Состав доказательства

В доказательстве выделяются:

1. Тезис доказательства – высказывание, истинность или ложность которого доказывается.

2. Аргументы – высказывания, посредством которых осуществляется доказательство тезиса.

3. Промежуточные допущения – вспомогательные допущения, которые вводятся в процессе рассуждения (дедукции) и устраняются затем при переходе к окончательному результату рассуждения.

4. Форма доказательства – логический способ обоснования тезиса при помощи аргументов (возможно с использованием промежуточных допущений).

В доказательстве таким способом обоснования тезиса является дедуктивный вывод, то есть вывод, обеспечивающий истинность заключения (тезиса) при истинности посылок (аргументов доказательства). Основу такого дедуктивного рассуждения составляет совокупность принятых законов логики и правил перехода от одних высказываний к другим в процессе доказательства. Указание на характер этих переходов называют также демонстрацией.

Поскольку речь шла о доказательстве в широком смысле, приведенная характеристика состава доказательства относится и к доказательствам в узком смысле, а также и к опровержениям. Рассмотрим теперь более подробно элементы этого состава.

Поскольку доказательство – это рассуждение, завершающееся обоснованием тезиса, то форма доказательства – это форма соответствующего рассуждения, совокупность связей между исходными и возникающими в процессе рассуждения высказываниями. Если доказательство осуществляется в рамках некоторой логической системы, то форма его определяется совокупностью употребляемых в доказательстве законов и правил этой системы.

В процессе демонстрации происходит обоснование переходов от одних высказываний к другим, и таким образом раскрывается характер упомянутых связей между высказываниями. Этот момент обоснования отсутствует в так называемых естественных рассуждениях, когда нет специального описания используемых в доказательстве логических средств.

В практике научного познания под термином «доказательство» имеют в виду не просто дедуктивный вывод тезиса из множества аргументов, а более широкую процедуру интеллектуального характера, включающую также и поиск аргументов. А это означает анализ некоторых известных связей, отношений в той области действительности, к которой относятся содержащиеся в тезисе утверждения. Например, доказательство равенства суммы углов треугольника 180 градусам (в Эвклидовой геометрии) включает определенное построение (проведение линии, параллельной одной из сторон треугольника) и анализ соотношений углов, образованных пересечениями этой линии двумя сторонами треугольника. В результате анализа оказывается, что в качестве аргументов здесь могут быть взяты уже доказанные теоремы о равенстве накрест лежащих углов, образуемых при пересечении двух параллельных третьей линией, и о равенстве развернутого угла 180 градусам.

Существенную роль также в качестве аргументов играют, наряду с аксиомами, аналитически истинные утверждения, то есть утверждения, истинные в силу принимаемых определений. Например, развернутый угол – это угол, который образован двумя лучами, каждый из которых является продолжением другого.

Однако для представления доказательства в более полном виде в качестве аргументов могли бы быть взяты только аксиомы, которые были использованы в доказательстве упомянутых теорем, и высказывания, истинные по определению. Использование же ранее доказанных теорем – это способ сокращения доказательства.

Аргументы – в правильном доказательстве – это высказывания, истинность которых не вызывает сомнения, и при этом уверенность в их истинности имеет какие-то рациональные основания. Иначе говоря, аргументы – это такие высказывания, которые выражают знание человека о наличии или отсутствии соответствующих – утверждаемых или отрицаемых в этих высказываниях – ситуаций. При осуществлении доказательства и в процессе аргументации необходимо учитывать характер аудитории, для которой она предназначена. В зависимости от аудитории правомерно употреблять в качестве аргументов то или иное множество высказываний. Различными также для разных аудиторий могут быть приемлемые законы логики и правила
вывода.

Множество высказываний, приемлемых для данной аудитории в качестве несомненно истинных – для доказательства некоторого утверждения, или в качестве правдоподобных – когда речь идет лишь о более или менее достаточном подтверждении, а также совокупность приемлемых логических средств – называется полем аргументации.

К числу несомненно истинных, или достоверных, видов аргументов, входящих в поле аргументации, в любом случае обычно относят высказывания, истинность которых устанавливается на основе чувственного опыта при условии многократной проверки их с целью убеждения в надежности показаний органов чувств.

Достоверными являются также утверждения, истинные по определению – аналитически истинные утверждения; далее, аксиомы содержательной теории, которые нередко даже и определяют в литературе как «утверждения, не требующие доказательства» (не требующие именно в силу их очевидности). Однако история науки знает немало примеров, свидетельствующих о том, что очевидность не всегда является достаточным критерием истинности.

Аргументами доказательства в составе некоторой теории могут быть утверждения, уже ранее доказанные в этой теории.

Промежуточные допущения играют вспомогательную роль. Они вводятся в зависимости от логической структуры тезиса и, в конечном счете, устраняются в процессе самого доказательства. Эти высказывания могут быть как истинными, так и ложными. Например, в доказательствах «от противного» вводятся – в качестве промежуточных допущений – обычно даже заведомо ложные
высказывания.