Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

МАТЕМАТИЧЕЧСКАЯ СТАТИСТИКА





1) утверждение типа стандартных образцов или типа средств измерений;

2) поверка средств измерений;

3) метрологическая экспертиза;

4) государственный метрологический надзор;

5) аттестация методик (методов) измерений;

6) аккредитация юридических лиц и индивидуальных предпринимателей на выполнение работ и (или) оказание услуг в области обеспечения единства измерений.

В законе даны основные понятия, относящиеся к области измерений.

Закон устанавливает требования к измерениям, относящимся к сфере гос.регулирования обеспечения единства измерений:

- должны выполняться по аттестованным методикам (за исключением методик измерений, предназначенных для выполнения прямых измерений, с применением средств измерений утвержденного типа, прошедших поверку;

- результаты измерений должны быть выражены в единицах величин, допущенных к применению в Российской Федерации;

- аттестацию методик измерений проводят аккредитованные в установленном порядке в области обеспечения единства измерений юридические лица и индивидуальные предприниматели;

- Ростехрегулирование устанавливает порядок аттестации методик и ведет единый перечень измерений, относящихся к сфере государственного регулирования обесп. единства измерений.

 

Закон устанавливает также требования:

- к единицам величин

- к эталонам единиц величин

- к стандартным образцам

- к средствам измерений.

 

Закон устанавливает работы в области обеспечения единства измерений, которые требуют аккредитации:

1) аттестация методик (методов) измерений, относящихся к сфере государственного регулирования обеспечения единства измерений;

2) испытания стандартных образцов или средств измерений в целях утверждения типа;

3) поверка средств измерений;

4) обязательная метрологическая экспертиза стандартов, продукции, проектной, конструкторской, технологической документации и других объектов, проводимая в случаях, предусмотренных законодательством Российской Федерации.

 

 

 

МАТЕМАТИЧЕЧСКАЯ СТАТИСТИКА

Выборочный метод

 

Для установления закономерностей, которым подчинены случайные события и случайные величины, теория вероятности, как и любая другая наука, обращается к опыту – наблюдениям, измерениям, экспериментам. Результаты наблюдений за случайными величинами объединяются в наборы статистических данных. Задачей математической статистики, раздела современной теории вероятностей, является разработка методов сбора и обработки статистических данных, а также их анализа с целью установления законов распределения наблюдаемых случайных величин [8, 9].

 

1. Генеральная и выборочная совокупность данных

Генеральной совокупностью является набор всех мыслимых статистических данных, при наблюдениях случайной величины:

.

Наблюдаемая случайная величина Х называется признаком или фактором выборки. Генеральная совокупность есть статистический аналог случайной величины, ее объем N обычно велик, поэтому из нее выбирается часть данных, называемая выборочной совокупностью или просто выборкой

, .

Использование выборки для построения закономерностей, которым подчинена наблюдаемая случайная величина, позволяет избежать ее сплошного (массового) наблюдения, что часто бывает ресурсоемким процессом, а то и просто невозможным. Однако выборка должна удовлетворять следующим основным требованиям:

- выборка должна быть представительной, т.е. сохранять в себе пропорции генеральной совокупности,

- объем выборки должен быть небольшим, но достаточным для того, чтобы полученные результаты ее анализа обладали необходимой степенью надежности. В табл. 1 приводятся примеры генеральных и выборочных совокупностей.

Таблица 1

Генеральная совокупность Выборочная совокупность
Данные переписи населения страны по разным признакам Данные опроса случайных прохожих по тем же признакам
Времена работы электроламп, выпущенных заводом Лабораторные данные о времени работы испытанных электроламп

 

Отметим, что в более строгом смысле выборку можно представить как многомерную случайную величину , у которой все компоненты распределены одинаково и по закону распределения наблюдаемой случайной величины. В этом смысле выборочные значения есть одна из реализаций величины .

 

2. Статистическое распределение выборки. Выборочный ряд, полигон, гистограмма и комулянта выборки

Возможные значения элементов выборки , называются вариантами выборки, причем число вариант m меньше чем объем выборки . Варианта может повторяться в выборке несколько раз, число повторения варианты в выборке называется частотой варианты .Причем . Величина называется относительной частотой варианты .

Упорядоченный по возрастанию значений набор вариант совместно с соответствующими им частотами называется вариационно-частотным рядом выборки:

; .

Ломаная линия, соединяющая точки вариационно-частотного ряда на плоскости или называется полигоном частот.

Пример 1. Пусть дана выборка полуденных температур месяца мая своим вариационно-частотным рядом, приведенным в табл. 2:

Таблица 2

хj
nj

 

На рис.10.1 приводится полигон частот рассматриваемой выборки.

 

Рис.10.1 Полигон частот

Вариационно-частотный ряд имеет существенный недостаток, а именно, ненаглядность полигона в случае малой повторяемости вариант, например, при наблюдении непрерывного признака его повторяемость в выборке маловероятна. Более общей формой описания элементов выборки, является гистограмма выборки. Для ее построения, разобьем интервал значений выборки на m интервалов длины с границами .Число элементов выборки , попадающих в интервал, называется частотой интервала, кроме того вводятся следующие величины:

~ относительная частота интервала,

j ~ плотность относительной частоты интервала.

Совокупность интервалов, наблюдаемой в выборке случайной величины и соответствующих им частот, называется гистограммой выборки.

, ,

Для частот гистограммы выполнены следующие условия нормировки:

, ,

Число интервалов гистограммы mдолжно быть оптимальным, чтобы, с одной стороны, была достаточной повторяемость интервалов, а с другой стороны не должны сглаживаться особенности выборочной статистики. Рекомендуется значение . На плоскости гистограмма представляется ступенчатой фигурой.

Пример 2. Наблюдаемые значения полуденной температуры месяца мая разбиты на 6 интервалов, соответствующая гистограмма задана следующей табл. 3:

Таблица 3

hj 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30
nj

 

Гистограмма наблюдаемых температур приводится на рис. 10.2.

 

Рис. 10.2 Гистограмма частот

 

Выборочной или эмпирической функцией распределения называется функция , определяющая для каждого значения х относительнуючастоту события {X<x} в выборке, которая вычисляется через сумму соответствующих частот:

.

В нашем примере выборочная функция распределения (иногда называемая комулянтой) приводится на рис.10.3.

При увеличении объема выборки относительная частота события приближается к вероятности этого события (теорема Бернулли), поэтому выборочная функция распределения является оценкой теоретической функции распределения для случайной величины .

для любого х и .

Это утверждение строго доказано и носит форму теоремы Гливенко [7].

Рис. 10.3 Комулянта частот

3. Выборочные характеристики

Помимо полигона и гистограммы выборка характеризуется следующими числовыми величинами:

Основные характеристики

~ выборочное среднее;

~ выборочная дисперсия;

~ выборочное среднеквадратическое отклонение;

~ исправленная выборочная дисперсия;

~ исправленное выборочное среднеквадратическое

отклонение (выборочный стандарт).

 

 

Дополнительные характеристики

~ выборочный начальный момент порядка k;

~ выборочный центральный момент порядка k;

Часто используются моменты 3-го и 4-го порядков в следующей форме:

~ выборочная асимметрия;

~ выборочный эксцесс.

В статистической практике рассматриваются так же групповые характеристики, например, в интервальных группах гистограммы выборки вычисляются средние интервальные значения и дисперсии.

 

Пример 3.Рассмотрим вычисление выборочных характеристик для выборки, представленной в примере 1. У этой выборки объема имеется m=13 вариант и столько же соответствующих им частот , которые расположены в первых двух столбцах табл. 4.

Таблица 4

В последующих столбцах табл. 4, в соответствие с методом сводных таблиц, приводится расчет выборочных моментов и выборочных характеристик через варианты и частоты выборки:

; ; ;

;

Причем выполняется .

; ;

; .

Отметим, что все приведенные числовые характеристики являются случайными величинами, поскольку получены по элементам случайно взятой выборки. На элементах другой выборки наблюдений над той же случайной величиной числовые характеристики в общем случае изменят свое значение, то есть характеристики являются функцией от выборки , например:

; .


Выборочные распределения

Если наблюдаемая случайная величина является нормальной, т.е , где - математическое ожидание, - среднеквадратическое отклонение, то случайная величина среднего выборочного так же является нормальной . Здесь нормальные случайные величины, совпадающие с наблюдаемой величиной. Рассмотрим стандартные нормальные величины в виде:

,

и построим из них случайные величины Пирсона и Стьюдента .

Тогда получим [9,10]:

,

.

Отсюда видно, что случайная величина выборочной дисперсии DВ распределена пропорционально «Хи-квадрат» случайной величине с n степенями свободы, а отклонение выборочного среднего от математического ожидания распределено пропорционально t-величине Стьюдента с n-1 степенью свободы.

При сравнении двух выборок объемов n1 и n2 часто используется случайная величина Фишера со степенями свободы n1 и n2 :

.

 

 

1. Распределения Стьюдента и Пирсона

Распределения величин и известны аналитически в виде функции плотности распределения вероятностей

здесь - функция Эйлера, обладающая свойством , в силу которого при целом положительном имеет место

Графический вид функций плотности представлен ниже на рис. 11.1, 11.2 для различного количества степеней свободы.

Рис.11.1 Кривые «Хи-квадрат» распределения

Рис.11.2 Кривые распределения Стьюдента

 

Числовые характеристики распределений «Хи-квадрат» и Стьюдента следующие:

, , , .

Можно заметить, что с ростом числа степеней свободы, указанные распределения будут приближаться к нормальному распределению, что соответствует центральной предельной теореме теории вероятностей.

2. Таблицы распределения выборочных величин

 

Обычно выборочные распределения задаются таблично в виде левосторонних функций распределения и/или обратных к ним правосторонних квантилей , графический смысл которых изображен на рис.11.3. Таблица значений этих величин известна [10] и они приводятся в приложениях 2-5.

 

Рис.11.3 Правосторонняя квантиль

 

В статистическом комплексе программ MS Excel-2007 эти распределения представлены следующими функциями:

- правостороннее распределение Пирсона,

- правосторонняя квантиль Пирсона,

- правостороннее t-распредел. Стьюдента,

- двухстороннее t –распределение,

- двухсторонняя t –квантиль,

- правостороннее F-распределение

Фишера,

FРАСПОБР - правосторонняя квантиль Фишера.

Для работы с нормальной случайной величиной имеются следующие полезные функции:

- весовая функция

- интегральная функция

- обратная интегральная функция;

- весовая функция со стандартными

параметрами

- обратная стандартная интегральная функция;

Ф - Функция Лапласа.






Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 423. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.022 сек.) русская версия | украинская версия