Математические методы обоснования управленческих решений

Математические методы обоснования управленческих решений

1. Общие понятия о моделях и методах при принятии организационных и управленческих решений

2. Основные понятия экономико-математического моделирования

3. Экономико-организационная интерпретация задачи линейного программирования

1. Общие понятия о моделях и методах при принятии организационных и управленческих решений

В процессе управления предприятиями мосто- и тоннелестроения реализуются три основные функции: подготовка решения, принятие решения и осуществление решения. Каждая из названных функций управления обусловливает необходимость анализа большого количества различной по содержанию информации. В результате возникает потребность использования современных средств сбора и обработки информации (например, электронно-вычислительной техники и экономико-математических методов).

На рис. 3.1. представлена классификация задач принятия решения по следующим признакам:

- по числу целей (одноцелевые (однокритериальные) и многоцелевые (многокритериальные);

- по действию случайных и неопределенных факторов, влияющих на исход операции (в зависимости от степени информированности решение принимается в условиях «определенности», «риска» или «неопределенности»);

- по зависимости критерия оптимальности и условий от времени (статические и динамические).

Статические

 

Рис. 3.1. Классификация задач принятия решений

 

Модель – это условный образ объекта, сконструированный для упрощения его исследования.

Виды моделей:

- физическая модель, представляющая собой некоторую материальную систему, которая отличается от моделируемого объекта размерами, материалами и т.п. Физическая модель может быть масштабной (например, макет строительной конструкции) или аналоговой, построенной на основании того или иного физического процесса, протекающего в моделируемом явлении (например, динамическая модель гидроэлектростанции);

- символическая (абстрактная модель), создаваемая с помощью языковых, графических, математических средств описания и абстрагирования.

Среди всех существующих моделей особое место занимают экономико-математические модели. Это абстрактные модели, представленные системами математических выражений, описывающих характеристики объекта моделирования и взаимосвязи между ними. Такие модели предназначены для изучения, планирования и регулирования экономических свойств или отношений, на которые направлены исследования и которые могут существенно повлиять на результаты решения задачи. Объектом экономико-математического моделирования могут выступать различные технико-экономические системы, в том числе мосто – тоннелестроительное производство.

При построении модели учитывают метод, который предполагается использовать при ее практической реализации.

Для решения задач в условиях определенности используют следующие методы:

- для решения задач линейного программирования чаще всего используют симплекс-метод и метод разрешающих множителей (подробнее о линейном программировании см. п 3.3);

- задачи дискретного программирования решают методом отсечений либо методом ветвей и границ (к моделям дискретного программирования приводят задачи с неделимостями – выпуск неделимых видов продукции; экстремальные комбинаторные задачи – календарное планирование, многошаговые задачи принятия решений);

- балансовые модели и методы применяют для решения задач планирования и управления строительством: планирование капиталовложений, материально-технической базы, бухгалтерский учет и др.;

- с помощью метода динамического программирования решают задачи с непостоянными во времени переменными состояниями системы: формирование годовой программы фирмы, в которую заказы на строительство объектов поступают последовательно; задача оптимального управления запасами на складе.

В решении задач планирования и управления строительством модели математического программирования считаются наиболее обоснованными, т.к. базируются на предварительном анализе экономико-математической модели и глубоком осознании закономерностей моделируемого процесса. Основным недостатком методов математического программирования является то, что все параметры задачи предполагаются полностью определенными.

Задача принятия решения в условиях неопределенности определяется как задача выбора оптимальной стратегии в операции, исход которой, зависит не только от детерминированных (определенных) факторов, но и некоторых случайных факторов. Вследствие этого каждой стратегии оперирующей стороны соответствует не единственный исход, как в детерминированном случае, а множество возможных исходов.

Для решения задач в условиях неопределенности используют методы стохастического программирования. Немногие известные методы решения задач стохастического программирования можно подразделить на две группы:

- стохастические задачи сводятся к детерминированным и решаются соответствующими методами математического программирования;

- вероятностные методы решения стохастических задач (например, метод Монте-Карло).

Для решения задач в условиях полной неопределенности используют, например, методы так называемой теории игр и теории минимакса. Теория игр изображает процесс хозяйствования как столкновение некоторых стратегий, которое приводит к столкновению интересов. Теория игр может быть использована при выборе оптимальной стратегии повышения качества мостостроительной продукции; при решении задачи управления запасами.

Более подробно с методами решения задач по организации, планированию, управлению строительством студенты могут ознакомиться в [ ], а также по специальной литературе.

 

2. Основные понятия экономико-математического моделирования

Экономико-математические методы, позволяют из многочисленных вариантов решений организационных или эконо­мических задач выбрать теоретически наилучшее решение.

Инструмент экономико-математичес­ких методов — математические мето­ды программирования, а также вычис­лительная техника.

Задача экономико-математических методов — ликвидация несоответствия между высоким уровнем строительства и несовершенными приемами планиро­вания и управления.

При помощи этих методов в мосто­строении можно:

1. оптимизировать пере­возки материалов;

2. реально и объектив­но прогнозировать ход строительства;

3. обеспечивать непрерывное планирова­ние и оперативный контроль за ходом ведения работ;

4. эффективно использо­вать и распределять материально-тех­нические ресурсы; наиболее полно ис­пользовать резервы снижения себе­стоимости строительно-монтажных ра­бот выбором оптимальных вариантов при решении экономических задач;

5. из многочисленных вариантов принятия решения по строительному производ­ству выбирать оптимальный.

В мосто- и тоннелестроении, характеризующими­ся значительной многовариантностью, решение производственных задач с применением экономико-математичес­ких методов позволит существенно по­высить эффективность использования средств и ресурсов при незначительных финансовых затратах.

Термины и определения при решении задач экономико-математическими ме­тодами.

Оптимальный план — это наи­лучший из многочисленных вариантов решения организационных вопросов при ограниченных ресурсах.

Критерий оптимальности — это вы­бранное в данных условиях ограниче­ние, с учетом которого отыскивается оптимальный вариант.

Целевая функция — это мера дости­жения поставленной цели при задан­ном критерии для выбора оптимально­го плана.

С точки зрения математики оптималь­ный план — это математическая мо­дель строительного производства, опи­санная уравнениями, удовлетворяющая определенной цели (целевой функции) при определенном критерии. Таким образом, каждый процесс принятия ор­ганизационного или экономического решения (нахождения оптимального плана) может быть описан функцией, в которой аргументами являются допус­тимые варианты решения, а значения­ми — числа, описывающие целевую функцию.

Задача принятия оптимального пла­на (решения) сводится к нахождению максимальной или минимальной целе­вой функции, а также того конкретно­го решения — аргумента (оптимально­го варианта), при котором это значе­ние достигается. Такое максимизирую­щее (минимизирующее) значение целе­вой функции также выражает сущность оптимального плана.

В каждом случае принятия решения с помощью математических методов необходимо описать математическим языком множество допустимых реше­ний и целевую функцию; математичес­ки найти максимум (минимум) це­левой функции и допустимое реше­ние, при котором достигается этот максимум (минимум). Первая из этих задач решается математическим моде­лированием, вторая — использованием экстремальных и других задач матема­тики.

Математическая модель является схематическим изображением дейст-

вительности. Для ее составления тре­буется изучить сущность процесса, а также иметь опыт математического рассуждения. Чем точнее составлена математическая модель, тем большую практическую ценность имеет решение. Учет в ней большого числа явлений второстепенного характера может при­вести к ощутимым математическим затруднениям. Поэтому в процессе мо­делирования важно правильно выде­лить нужно выработать алго­ритм целенаправленного перебора ре­шений.

Математические методы при решении конкретных экономичес­ких задач организации и управления строительным производством приме­няются в два этапа.

Первый этап заключается в построе­нии математической модели, форму­лирующей поставленную цель. Этот этап наиболее ответственный и труд­ный, так как для составления модели необходимо понимание экономической природы задачи и умение выразить ее математическим языком.

Второй этап — это собственно реше­ние уравнений и нахождение максиму­ма или минимума целевой функции.

 

3. Экономико-организационная интерпретация задачи линейного программирования

Линейным программированием называ­ется математическая теория нахожде­ния экстремума линейных функций неотрицательных переменных, ограни­ченных линейными равенствами и не­равенствами.

Линейное программирование предпо­лагает решение организационных или экономических задач при записи моде­ли строительного производства линей­ными уравнениями.

Существуют два основных направления решения задач методами линейного программирования:

1) поиск оптимума путем улучшения допустимого плана, т.е. удовлетворяющего условиям задачи – ограничениям.

2) поиск оптимума путем обеспечения допустимости условно оптимального плана, т.е. плана, в котором соблюдение условий допустимости не обязательно.

К первому направлению относятся методы как симплексный, распределительный, ко второму – венгерский метод, метод разрешающих слагаемых и т.д.

В математической модели задачи линейного программирования для первого направления выделя­ется три группы требований: целевая функция —max, min; система ограничений; условие неотрицательности перемен­ных.

Решение, удовлетворяющее системе ограничений и условию неотрицатель­ности, называется допустимым реше­нием.

Решение, удовлетворяющее всем трем группам требований, называется оптимальным решением.

В реальных задачах линейного про­граммирования имеется множество ог­раничений и неизвестных. Перебор всех допустимых решений сделать невозможно даже на ЭВМ. По­этому все принципы решения задач ли­нейного программирования основаны на поэтапном переходе от исходного ва­рианта к оптимальному.

В общем виде задача линейного про­граммирования очень сложна, и в на­стоящее время имеется немного типо­вых задач с решениями. К ним отно­сятся: транспортная задача (оптималь­ный план перевозок); задача составле­ния бетонной смеси; задача планиро­вания производства (оптимальное ис­пользование материально-технических ресурсов).

4. Транспортная задача

Сущность транспортной задачи.

По сравнению с другими задачами линей­ного программирования транспортная задача имеет особенности, обеспечи­вающие ее более легкое решение.

1. В системе ограничений принима­ется единая единица для измерения всех величин, входящих в уравнения (т, км, руб. и пр.).

2. Коэффициенты в уравнениях ог­раничений равны единице.

При помощи транспортной задачи можно решать следующие организа­ционные и экономические задачи:

1. Развития и размещения заводов и полигонов по изготовлению конструк­ций для обеспечения зоны действия мостостроительной организации.

2. Построения рационального плана перевозок строительных материалов и конструкций от баз к месту строитель­ства мостов.

3. Определения рационального со­става парка машин мостостроительных организаций.

4. Распределения земляных масс и выбора способов производства земля­ных работ на строительстве подходов к мостам или дороги в целом.

5. Рационального использования в мостостроительной организации машин и механизмов, нахождения оптималь­ного варианта их расстановки по объ­ектам.

6. Выбора рационального состава основных машин и комплектующих средств.

7. Составления комплексных планов деятельности мостостроительных орга­низаций.

Интерпретация транспортной задачи.

Имеется 1, 2, 3,..., mзаводов (по­ставщиков), выпускающих пролетные строения.

Имеется 1, 2, 3,..., n объектов (потребителей), которым нужны эти про­летные строения.

Известно, что каждый завод выпус­кает определенное число изделий А1, …. Аm

Известно, что каждому объекту тре­буется таких изделий: В1 ,..., Вn.

Известно расстояние от каждого за­вода до каждого поставщика:

C11, C12 … Cmn.

Требуется определить, какое число пролетных строений будет отправлено заводами на каждый объект при усло­вии, что спрос будет полностью удов­летворен и стоимость перевозок будет минимальной.

В сокращенном виде транспортная задача записывается:

Целевая функция:

Ограничения (условия):

а) объем пролетных строений будет полностью вывезен с заводов:

б) потребители получат груза по не­обходимости:

в) условие неотрицательности пере­менных:

xj ³ 0, j =1…n.

Требуется, чтобы объем спроса был равен объему потребности:

, т.е. необходимо определить какое число пролетных строений будет отправлено заводами на каждый объект при условии, что спрос будет полностью удовлетворен и стоимость перевозок будет минимальной.

Задача включает тп переменных и т+п ограничений, из которых т ог­раничений связаны с запасом груза у отправителей, а п ограничений — с по­требностями получателей.

Это, говорит о том, что система ограничи­вающих уравнений транспортной зада­чи совместна лишь в случае, когда об­щий запас груза у отправителей равен суммарной потребности получателей.