего и внешнего трения), свободные колебания со временем затухают. График таких колебаний показан на рис.3.2.
Рис.2.2 Однако силы сопротивления обычно не изменяют существенно собственную частоту и период колебаний системы, поэтому с достаточной точностью последние можно вычислять без учета этих сил. Обычно силы сопротивления пропорциональны скорости движения. При этом оказывается, что отношение двух последовательных амплитуд все время остается постоянным (рис.2.2): где e — основание натуральных логарифмов; n - коэффициент затухания.
Величина определяет темп затухания и называется логарифмическим декрементом. Зная логарифмический декремент, можно из предыдущей формулы найти коэффициент затухания колебаний. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1) Определить размеры поперечного сечения и длину балки. Вычислить теоретическое значение частоты свободных колебаний. 2) Вывести балку из положения равновесия и записать график свободных затухающих колебаний (рис.2.3).
Рис.2.3 4) По графикам свободных колебаний (рис.2.3) определить частоты колебаний. Для этого на отрезке При использовании для протягивания бумаги специального механизма скорость бумаги задается. Определить техническую частоту колебаний по формуле Сравнить значения частот, полученных экспериментально для свободных колебаний. 5) Сравнить теоретическое и экспериментальное значения частот свободных колебаний, определить погрешность 6) По графику затухающих колебаний (рис.2.3) определить логарифмический декремент колебаний и вычислить коэффициент затухания.
Контрольные вопросы 1.Что такое свободные (собственные) колебания упругой системы? 3.Что называется числом степеней свободы упругой системы? 4.Какие упругие системы имею одну степень свободы? 5.Каким законом описываются свободные колебания систем с одной степенью свободы, если не учитывать силы сопротивления? 6.От каких параметров упругой системы зависит ее циклическая частота? 7.Что такое коэффициент жесткости? 8.Что такое период колебаний и как он связан с частотой? 9.Как влияют силы сопротивления на свободные колебания? 10.Что называется логарифмическим декрементом колебаний? 11.Как определяется коэффициент затухания колебаний? 15.Как экспериментально определить частоту колебаний? 16.Каков порядок выполнения работы?
Лабораторная работа №3 Обработка виброграмм затухающих колебаний. (2 часа)
Цель работы: Освоение методики определения логарифмического декремента колебаний и собственной частоты по виброграммам затухающих колебаний. Задачи работы: приобретение практических навыков определения логарифмического декремента колебаний и собственной частоты по виброграмм затухающих колебаний. Обеспечивающие средства: методика определения логарифмического декремента колебаний и собственной частоты, виброграммы звтухающих колебаний. Задание: на основании виброграмм затухающих колебаний определить логарифмический декремент колебаний и собственную частоту. Требования к содержанию отчета: по результатам работы оформляется отчет в соответствии с порядком выполнения работы. Введение. Затухающие колебания возбуждают в механических системах с целью определения собственных частот и характеристик демпфирования (декремента колебаний). Возбуждение колебаний может осуществляться импульсным (удар) либо ступенчатым возмущением, а также специальными вибраторами. Колебания объекта регистрируются механическими, оптическими либо электрическими методами. Виброграммы затухающих колебаний (рисунок 3.1) записывают вместе со стандартным сигналом отметчика времени.
Рис.3.1- Пример виброграммы затухающих колебаний. Для определения периода затухающих колебаний
 нужно прежде всего правильно нанести эту линию. Тогда можно определить логарифмический декремент колебаний по формуле
 с течением времени не изменяется (случай идеального линейного трения), то можно повысить точность определения  сравнивая отклонения через  периодов:
 и  можно рассчитать период свободных колебаний системы без демпфирования  или собственную частоту систем  :
а) огибающая представляет собой монотонно убывающую функцию и касается графика колебаний вблизи каждого максимума или минимума; б) огибающая имеет тот же вид, что и в случае (а), но наблюдается случайные выбросы; в) огибающая представляет собой немонотонную функцию, т.е., кроме затухания колебаний, наблюдается также амплитудная модуляция. В случае (а)
Порядок выполнения работы 1. Провести нулевую прямую если это необходимо. Для проведения исходной нулевой прямой наносят точки, являющиеся средними; между ними проводят усредняющую прямую. 2. Построить огибающую. Измерить 10-15 отклонений
 и  и, записав их в таблицу, проверить убывают ли эти разности в порядке, показанном стрелками.
3. Если обозначенный порядок убывания не соблюдается, следует откорректировать положение нулевой прямой, после чего вновь заполнить таблицу и т.д. 4. Измерить 5. Если 6. Вычислить собственную частоту по формуле (3.4) пользуясь средним значением.
Вопросы для самопроверки 1. Как различаются колебательные системы по величине затухания? 2. Как изменяются период и частота свободных колебаний при введении в систему неупругого сопротивления? 3. Как проверить правильность нанесения нулевой прямой на виброграмме? 4. Какая форма огибающей затухающих колебаний соответствует постоянному декременту, убывающему и возрастающему?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 Свободные колебания систем с конечным числом степеней свободы. (2 часа)
Цель работы: расчет механических систем с конечным числом степеней свободы на собственные колебания. Задачи работы: приобретение практических навыков расчета механических систем с конечным числом степеней свободы на собственные колебания. Обеспечивающие средства: методика расчета механических систем с конечным числом степеней свободы на собственные колебания. Задание: Составление систем уравнений движения. Уравнения Лагранжа второго рода, прямой и обратный способ. Требования к содержанию отчета: по результатам работы оформляется отчет в соответствии с порядком выполнения работы. Порядок выполнения. Наиболее общий вид дифференциальных уравнений движения может быть получен в форме уравнений Лагранжа
где K и П - кинетическая и потенциальная энергии соответственно; Xj и Известно, что при малых колебаниях около положения равновесия кинетическая и потенциальная энергии выражаются через обобщённые координаты и обобщённые скорости следующим образом:
где ajk = akj - инерционные коэффициенты; Cjk = Ckj - квазиупругие коэффициенты, называемые также обобщёнными коэффициентами жёсткости. Подставляя (4.2) в (4.1), получим систему однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
Рассмотрим особенности названных способов на примере системы с двумя степенями свободы, состоящей из тел с массами m1 и m2, соединённых пружинами с жесткостями C1 и C2 (рис.4.1, а). За обобщённые координаты примем горизонтальные перемещения X1 и X2 грузов, отсчитываемые от положения равновесия, в которых отсутствуют деформации пружин. Удлинения пружин в процессе движения: 1.Основной способ (уравнения Лагранжа) Кинетическая энергия рассматриваемой системы:
Потенциальная энергия деформации пружин:
Вычислим производные, необходимые для подстановки в уравнения Лагранжа:
Подставляя вычисленные значения в (4.1), получим дифференциальные уравнения движения рассматриваемой системы
2.Прямой способ Выделяем массы m1 и m2 и рассматриваем их как свободные тела под действием сил упругости, определяемых удлинениями l1 и l2 обеих пружин (рис. 4.1, б):
Дифференциальные уравнения движения грузов имеют вид
Подставляя значения N1 и N2, получим
т.е. эти уравнения совпали с уравнениями (4.3).
3. Обратный способ Отделяем грузы и рассматриваем упругий безмассовый скелет системы под действием кинетических реакций - сил инерции
Перемещение правого конца второй пружины X2 равно сумме удлинений обеих пружин:
Из этих соотношений получим
Таким образом, совпали формы записей дифференциальных уравнений движения по основному (уравнения Лагранжа) и прямому способам, а уравнения, полученные обратным способом, отличаются от них по форме. Это связано с тем, что при нашем выборе обобщённых координат кинетическая энергия имеет каноническую форму:
т.е. не содержит произведений скоростей
то уравнения Лагранжа совпали бы с уравнениями, полученными обратным способом. Сопоставляя полученные варианты записей по прямому и обратному способам, можно сделать следующее общее заключение: при составлении системы уравнений по прямому способу aij = 0 при i j, а при составлении по обратному способу Cij = 0 при i j. Таким образом, пользуясь прямым способом, приходим в общем случае к системе:
и уравнения Лагранжа принимают вид
Пример Пружина несёт две массы m = 2 кг каждая - одна на конце пружины, другая посередине (рис. 4.2, а). Средний диаметр пружины D = 4 см; диаметр проволоки пружины d = 0, 6 см; число витков на каждой половине пружины n = 10. Определить частоты собственных колебаний системы. а б
Рис. 4.2 Решение Уравнения движения системы
где X1 и X2 - смещения верхней и нижней масс соответственно; С - жёсткость пружины. Решение системы уравнений ищем в виде
После подстановки получим систему однородных алгебраических уравнений
Частотное уравнение
или
Корни частотного уравнения:
Жёсткость пружины:
Собственные частоты: Исходные данные. Определить частоты собственных колебаний системы в соответствии с рисунком 4.2 а.
Контрольные вопросы 1 Способы составления уравнений движения механических систем. 2 Кинетическакя энергия системы. 3 Потенциальная энергия системы. 4 Уравнения Лагранжа второго рода. 5 Составление уравнений движения прямым способом. 6 Составление уравнений движения обратным способом. 7 Гармоническое колебательное движение. Параметры этого движения - амплитуда, фаза, период. 8 Циклическая частота и частота колебательного движения. 9 Количество частот собственных колебаний системы в зависимости от числа степеней свободы. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5. Численное решение уравнений движения механической системы с несколькими степенями свободы. Применение метода Рунге Кутты реализованного в математических программах. (2 часа)
Цель работы: численное решение линейных дифференциальных уравнений с применением программы Mathcad. Задачи работы: численное решение линейных дифференциальных уравнений с применением программы Mathcad. Обеспечивающие средства: методика применения программы Mathcad для решения дифференциальных уравнений и их систем. Задание: решение дифференциальных уравнений и их систем. Требования к содержанию отчета: по результатам работы оформляется отчет в соответствии с порядком выполнения работы. Порядок выполнения. 1. Общие положения. Все математические операции в Маткаде можно осуществлять, используя встроенные функции и встроенные операторы. Встроенные функции вызываются с помощью мастера функций – кнопки с изображением f (x), расположенной на инструментальной панели. При этом появляется окно с перечнем всех функций Маткада, из которого можно выбрать необходимую в данный момент функцию. Встроенные операторы расположены на панели вычислений, которая вызывается кнопкой с изображением производной и интеграла на математической панели. Во втором модуле «Работа со встроенными функциями Маткада» решаются с использованием встроенных функций различные математические задачи без привязки к конкретным прикладным задачам. Модуль состоит из шести лабораторных работ. В первых четырех лабораторных работах приводится решение основных типов дифференциальных уравнений в Маткаде. Рассматривается несколько методов решения задачи Коши, решается краевая задача. Рассматривается решение разностных уравнений. Две последние лабораторные работы посвящены построению различных регрессий, доверительных интервалов и проверке статистических гипотез. В Маткаде имеется тринадцать встроенных функций для решения обыкновенных дифференциальных уравнений различными методами. Большинство из них требуют предварительного представления дифференциального уравнения в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка. Среди встроенных функций Маткада для решения дифференциальных уравнений есть функция их решения методом Рунге – Кутты с постоянным фиксированным шагом. Она имеет вид: rkfixed(v, x0, x k, n, F). Здесь v начальные условия, записанные в виде вектора, x0, xk – начальное и конечное значения аргумента, n- число шагов, F- правые части системы, записанные в виде вектора. Возможно решение тем же методом с автоматическим выбором шага. Для этого служит функция rkadapt(y, x1, x2, n points, D). Эти методы требуют преобразования дифференциального уравнения в систему уравнений первого порядка. В последних версиях Маткада появилась функция odesolve(х, b) (ordinary differential equation solution – решение обыкновенного дифференциального уравнения), позволяющая решать уравнение без его преобразования. Здесь в скобках х – переменная интегрирования, b - верхняя граница изменения аргумента. Нижняя граница равна нулю. 2.Решение дифференциальных уравнений с помощью функции odesolve. Задача 1. Используя встроенную функцию odesolve решить в Маткаде следующее нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с нулевыми начальными условиями:
На рис. 1. показано это решение. Итак, для решения с использованием этой функции нужно: 1. Ввести директиву given 2. Набрать дифференциальное уравнение. Знак производной набирается клавишей Ё английской клавиатуры, знак «=» - с логической панели, 3. набрать начальные условия, 4. набрать функцию odesolve,
|
(а)
(б)
через 
, можно в соответствии со вторым законом Ньютона получить уравнение движения
(г)
(1.2)
(д)
(е)
(г)
, Если это перемещение можно определить теоретически или экспериментально, то период колебаний T определяют по формуле (г).
. Подставляя t = 0 в выражение (1.2), получим
.
. (1.5)
.
. Зная силу инерции, находят перемещение любой точки балки в любой момент времени. Другими словами, в данном случае один параметр 
.
графика подсчитать число пиков 
Время 
принять по виброграмме.
достаточно сравнить отрезки 
и 
, и знать период колебаний отметчика 
:
.
.
.
; 
.
определяют просто по графику колебаний. В случае (б) следует построить огибающую так, как показано на рисунке, и измерять 
по внешней огибающей.
в одну сторону и столько же отклонений 
в другую. Результаты записать в таблицу.
и 
. Рассчитать 
по формуле (3.1).
изменяется мало, то рассчитать 
по формуле (3.3) для 
при 
. Если 
монотонно изменяется с ростом 
, то применить для определения 
формулу (3.2), рассчитав его для всех 
.
(4.1)
- обобщённые координаты и обобщённые скорости; j = 1, 2, …, n - число степеней свободы системы.
; 
, (4.2)
, 
(4.3)
; 
.
.
.
; 
;
; 
;
; 
.
(4.3)
а
в
и 
(рис. 4.1, в). В этой схеме первая пружина нагружена силой 
, а вторая - силой 
,
при 
. При этом каждое из уравнений Лагранжа содержит только по одному обобщённому ускорению, как и при использовании прямого способа. Если обобщённые координаты выбрать так, чтобы потенциальная энергия имела каноническую форму
,
, (4.4)
, 
, 
(4.6)
,
.
; 
.
.
.
