Расчетно-проектировочная работа № 4«Расчеты на прочность при сложном сопротивлении»
Пример 16. Для балки из двух неравнобоких уголков № 7, 5/5 Ход решения. 1. Определяем реакции опор. а) В вертикальной плоскости. Рисунок 5.3 б. Отсюда
Рисунок 5.3
б) В горизонтальной плоскости. Рисунок 5.3 в Отсюда
Проверка 2. Строим эпюры внутренних силовых факторов а) В вертикальной плоскости в соответствии с рисунком 5.3 б. Для участка АВ
Для участка ВС
Для участка DС
б) В горизонтальной плоскости в соответствии с рисунком 5.3 в. Для участка АВ
Для участка ВС
Для участка DС
По найденным значениям строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов в плоскостях их действия. При этом положительные их значения откладываются вверх и от себя, отрицательные вниз и на себя в вертикальной и горизонтальной плоскостях, в соответствии с рисунками 5.3 б, в. 3. Определяем опасное сечение. Опасное сечение С с 4. Определяем опасные точки опасного сечения. Для этого строим эпюры нормальных напряжений от действия Из построенных эпюр нормальных напряжений от Положение нейтральной линии эпюры результирующих напряжений определяется из его уравнения
где Геометрические характеристики уголков взяты из сортамента неравнобоких уголков. По полученному углу 5. По условию прочности при косом изгибе определяем результирующие нормальные напряжения В точке 1
Знаки напряжений в точках сечения от В точке 2 х 2 = 0, у 2 = 5, 11 см В точке 3 х 3 = 5 см, у 3 = -2, 39 см 6. Определяем коэффициент запаса прочности.
Пример 17. Для балки прямоугольного поперечного сечения размерами
Ход решения 1. Определяем реакции опор. Так как балка консольная, то реакции можно не определять, а построение эпюр внутренних силовых факторов вести со свободного конца консоли. 2. Стоим эпюры внутренних силовых факторов. а) В вертикальной плоскости. Рисунок 5.4 б
б) В горизонтальной плоскости. Рисунок 5.4 в
По найденным значениям строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов в плоскостях их действия в соответствии с рисунками 5.4 б, в.
Рисунок 5.4
3. Определяем опасное сечение. Опасное сечение А в жёсткой опоре с 4. Определяем опасные точки опасного сечения. Для этого строим эпюры нормальных напряжений от 5. По условию прочности при косом изгибе определяем результирующие напряжения.
В точке 1 х 1 = 2, 5 см у 1 = 4, 5 см координаты точки
В точке 2 где Определяем положение нейтральной линии
6. Определяем коэффициент запаса прочности
Вопросы и ответы для самоконтроля 1. Какое состояние называется сложным сопротивлением? Состояние стержня, при котором в его сечениях действует одновременно все или несколько внутренних силовых факторов, называется сложным сопротивлением. 2. Какое состояние называется косым изгибом с растяжением-сжатием? Состояние стержня, при котором в его сечениях действуют поперечные силы 3. Принцип независимости действия сил. Результирующая величина нормальных, касательных напряжений и перемещений определяется как их алгебраическая или геометрическая сумма. 4. Какая линия называется нейтральной? Линия сечения, в которой нормальные напряжения равны нулю, называется нейтральной линией. 5. Условия прочности по III и IV теориям прочности. По III теории прочности По IV теории прочности 6. Какое состояние называется косым изгибом? Состояние стержня, при котором в его сечениях действуют поперечные силы 7. Формула для определения результирующего нормального напряжения при косом изгибе.
8. Закон распределения результирующих нормальных напряжений при косом изгибе. Результирующие нормальные напряжения распределяются по сечению по закону прямой от нуля в нейтральном слое до максимального значения в наиболее удаленных точках поверхностных слоев. 9. Чему равно результирующее касательное напряжение при косом изгибе?
10. Закон распределения результирующих касательных напряжений по сечению при косом изгибе. Результирующие касательные напряжения распределяются по сечению по закону квадратной параболы от нуля в наиболее удаленных от нейтрального слоя поверхностных точках сечения до максимального значения в точках нейтрального слоя. 11. Уравнение нейтральной линии сечения при косом изгибе.
12. Условие прочности при косом изгибе.
13. Решение задач по условию прочности при косом изгибе. Проектировочная задача определения размеров сечения решается методом подбора размеров сечения по заданному их соотношению с последующей проверкой по условию прочности Проверочная задача определения допускаемой нагрузки решается также методом последовательного приближения. Проверочная задача проверки прочности и определения действительного коэффициента запаса прочности решается по условию прочности 14. Как определяется положение нейтральной линии при косом изгибе?
15. Условие жесткости при косом изгибе.
Внецентренное растяжение-сжатие. Основные понятия и формулы. Состояние стержня, при котором в его сечениях действуют продольная сила
Рисунок 5.5 При этом Условие прочности по любой теории прочности
Для сечений, имеющих хотя бы одну ось симметрии
Уравнение нейтральной линии Положение нейтральной линии определяется отрезками, отсекаемыми ею на главных осях сечения.
где
Область около центра тяжести сечения, при приложении внутри которой сжимающей силы  , все сечение испытывает действие только сжимающих результирующих нормальных напряжений, называется ядром сечения. Построение ядра сечения проводится по координатам точек приложения сжимающей силы при обкатывании нейтральной линии по внешнему контуру сечения в соответствии с рисунком 5.6
Рисунок 5.6 Для круглого сечения при Для прямоугольного сечения при
при
Пример 18. Для колонны из четырёх уголков № Ход решения 1. Строим эпюры внутренних силовых факторов, рассматривая отсеченную часть колонны со свободного конца, в соответствии с рисунком 5.7 б. 2. Определяем опасное сечение. Так как размеры поперечного сечения по высоте стойки постоянны, то все сечения равноопасны. 3. Определяем опасные точки сечений. Для этого строим эпюры нормальных напряжений от 4. Составляем условие прочности для точки 1 с максимальным результирующим сжимающим напряжением. Знаки напряжений в точке сечения от
где
Рисунок 5.7
5. Строим эпюру результирующих напряжений, в соответствии с рисунком 5.7 в. Для этого определяем положение нейтральной линии по отрезкам, отсекаемым ею на осях х, у. Отрезок Отрезок Знак минус в ответах указывает, что отрезки По найденной нагрузке определяем напряжения для точки 1 От От От Тогда результирующие напряжения: - в точке 1 - в точке 2 По найденным напряжениям строим эпюру результирующих нормальных напряжений. 6. Строим ядро сечения, обкатывая нейтральную линию по внешнему контуру сечения.
=
Вопросы и ответы для самоконтроля
1. Какое состояние стержня называется внецентренным растяжением – сжатием? Состояние стержня, при котором в его сечениях действуют продольная сила 2. Чему равно результирующее нормальное напряжение при внецентренном растяжении-сжатии?
3. Закон распределения по сечению результирующих нормальных напряжений при внецентренном растяжении-сжатии. Результирующие нормальные напряжения по сечению распределяются по закону прямой от нуля в нейтральном слое до максимальной величины в наиболее удаленных точках поверхностных слоев сечения. 4. Чему равны результирующие касательные напряжения при внецентренном растяжении-сжатии? Результирующие касательные напряжения при внецентренном растяжении-сжатии равны нулю, так как 5.Уравнение нейтральной линии сечения при внецентренном растяжении- сжатии
6. Уравнение нейтральной линии сечения в отрезках.
7. Условие прочности при внецентренном растяжении-сжатии
8. Решение задач по условию прочности при внецентренном растяжении-сжатии. Проектировочная задача определения размеров сечения решается методом подбора размеров с последующей проверкой по условию прочности
Проверочная задача определение допускаемой нагрузки
Проверочная задача проверки прочности и определения действительного коэффициента запаса прочности 9. Что называется ядром сечения? Область около центра тяжести сечения, при приложении внутри которой сжимающей силы
Совместный изгиб с кручением. Основные понятия и формулы.
Состояние стержня, при котором в его сечениях действуют поперечные силы
Рисунок 5.8 Результирующий изгибающий момент вызывает в сечении действие результирующих нормальных напряжений, которые по сечению распределяются в плоскости его действия по закону прямой от нуля в нейтральном слое до максимальной величины в точках поверхностного слоя. Их величина определяется по формуле
Нейтральный слой сечения перпендикулярен плоскости действия результирующего изгибающего момента. Крутящий момент вызывает в сечении действие касательных напряжений, которые по сечению распределяются по закону прямой от нуля на оси кручения до максимальной величины в точках поверхностного слоя
Как правило, касательные напряжения от действия поперечных сил где
По условию прочности решаются три задачи. Проектировочная задача определения размеров сечения Проверочная задача определения допускаемого расчетного момента Проверочная задача проверки прочности и определения коэффициента запаса прочности При необходимости проводится проверка прочности с учетом касательных напряжений от действия поперечных сил По III теории прочности По IV теории прочности
Пример 19. Для вала, нагруженного внешними силами Ход решения Расчет вала по условиям статической прочности 1. Определяем исходные данные Передаваемый крутящий момент
Для 1-го зубчатого колеса
Для 2-го зубчатого колеса
2. Составляем расчётную схему вала, к которой прикладываем все внешние нагрузки, в соответствии с рисунком 5.9 б. 3. Определяем реакции опор. а) В вертикальной плоскости. Рисунок 5.9 в.
б) В горизонтальной плоскости. Рисунок 5.9 г
Проверка 4. Строим эпюры внутренних силовых факторов а) По найденным реакциям и внешним нагрузкам строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях, в соответствии с рисунками 5.9. в, г. б) Строим эпюру крутящего момента в соответствии с рисунком 5.9 д. На участке ВС в) Строим эпюру продольной силы, в соответствии с рисунком 5.9 е.
На участках АВ и ВС Следовательно, вал испытывает состояние общего случая сложного сопротивления, когда в его сечениях действуют все внутренние силовые факторы. г) Строим эпюру расчётного момента по III теории прочности, в соответствии с рисунком 5.9 ж. Сечение А Сечение В в конце участка АВ Сечение В в начале участка ВС
Сечение С в конце участка ВС
Сечение С в начале участка СD 5. Определяем опасное сечение. Опасное сечение В с 6. По условию прочности по Ш теории прочности определяем диаметры вала для опасного сечения В с
Для круглого сечения =3, 58·10-2 м. По таблице стандартных диаметров принимаем 
|
0, 5, нагруженной внешними нагрузками F = 5 кН и М = 2 
, определить коэффициент запаса прочности. Длина участков а = 0, 4 м, b = 1, 2 м, с = 0, 8 м, в соответствии с рисунком 5.3 а.
. Отсюда 
. Проверка 
. Отсюда
= 0
- уравнение прямой 
.
.
.
.
- уравнение прямой 
.
- уравнение прямой 
.
- уравнение прямой 
, 
, 
и 
находится в состоянии косого изгиба.
и положение нейтральной линии, в соответствии с рисунком 5.3 г. Нормальные напряжения по высоте и ширине сечения от изгибающих моментов 
. Отсюда
. Тогда 
и откладывается по часовой стрелке от оси у,
, 
= 
- осевые моменты инерции сечения относительно главных осей сечения х, у.
строим положение нейтральной линии и эпюру результирующих нормальных напряжений, из которой устанавливаем положение опасных точек сечения: точка 1 в растянутой части, точка 2 в сжатой части сечения.
.
см, 
см координаты точки
и 
определяем по эпюрам напряжений от действия 
, что меньше допускаемого значения 
. Вывод: запас прочности недостаточен.
см, нагруженной внешней силой F = 5 кН, определить коэффициент запаса прочности. Длина участков а = 0, 2 м, b = 0, 6 м, с = 0, 4 м, 
в соответствии с рисунком 5.4 а.
- уравнение прямой 
.
- уравнение прямой 
и находится в состоянии косого изгиба.
,
, 
- осевые моменты инерции прямоугольного сечения относительно главных осей х, у. Так как сечение симметрично относительно обоих осей х, у, то и результирующие напряжения в точках 1 и 2 равны по величине.
. Отсюда 
=
. Тогда 
- угол наклона нейтральной линии. Знак минус показывает, что 
откладывается от оси у сечения противоположно 
силовой линии.
, что в пределах допускаемой величины 
, 
, изгибающие моменты 
, а крутящий момент 
, называется косым изгибом с растяжением-сжатием.
Результирующее нормальное напряжение равно алгебраической сумме нормальных напряжений от изгибающих моментов 
Результирующее касательное напряжение равно геометрической сумме касательных напряжений от поперечных сил 
- уравнение прямой проходящей через начало координат сечения.
. Максимальное результирующее нормальное напряжение не должно превышать величины допускаемого нормального напряжения.
, 
.
- положение нейтральной линии определяется по углу ее наклона к вертикальной оси сечения у.
- максимальный прогиб сечения не должен превышать допускае- мой величины.
, которые по сечению распределяются по закону прямой от нуля в нейтральном слое до максимальной величины в наиболее удаленных точках поверхностных слоев сечения, в соответствии с рисунком 5.5 в.
- уравнение прямой, не проходящей через центр тяжести сечения.
или 
; 
,
, 
- координаты точки приложения внецентренной приложенной силы 
, 
- радиусы инерции сечения. Знак минус показывает, что отрезки 
и 
откладываются противоположно координатам 
, 
, 
, 
,
и четырех пластин размерами 20х1, 0 см, нагруженной внецентренно приложенной продольной силой F, определить её допускаемую величину при коэффициенте запаса прочности 
. Длина стойки 
, координаты точки приложения силы 
, в соответствии с рисунком 5.7 а
, 
, 
. Таким образом, все внутренние силовые факторы по высоте колонны постоянны. Все сечения колонны находятся в состоянии внецентренного сжатия.
, в соответствии с рисунком 5.7 в. По полученным эпюрам видно положение опасных точек: точка 1 в сжатой и точка 2 в растянутой частях сечения.
или 
Отсюда 
,
см, 
см координаты точки 1;
- допускаемое нормальное напряжение;
, 
- геометрические характеристики составного сечения (см. пример 2).
.
.
и 
.
При 
2, 99 см
При 
По найденным отрезкам строим ядро сечения в соответствии с рисунком 5.7 в.
- уравнение прямой, не проходящей через центр тяжести сечения.
- где знак минус показывает, что отрезки 
точки приложения силы 
. Результирующее максимальное нормальное напряжение, равное алгебраической сумме нормальных напряжений от 
.
, 
, называется совместным изгибом с кручением. Для валов круглого и кольцевого сечения изгибающие моменты в вертикальной и горизонтальной плоскостях можно заменить результирующим изгибающим моментом 
, в соответствии с рисунком 5.8 а
. Максимальная величина их 
.
Максимальная их величина 
.
, значительно меньше касательных напряжений от крутящего момента 
, и достигают максимального значения в слоях на оси вала. Поэтому их действие не учитывают. В этом случае в опасных точках поверхностных слоев сечения материал испытывает плоское напряженное состояние в соответствии с рисунком 5.8 б и условие прочности записывается по эквивалентным напряжениям 
- расчетный момент по III теории прочности;
- расчетный момент по IV теории прочности.
.
и 
, определить размеры и составить эскиз опасного сечения вала. Передаваемая мощность 
5, 0 кВт при 
500 об/мин. Длина участков а = 150 мм, b = =300 мм, с = 200 мм, в соответствии с рисунком 5.9 а. Диаметры зубчатых колёс D 1 = 100 мм, D 2 = 200 мм, радиус галтели r = 1, 0 мм. Материал сталь 45 нормализованная с допускаемым напряжением 
= 65 МПа,
Отсюда 
,
, 
,
кН, 
.
Отсюда
Отсюда
Проверка 
Отсюда
Отсюда
кН
- Const.
Отсюда 
кН
кН – Const. На участке CD NZ = 0.
кН·м
Отсюда 
м 3
Отсюда 
= 36 мм
