Студопедия — Проверка по критерию Колмогорова
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Проверка по критерию Колмогорова






Полученные ранее значения кумулятивной кривой на границах интервалов xj занесем в табл. 2.4.


Таблица 2.4

Результаты расчета

xj 2.25 3.099 3.947 4.796 5.644 6.493 7.341 8.19
Fj   0.025 0.1 0.35 0.675 0.9 0.975  
Fjd 0.01 0.03 0.14 0.36 0.65 0.87 0.97 0.99
Dj 0.01 0.005 0.04 0.01 0.025 0.03 0.005 0.01

Для полученных ранее оценок математического ожидания и СКО рассчитаем по формуле интегральной функции нормального распределения значения в точках xj

где - значения функции Лапласа (табл. Б.6).

Занесем полученные значения в табл. 2.4.

Найдем значения и занесем их в табл. 2.4. Определим максимальное значение из числа рассчитанных: . Найдем значение .

По табл. Б.2 определим соответствующую рассчитанному значению l вероятность . В святи с тем, что , то гипотезу о нормальном законе распределения можно считать верной.

5. Проверка по составному критерию

Для заданного в примере ряда наблюдений рассчитаем значение d по формуле:

.

Согласно табл. Б.4, для заданной вероятности , значение d должно находиться в интервале от 0, 747 до 0, 854, т. е. заданные результаты наблюдений удовлетворяют первой части составного критерия.

Для проверки " хвостов" эмпирического распределения по второй части критерия определим половину доверительного интервала по фор­муле: . Для нормального распределения (из табл. 2.2), поэтому , а границы доверительного интервала будут равны ; . Ни один результат наблюдений не выходит за указанные границы, поэтому все они удовлетворяют второй части критерия. Таким образом, определили, что результаты наблюдений подчиняются нормальному закону распределения.

6. Определение границ случайной погрешности результатов на­блюдения и измерения

Границы случайной погрешности результатов наблюдения определим по формуле . Из табл.2.2 для вероятности для нормального распределения находим . Поэтому .

Границы случайной погрешности результата измерения (среднего арифметического) находим по формуле , где коэффициент берется из табл. 2.2 в любом случае для нормального распределения (при п> 20–30). Поэтому для заданной вероятности ; .

2.3 Варианты контрольных заданий

Определите границы случайной погрешности результатов многократных измерений, приведенных в разделе 1 (пп. 1.2.3), для заданных в табл.2.5 доверительной вероятности и уровня значимости критериев согласия a.

Таблица 2.5

Варианты заданий

                   
РД 0, 9 0, 95 0, 99 0, 9973 0, 9 0, 95 0, 99 0, 9973 0, 9 0, 95
a 0, 01 0, 05 0, 1 0, 01 0, 05 0, 1 0, 01 0, 05 0, 1 0, 01
                   
РД 0, 99 0, 9973 0, 9 0, 95 0, 99 0, 9973 0, 9 0, 95 0, 99 0, 9973
a 0, 05 0, 1 0, 01 0, 05 0, 1 0, 01 0, 05 0, 1 0, 01 0, 05
                   
РД 0, 9 0, 95 0, 99 0, 9973 0, 9 0, 95 0, 99 0, 9973 0, 9 0, 95
a 0, 1 0, 01 0, 05 0, 1 0, 01 0, 05 0, 1 0, 01 0, 05 0, 1
                   
РД 0, 99 0, 9973 0, 9 0, 95 0, 99 0, 9973 0, 9 0, 95 0, 99 0, 9973
a 0, 01 0, 05 0, 1 0, 01 0, 05 0, 1 0, 01 0, 05 0, 1 0, 01
                   
РД 0, 9 0, 95 0, 99 0, 9973 0, 9 0, 95 0, 99 0, 9973 0, 9 0, 95
a 0, 05 0, 1 0, 01 0, 05 0, 1 0, 01 0, 05 0, 1 0, 01 0, 05

 

3 ПОСТРОЕНИЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОЗИЦИИ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИ СУММИРОВАНИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ

3.1 Основные теоретические сведения

Погрешность измерения, как правило, вызывается разнообразными одновременно действующими причинами и поэтому может состоять из большого числа т составляющих. Рассмотрим, как из этих составляющих (считаемых независимыми) формируется результирующая погрешность

Каждую из составляющих можно рассматривать как случайную величину, имеющую свой закон распределения. Очевидно, что закон распределения результирующей погрешности является композицией законов распределения составляющих . При этом математическое ожидание и дисперсия распределения результирующей погрешности является суммой соответственно математических ожиданий и дисперсий составляющих

(3.1)

(3.2)

Известно, что каждая из составляющих включает в себя две компоненты — случайную и систематическую . Поскольку случайная погрешность — величина центрированная (т. е. для нее справедливо ), а систематическая компонента является постоянной величиной с нулевой дисперсией , то , и , и поэтому

(3.3)

. (3.4)

Таким образом, при формировании результирующей погрешности систематические составляющие суммируются арифметически.

Случайные погрешности характеризуются своими границами , поэтому такой подход к их суммированию применен быть не может. Действительно, как следует из (3.4), границы e случайной компоненты результирующей погрешности будут равны

. (3.5)

Значение доверительного коэффициента в выражении (3.5) зависит от доверительной вероятности и вида суммарного распределения случайных составляющих погрешности . Последнее зависит от числа случайных составляющих т и их законов распределения (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Границы погрешности и доверительный коэффициент для суммы т случайных погрешностей

Законы распределения m£ 4 m> 4
Известны tp - определяется для композиции законов распределения tp - для нормального закона  
Нормальные tp - для нормального закона
Неизвестны (считаются равномерными) tp - для композиции равномерных законов распределения (табл. 3, 2) tp - для нормального закона    

Для , независимо от законов распределения , их композиция близка к нормальному закону, поэтому (см. табл. 3.1). Композиция нормальных законов распределения для любого m также является нормальным распределением, поэтому

. (3.6)

При неизвестном законе распределения , считают, что любое значение погрешности на доверительном интервале , равновероятно, поэтому закон распределения всех принимается равномерным. Для равномерного закона (для ), поэтому для

. (3.7)

При доверительный коэффициент определяется для композиции m равновероятных законов распределения, для которой (при равных ,)

. (3.8)

При композиция дает трапециидальное (а при равенстве дисперсий — треугольное) распределение (для ); при - параболическое распределение (для ) и т. д.

Значения коэффициентов для композиции равномерных законов распределения приведены в табл.3.2.

Таблица 3.2

Значения для композиции m равномерных законов распределения

РД 0, 9 0, 95 0, 99 0, 9973
m=2 1, 675 1, 901 2, 204 2, 332
m=3 1, 661 1, 937 2, 379 2, 598
m=4 1, 658 1, 94 2, 445 2, 73
m=¥ (нормальный) 1, 64 1, 96 2, 58  

 

Если неизвестные законы распределения заданы границами то при

. (3.9)

Зависимость коэффициента от числа слагаемых т и соотношения между погрешностями , для , приведена на рис. 3.1.

Рисунок 3.1 - Зависимость коэффициента от числа слагаемых т и соотношения между погрешностями с

Как видно из рис. 3.1, максимальное значение достигается при и равно , где рассчитывается по формуле (3.8) (табл. 3.2).

При известных законах распределения случайной погрешности, как уже было сказано выше, необходимо осуществить построение композиции законов распределения.

Для нахождения композиции двух известных законов распределения можно воспользоваться уравнением свертки

, (3.10)

где - переменная интегрирования, имеющая размерность погрешности.

Однако найти решение (3.10) в аналитическом виде можно далеко не всегда. Кроме того, на практике могут быть известны не законы распределения составляющих случайных погрешностей, а их гистограммы, получаемые в результате практических исследований . В этом случае можно найти гистограмму результирующего распределения, воспользовавшись методом перебора, основанном на дискретном представлении выражения (3.10)

(3.11)

Здесь - ширина столбиков гистограмм; - их высота; - абсциссы середин первых столбиков гистограмм; - число столбиков гистограмм .

Расписывая это уравнение для разных значений q, получаем

;

;

Таким образом, результирующая гистограмма будет содержать столбиков.

Необходимым условием осуществления метода перебора является одинаковая ширина столбиков гистограмм. В этом случае методика определения гистограммы результирующего распределения сводится к следующим операциям.

1. Гистограммы эмпирических законов распределения, заданные в табличной форме, представляются в виде верхней строки (головки) и левого столбца (боковика) таблицы 3.3.

2. В клетках таблицы, находящихся на пересечении столбца , и строки записывается произведение высот столбиков и сумма их абсцисс .

3. Производится суммирование всех произведений , соответствующих одинаковым значениям абсцисс. Эти произведения, как видно из таблицы, находятся на одной диагонали.

4. Полученные суммы умножают на ширину столбика гистограммы и получают значение высот столбиков гистограммы композиции законов распределения, которые представляют в табличной форме аналогично первоначальным гистограммам.

Нахождение композиции законов распределения производится по указанной методике последовательно раз.

Если законы распределения заданы аналитически, то высоты столбиков гистограммы определяются по формуле

(3.12)


 

Таблица 3.3

Таблица для построения гистограммы композиции двух законов распределений

p2(q) p1(x)
p11 p12 p13
p21 p11*p21 p12*p21 p13*p21
p22 p11*p22 p12*p22 p13*p22  

Для законов распределения, график которых составлен из отрезков линий (трапециидальный, треугольный, равномерный), высоты столбиков гистограммы можно определять как значения дифференциальной функции распределения в точках соответствующих серединам интервалов гистограммы. Однако, для законов распределения с нелинейным изменением плотности вероятности на интервале (например — арксинусное) необходимо прибегать к формуле (3.12), т. к. в противном случае это приведет к существенным погрешностям. Графически результат композиции равномерных законов распределения выглядит так, как это показано на рис. 3.2.

Оценки математического ожидания и дисперсии результирующего закона распределения можно найти по формулам

; (3.13)

(для случайных погрешностей);

. (3.14)

Границы погрешности можно определить непосредственно из гистограммы, находя границы доверительного интервала, соответствующего заданной доверительной вероятности. Последняя соответствует площади под гистограммой, ограниченной перпендикулярами, возведенными из точек на оси абсцисс, соответствующих границам погрешности (рис. 3.2).

Рисунок 3.2 - Композиция 2-х равномерных законов распределения случайных погрешностей

 

 

3.2 Пример выполнения контрольного задания

3.2.1 Задание

Постройте композицию заданных в табл. 3.4 законов распределения суммы трех составляющих погрешности

и найдите оценки ее математического ожидания и дисперсии.

Таблица 3.4 - Законы распределения составляющих погрешности

Номер закона Параметр Номер интервала в законе распределения
         
  p1(x) 3.0 1.4 1.2 1.4 3.0
x 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6
  p2(x) 1.25 3.75 3.75 1.25 -
x 2.5 2.6 2.7 2.8 -
  p3(x) 2.5 2.5 2.5 2.5 -
x 5.2 5.3 5.4 5.5 -

3.2.2 Выполнение задания

1. Построим гистограммы законов распределения (рис. 3.3), учитывая, что значения х соответствуют серединам столбиков гистограмм, а - их высотам. Из рис. 3.3 видно, что первое распределение можно отнести к распределениям вида арксинус, второе — к треугольному, а третье — к равномерному. Ширина интервалов для всех гистограмм равна 0, 1.

Рисунок 3.3 - Гистограммы заданных законов распределения

Таблица 3.5

Построение композиции первых двух законов распре­деления

p1(x) p2(x) 3.0 7.2 1.4 7.3 1.2 7.4 1.4 7.5 3.0 7.6
1.25 2.5 3.75 9.7 1.75 9.8 1.5 9.9 1.75 10.0 3.75 10.1
3.75 2.6 11.25 9.8 5.25 9.9 4.5 10.0 5.25 10.1 11.25 10.2
3.75 2.7 11.25 9.9 5.25 10.0 4.5 10.1 5.25 10.2 11.25 10.3
1.25 2.8 3.75 10.0 1.75 10.1 1.5 10.2 1.75 10.3 3.75 10.4

2. Осуществляем композицию первых двух законов распределения, для чего представим их в виде верхней строки и левого столбца таблицы 3.5. Заполнение табл. 3.5 осуществляем аналогично табл. 3.3.

3. После заполнения таблицы 3.5 производится суммирование произ­ведений Р1(х)-р2(х), имеющих одинаковые суммы аргументов xi+xj

(лежащие на одной диагонали табл. 3.5). Перемножая полученные суммы на получаем композицию первых двух законов распределения (верхняя строка в табл. 3.6). Гистограмма полученного распределения изо­бражена на рис. 3.4.

Рисунок 3.4 - Гистограмма композиции двух первых законов распределения

4. Добавляем к полученному дискретному закону распределения тре­тий закон распределения в виде левого столбца таблицы 3.6, и заполняя таблицу также, как и 3.5, получаем композицию трех законов распределе­ния (табл. 3.7), гистограмма которой приведена на рис. 3.5.

Таблица 3.6

Построение композиции трех законов распределения

p1.2(x) p3(x) 0.375 9.7 1.3 9.8 1.8 9.9 1.525 10.0 1.525 10.1 1.8 10.2 1.3 10.3 0.375 10.4
2.5 5.2 0.9375 14.9 3.25 15.0 4.5 15.1 3.8125 15.2 3.8125 15.3 4.5 15.4 3.25 15.5 0.9375 15.6
2.5 5.3 0.9375 15.0 3.25 15.1 4.5 15.2 3.8125 15.3 3.8125 15.4 4.5 15.5 3.25 15.6 0.9375 15.7
2.5 5.4 0.9375 15.1 3.25 15.2 4.5 15.3 3.8125 15.4 3.8125 15.5 4.5 15.6 3.25 15.7 0.9375 15.8
2.5 5.5 0.9375 15.2 3.25 15.3 4.5 15.4 3.8125 15.5 3.8125 15.6 4.5 15.7 3.25 15.8 0.9375 15.9

 


Таблица 3.7

Композиция трех законов распределения

p1.2.3(x) 0.09735 0.41875 0.86875 1.25 1.5375 1.6625
x 14.9 15.0 15.1 15.2 15.3 15.4
p1.2.3(x) 1.5375 1.25 0.86875 0.41875 0.09735 -
x 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 -

 

Рисунок 3.5 - Гистограмма композиции трех законов распределения

5. Из рис. 3.5 видно, что полученный закон распределения по форме близок к нормальному. Оценки математического ожидания и диспер­сии для этого распределения рассчитываем по формулам (3.13) и (3.14): =15, 4; =0, 047.

3.3 Контрольное задание

Постройте композицию заданных в табл. 3.8 и 3.9 законов распреде­ления суммы четырех составляющих погрешности X = Х1 + Х2 + Х3 + Х4 и найдите оценки математического ожидания и дисперсии получаемого распределения.

Таблица 3.8

Варианты заданий

№ варианта                    
№законов                    
№ варианта                    
№законов                    
№ варианта                    
№ законов                    

 

№ варианта                    
№законов                    
№ варианта                    
№ законов                    

Таблица 3.9

Законы распределения

Параметр Номер интервала
         
  p(x) 2.5 2.5 2.5 2.5 -
x 5.2 5.3 5.4 5.5 -
  p(x) 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
x 9.0 9.1 9.2 9.3 9.4
  p(x) 2.5 2.5 2.5 2.5 -
x 1.6 1.7 1.8 1.9 -
  p(x) 1.25 3.75 3.75 1.25 -
x 3.4 3.5 3.6 3.7 -
  p(x) 0.8 2.4 3.6 2.4 0.8
x 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1
  p(x) 1.25 3.75 3.75 1.25 -
x 2.5 2.6 2.7 2.8 -
  p(x) 3.4 1.6 1.6 3.4 -
x 6.7 6.8 6.9 7.0 -
  p(x) 3.0 1.4 1.2 1.4 3.0
x 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6
  p(x) 3.4 1.6 1.6 3.4 -
x 8.0 8.1 8.2 8.3 -

 

4 ОБРАБОТКА НЕСКОЛЬКИХ ГРУПП ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ С МНОГОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ

4.1 Основные теоретические сведения

На практике одну и ту же величину могут измерять разными СИТ, в разное время или в разных условиях, получая несколько (больше одной) групп наблюдений. Для повышения точности естественно объединить эти результаты, т.е. выполнить совместную обработку этих групп. Однако к повышению точности объединение результатов приведет лишь при опре­деленных условиях, а именно при статистической однородности групп наблюдений.

Статистическая однородность групп наблюдений заключается в вы­полнении следующих условий:

1) наблюдения в группах распределены по одному и тому же закону;

2) средние арифметические групп различаются незначительно;

3) дисперсии групп различаются незначительно (т.е. результаты равнорассеяны или, как говорят, равноточны).

Проверка соответствия распределения наблюдений в группах одному и тому же закону осуществляется с помощью критериев согласия (см. раз­дел 2).

Дальнейшая проверка статистической однородности осуществляется с помощью аппарата математической статистики, называемого дисперси­онным анализом.

Проверка однородности групп по математическому ожиданию при числе групп L > 3 осуществляется с помощью методов Аббе или Фишера.

Метод Аббе заключается в следующем.

Определяют средние арифметические значения групп наблюдений в порядке их получения: . Определяют дисперсию средних арифметических групп

где ; ;

nj - число наблюдений в j -й группе.

Определяют дисперсию отклонения соседних групп:

Отношение v = D2 / D1 должно быть меньше некоторого vKp.

Критическое значение vKp в зависимости от уровня значимости q и числа групп L табулировано (см. график рис. 4.1).

 

Рисунок 4.1 - Распределение Аббе

Метод Фишера состоит в сравнении оценок межгрупповой дисперсии dl и средней дисперсии групп D

;

где ;

Обе оценки дисперсии имеют распределение с числом степеней свободы соответственно k1=L-1; k 2 = N - L.

Рассеивание средних арифметических считают допустимым, если F= DL/D при выбранной вероятности а лежит в пределах от FH до Fв

P{FH F Fe } = ,

где Fв определяется по таблице распределения Фишера (см. таблицу B.7), aFw=l/Fe.

Для F=2 можно воспользоваться более простым критерием, алгоритм осуществления которого приведен на рис. 4.2. Он состоит в следующем.

1. Определяются средние арифметические для каждой группы наблю­дений по формулам

; (4.1)

где x1i, x2-результаты наблюдений из 1-й и 2-й групп;

2. Вычисляется модуль разности, полученных средних арифметических:

. (4.2)

3. Находятся оценки дисперсии результатов наблюдений в каждой из групп по формулам

, . (4.3)

4. Определяется суммарная оценка дисперсии результатов измерения этих групп:

(4.4)

5. По заданной доверительной вероятности Р д, считая закон распре­деления модуля разности средних арифметических наблюдений групп, нормальным (для п1+п2 > 30), определяются по табл. 2.2 значение коэффи­циента tp, после чего производится сравнение G и tp .

Если G < tp ), отклонение средних арифметических групп считается несущественным и можно переходить к проверке групп на равнорассеянность (равноточностъ). В противном случае объединять группы нельзя.

Для проверки равнорассеянности (равноточности) измерений в груп­пах следует воспользоваться следующим алгоритмом (рис. 4.2).

1. По вычисленным значениям 1и 2 определяется величина

или , так, чтобы .

2. Выбирается доверительная вероятность и по табл. Б.7 распределе­ния Фишера (а именно по такому закону оказывается распределенной ве­личина ) находится значение параметра для заданных n1 и п2.

3. Производится сравнение и . Если < , серии измерений считаются равнорассеянными, если > ,, серии неравнорассеяны (неравноточны).

В зависимости от полученных результатов производится дальнейшая обработка групп измерений.

4.1.1 Измерения равноточные

Оценку математического ожидания результатов наблюдений (резуль­тат измерения) для объединенных групп определяют по формуле

 

Рисунок 4.2 - Алгоритм обработки двух групп наблюдений

. (4.5)

Оценка дисперсии результата измерения, очевидно, описывается вы­ражением

.

Для преобразования этого выражения величину представим как

.

Так как с учетом выражения (4.6)

.

то эту сумму можно записать следующим образом

.

Поскольку ,

то окончательное выражение для оценки дисперсии результата измерения будет иметь вид

. (4.7)

После получения оценки дисперсии вычисляются границы случайной погрешности по формуле (2.29)

,

в которой для (п1 + п2) > 30 берется для нормального распределения.

4.1.2 Измерения неравноточные

При неравнорассеянных результатах измерения в группах их объеди­нение осуществляется таким образом, чтобы получить наиболее эффек­тивную оценку математического ожиданиях. Эту оценку будем искать, используя принцип максимального правдоподобия (пп.1.1.4).

Если средние арифметические в группах Xj можно считать распреде­ленными по нормальному закону, то функцию правдоподобия можно представить в виде

. (4.8)

Логарифмическая функция правдоподобия

. (4.9)

Нам нужно найти эффективную оценку , поэтому приравниваем нулю производную L по

Отсюда

(4.10)

Это так называемое средневзвешенное, которое принимается за оцен­ку математического ожидания объединенных групп. Для равных диспер­сий из выражения (4.10) получаем выражение (4.5).

Оценка дисперсии

. (4.11)

После получения оценки дисперсии вычисляют границы случайной погрешности по формуле (2.29)

,

в которой для (п1 + п2) > 30 берется для нормального распределения.

4.2 Пример выполнения контрольного ⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒




Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 934. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Гносеологический оптимизм, скептицизм, агностицизм.разновидности агностицизма Позицию Агностицизм защищает и критический реализм. Один из главных представителей этого направления...

Функциональные обязанности медсестры отделения реанимации · Медсестра отделения реанимации обязана осуществлять лечебно-профилактический и гигиенический уход за пациентами...

Определение трудоемкости работ и затрат машинного времени На основании ведомости объемов работ по объекту и норм времени ГЭСН составляется ведомость подсчёта трудоёмкости, затрат машинного времени, потребности в конструкциях, изделиях и материалах (табл...

Этапы и алгоритм решения педагогической задачи Технология решения педагогической задачи, так же как и любая другая педагогическая технология должна соответствовать критериям концептуальности, системности, эффективности и воспроизводимости...

Понятие и структура педагогической техники Педагогическая техника представляет собой важнейший инструмент педагогической технологии, поскольку обеспечивает учителю и воспитателю возможность добиться гармонии между содержанием профессиональной деятельности и ее внешним проявлением...

Репродуктивное здоровье, как составляющая часть здоровья человека и общества   Репродуктивное здоровье – это состояние полного физического, умственного и социального благополучия при отсутствии заболеваний репродуктивной системы на всех этапах жизни человека...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия