Элементы квантовой механики

Элементы квантовой механики

 

 

Для объяснения свойств твердых тел и зависимости этих свойств от атомноэлектронной структуры вещества используются статистические и квантовомеханические представления.

 

9.1. Дуализм света. Формула Л. де - Бройля

 

 

В явлениях интерференции, дифракции, дисперсии, поляризации, поглощения и рассеяния свет проявляет волновые свойства (волновая теория, см. Лекции 1 - 5), т. е. свет - ЭМВ с и

.

В явлениях теплового излучения и фотоэффекта (см. Лекции 6, 7) свет представляет собой поток фотонов (корпускулярная теория) с или и .

Таким образом, свет одновременно может проявлять как волновые, так и корпускулярные свойства (дуализм света).

Де - Бройль высказал гипотезу: " Дуализм свойственен и другим микрочастицам: электронам, протонам, в отдельных случаях атомам, ионам и т. д. - т. е. имеет универсальную природу".

Из гипотезы следует:

1) Дуализм присущ всем микрочастицам (МЧ), не только фотонам.

2) Если существует микрочастица с и , то ей соответствует волна с , которая называется волной де-Бройля.

3) Соотношения - называются соотношениями де - Бройля.

4) Волны де - Бройля имеют квантовую природу, т. е. вероятностное, статистическое толкование и не имеют аналогов в классической механике.

5) К. Девидссон и Л. Джермер наблюдали дифракцию электронов от Ni - пластины и подтвердили, что как и для рентгеновских лучей (см. Лекция 3), для электронов справедлива формула Вульфа – Бреггов, т. е. .

6) Т. Томпсон и Л.В. Тартаковский, изучая спектры электронов и рентгеновских лучей, показали их идентичность, т. е. сделали вывод, что электрон обладает волновыми свойствами.

7) О. Штерн наблюдал дифракцию у атомных и молекулярных пучков. Полученные интерференционные картины оказались идентичны световым.

8) В.А. Фабрикант, Н.Г. Сушкин и Л.М. Биберман, изучая дифракцию электронов, установили, что даже отдельный электрон обладает волновыми свойствами.

Этими экспериментами было доказано, что микрочастицы сочетают в себе одновременно корпускулярные и волновые свойства (дуализм). Эти свойства, применительно к электронам, можно сформулировать следующим образом:

а) Электрон - это сложное материальное образование со структурой, зависящей от свойств окружающей среды и обладающий волновыми свойствами.

б) Корпускулярная природа электрона проявляется в том, что он действует как единое целое, не делясь на части.

Итак, качественным отличительным признаком всех микрочастиц является одновременное сочетание в них корпускулярных и волновых свойств, причем волновыми свойствами обладают не совокупность, а каждая из частиц в отдельности.

 

9.2. Уравнение Шредингера

 

 

Качественное отличие микрочастиц от материальных точек, используемых в классической физике, требует и нового подхода к описанию их движения. Так как микрочастица обладает волновыми свойствами, то закон ее движения должен определяться законом распространения соответствующих волн, т. е. волн де - Бройля, и удовлетворять, как и в классической механике, волновому уравнению.

Приведем формальный вывод такого уравнения.

Пусть плоская волна распространяется вдоль (плоский случай). Подбором времени пусть a₀ = 0, тогда в

 

 

комплексной форме

.

Перейдем к новой функции ,

которая связана с волной де - Бройля

и воспользуемся соотношением где - кинетическая энергия, - импульс микрочастицы.

Таким образом,

или с учетом

,

окончательно

.

Анализ:

1) Как и в классической механике (см. " Механика...". Лекция 7) это дифференциальное уравнение 2-го порядка - есть волновое уравнение.

2) Полученное выражение в квантовой механике называется уравнением Шредингера.

3) Если микрочастица движется в пространстве (), то

, где D - оператор Лапласа.

4) Если микрочастица движется в силовом поле, т. е. обладает потенциальной энергией , тогда , а волновое уравнение имеет вид:

.

Во втором слагаемом - появляется после домножения обеих частей полученного тождества (см. вывод).

Или

.

Полученное выражение называется полным уравнением Шредингера и описывает движение микрочастицы в силовом поле.

5) Функция - являющаяся решением волнового уравнения, называется волновой функцией. Вид ее зависит от характера сил поля, в котором движется микрочастица. Эта функция комплексная, поэтому физический смысл имеет произведение yy^*, где y* - комплексно сопряженная функция. В этом случае yy^* - есть действительное число.

6) Величина - это вероятность того, что микрочастица в любой момент времени находится в выделенном объеме . Так как вероятность не может быть величиной неоднозначной, бесконечной или изменяющейся скачком, то функция должна быть непрерывной, однозначной, иметь любую производную и конечные значения во всех точках пространства.

7) Из 6) - это условие нормировки. Функция, удовлетворяющая данному уравнению, называется нормированной. С другой стороны, физически данное выражение (условие) означает достоверный факт (вероятность равна единице), что микрочастица находится действительно в выделенном объеме.

 

 

8) Уравнение Шредингера можно записать и в виде

После замены

9) Уравнение Шредингера в квантовой механике и

играет ту же роль, что и уравнение второго за - соответствую -

кона Ньютона в классической, т. е. – это урав - щего домноже-

нение движения микрочастицы. Таким образом, ния левой части

задать закон движения микрочастицы означает на

задать волновую функцию в любой момент времени и в любой точке пространства.

 

9.3. Уравнение Шредингера для стационарных

состояний

 

 

На практике во многих случаях потенциальная энергия - не зависит от времени, т. е. силовое поле является стационарным. В этом случае и волновую функцию , которая является решением полного уравнения Шредингера, можно представить в виде

т. е. как произведение двух функций, зависящих от разных переменных.

Рассмотрим движение микрочастицы вдоль (плоский случай), тогда и уравнение имеет вид:

.

После подстановки

.

Разделим переменные, для чего обе части тождества умножим на величину , тогда

.

В этом тождестве левая часть является функцией от времени, а правая - от координаты. Тождество справедливо, если обе части равны const. Пусть const = , где - полная энергия микрочастицы, тогда

или

Анализ:

1) Для микрочастицы, движущейся в пространстве (объемный случай),

или .

2) Функции или , зависящие только от координат, называются амплитудой волновой функции , так как = .

3) Дифференциальные уравнения для функций и называются амплитудными уравнениями Шредингера.

4) Дифференциальное уравнение первого порядка

имеет решение , где - одно из собственных значений энергии.

5) С учетом п. 4. = есть

Найдем или .

После соответствующей подстановки

или

.

Вероятность нахождения микрочастицы в объеме не зависит от времени. Такое распределение называется стационарным. Отсюда, амплитудное уравнение Шредингера описывает стационарное состояние микрочастицы.

9.4. Соотношение неопределенностей

 

 

В классической механике (см. " Механика... ". Лекция 3) было показано, что если материальная точка движется, то:

а) Ее состояние однозначно определено с помощью 3-х координат () и 3-х составляющих импульса (), причем в любой момент времени эти величины имеют строго определенные значения и могут быть измерены.

б) Существует траектория движения материальной точки.

в) Если известна сила (причина движения), действующая на материальную точку, то можно определить для любого , т. е. рассчитать все параметры движения, например, ускорение - .

г) Для плоского случая (движение материальной точки вдоль оси )

или

Последние соотношения определяют принцип причинности в классической механике, т. е. любое явление имеет причину, его вызывающую.

Рассмотрим движение материальной точки при квантовом подходе. Пусть движется (вдоль ) микрочастица, которая имеет импульс . Согласно представлениям де – Бройля такой микрочастице соответствует волна с , но волна является протяженным объектом (определена -¥ < < +¥), поэтому интервал Dх, в котором локализована микрочастица с , есть D = ¥ или ₂ -

- ₁ = D = ¥. Таким образом, микрочастица, обладающая определенным значением импульса (), не имеет определенной координаты () и наоборот.

Из полученного следует:

1) Из-за двойственной природы микрочастица не имеет одновременно определенных координат и составляющих импульса. В классической механике для материальной точки они определены и в любой момент времени могут быть измерены.

2) Степень точности с какой к микрочастице может быть применено представление о ее определенном положении в пространстве задается соотношениями

или

которые называются соотношениями неопределенностей или соотношения В. Гейзенберга. Это один из основных законов квантовой механики.

3) Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определена - координата микрочастицы, тем неопределеннее становится численное значение составляющей импульса и наоборот.

4) В квантовой механике теряет смысл понятие траектории движения, которое нельзя связать с волновыми свойствами микрочастицы.

5) Из соотношения неопределенностей между координатой и составляющей импульса (и наоборот) следует соотношение неопределенностей между энергией и временем

.

После подстановки

или

Соотношение неопределенностей справедливо и для квантовых систем: " Любая физическая система не может находиться в состояниях, в которых координаты ее центра инерции и импульс одновременно принимают определенные (точные) значения". Математически это можно записать как , т. е. произведение - не может быть меньше величины порядка .

Из данного определения следует:

1) Ввиду малости величины данное соотношение существенно только на микроуровне (для микрочастицы или атомов) и не проявляется в опытах с макроскопическими телами.

2) Никакой эксперимент не может привести к одновременному точному измерению величин и , причем неопределенность связана не с процессом и приборами для измерений, а объективными свойствами материи.

3) Микрочастица из - за двойственной природы при взаимодействиях ведет себя неоднозначно, причем каждое из возможных проявлений осуществляется с определенной степенью вероятности. Система одна, опыты одни и те же, а результаты будут разными, однако, некоторые из результатов наиболее вероятны, т. е. проявляются чаще других. Частота их появления пропорциональна и проявляться чаще будут те, которые расположены вблизи максимума волновой функции.

4) При получении информации об одних величинах теряется информация о других, дополнительных к первым. Это в квантовой механике называется принципом дополнительности. Например, координата - скорость, координата - импульс, кинетическая - потенциальная энергии и т. д. Это объективный принцип квантовых систем.

5) В квантовой механике принцип причинности выражается в уравнении Шредингера, связывающем волновую функцию, зависящую от координат и времени, с величиной силового поля (потенциальной энергией), характеризующей взаимодействие в квантовой системе.

 

9.5. Движение свободной микрочастицы

 

 

Пусть микрочастица движется вдоль и пусть , т. е. она свободная, тогда ее движение описывает амплитудное уравнение Шредингера

где - только кинетическая энергия мик -

частицы.

После подстановки

и замены - волновое число Волновой вектор

.

Решением данного дифференциального уравнения будет функция

Найдем вид функции y (x, y, z, t), которая является решением полного уравнения Шредингера y (x, t) = f (x) j (t) или

y(x, y, z, t) = f(x, y, z)j(t)

 

После преобразования решение будет иметь вид

.

 

Анализ:

1) Решение данной задачи, т. е. волновая функция - это суперпозиция двух плоских волн, распространяющихся в разных направлениях.

2) При движении микрочастицы вдоль положительного направления оси и решением уравнения движения есть функция , т. е. в классической теории (см. " Механика …". Лекция 7) это обычная плоская волна . В другом случае , т. е. и

- тоже плоская волна.

3) В процессе вывода получили, что , т. е. , где - волновое число. График зависи -

мости от - парабола, т. е. спектр энергий свободной микрочастицы - сплошной.

 

4) Найдем вероятность нахождения микрочастицы на участке вдоль оси .

,

т. е. вероятность нахождения микрочастицы пропорциональна и имеет одинаковое значение вдоль всей траектории движения.