Функционирование системы массового обслуживания (СМО) в неустановившемся режиме
Рассмотрим неустановившийся режим работы системы массового обслуживания, когда основные вероятностные характеристики ее зависят от некоторого промежутка времени. В этом случае интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы, но уже с учетом производных вероятностей. Таким образом, мы будем иметь систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих функционирование одноканальной замкнутой системы при неустановившемся режиме. Для составления системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей функционирование СМО с пуассоновским потоком, существует мнемоническое правило: • производная dPn(t)/dt вероятности пребывания системы в состоянии п равна алгебраической сумме нескольких членов; • число членов этой суммы равно числу стрелок на графе состояний системы, соединяющих состояние n с другими; • если стрелка направлена в рассматриваемое состояние n, то член берется со знаком «плюс»; • если стрелка направлена из рассматриваемого состояния n, то член берется со знаком «минус»; • каждый член суммы равен произведению вероятности того состояния, из которого направлена стрелка, на интенсивность потока событий, переводящего систему по данной стрелке. В соответствии с размеченным графом состояний (рис. 5.1.1) эта система обыкновенных дифференциальных уравнений будет выглядеть так: dP0(t)/dt = P1(t) μ - P0(t)mλ dP1(t)/dt = P0(t) m λ + P2(t) μ – P1(t)(μ +(m-1)λ) dP2(t)/dt = P1(t) (m - 1) λ + P3(t) μ - P2(t) (μ + (m - 2) 1) ……………………………. dPn(t)/dt = Pn.1(t)(m-(n - 1)) λ + Pn+1(t) μ - Pn(t) (μ + (m - n) λ) ……………………………. dPm(t)/dt = Pm.1(t) λ -Pm(t)μ
Как можно заметить, требуется большая вычислительная работа для определения основных параметров функционирования комплекта машин. Можно пойти тремя путями. Первый - предварительный расчет Р0 для различных значений коэффициента использования ψ (табл. 5.2.1). Второй - применение какого-либо языка высокого уровня для решения этой задачи. Третий - использование системы Mathcad.
Таблица 5.2.1
Рассмотрим неустановившийся режим работы системы массового обслуживания, когда ее основные вероятностные характеристики зависят от времени, например в течение 0, 3 часа. В этом случае интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы, но уже с учетом производных вероятностей. Таким образом, мы будем иметь систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих функционирование одноканальной замкнутой системы при неустановившемся режиме. Для примера ограничимся рассмотрением той же самой системы, в которой обслуживаются пять требований. Интенсивность поступления одного требования на обслуживание X равна трем поступлениям в час. Интенсивность обслуживания в канале ц составляет 29 требований в час. Эта система обыкновенных дифференциальных уравнений будет выглядеть так: dP0(t)/dt = P1(t) μ - P0(t)mλ dP1(t)/dt = P0(t) m λ + P2(t) μ – P1(t)(μ +(m-1)λ) dP2(t)/dt = P1(t) (m - 1) λ + P3(t) μ - P2(t) (μ + (m - 2) 1) ……………………………. dP4(t)/dt = P3(t)(m-3)) λ + P5(t) μ – P4(t) (μ + (m - 4) λ) dP5(t)/dt = P4(t) λ -P5(t)μ
На рис. 5.2.1 представлены начальные исходные данные и система дифференциальных уравнений, описывающая функционирование одноканальной замкнутой СМО при неустановившемся режиме работы На рис 5.2.2 система дифференциальных уравнений представлена в доступном для решения виде в системе Mathcad. Здесь изображены правые части системы дифференциальных уравнений в форме вектора-столбца, каждый элемент которого определяет значение правой части соответствующего уравнения на каждом шаге интегрирования (решения), и даны начальные значения искомых параметров тоже в виде вектора-столбца В нижней части рисунка определены начальное и конечное время интегрирования и число шагов решения системы дифференциальных уравнений.
Рис 5.2.1 Описание функционирования одноканальной замкнутой системы массового обслуживания при неустановившемся режиме
На рис. 5.2.3 приведено решение системы дифференциальных уравнений одноканальной замкнутой СМО с использованием встроенной функции rkfixed(P, to, tl, N, D), реализующей метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом. Для вызова этой функции щелкните по пункту Function (Функция) падающего меню пункта Insert (Вставка) главного меню или нажмите комбинацию клавиш Ctrl+E. Появится диалоговое окно Insert Function (Вставить функцию) В списке Function Category (Категория функции) найдите строку Differential Equation Solving (Решение дифференциального уравнения) и щелкните по ней левой кнопкой мыши. В правом поле Function Name (Имя функции) появится имя функции rkfixed После этого щелкните по кнопке ОК. Можно сразу найти функцию rkfixed в правом поле Function Name диалогового окна, после чего щелкнуть по ней мышью, а затем по кнопке ОК, но это займет больше времени. В обоих случаях в нижних полях диалогового окна будет дано правильное написание выбранной функции со всеми аргументами, а также краткое описание ее действий. На рис 5.2.3 приведено графическое решение системы дифференциальных уравнений для первых двух искомых параметров Иными словами, графически представлено поведение первых двух параметров Р0 и Р1 - вероятности отсутствия требований и возможности наличия
Рис 5.2.2 Описание функционирования одноканальной замкнутой системы массового обслуживания при неустановившемся режиме для решения в системе Mathcad
Рис 5.2.3 Результаты функционирования одноканальной замкнутой СМО при неустановившемся режиме (начало)
в системе одного требования соответственно в зависимости от времени протекания процесса. На рис. 5.2.4 представлено графическое решение системы дифференциальных уравнений для остальных четырех искомых параметров. Другими словами - поведение искомых параметров Р2, Р3, Р4 и Р5 - вероятности наличия в системе двух, трех, четырех и пяти требований соответственно в зависимости от времени протекания процесса
Рис 5.2.4 Результаты функционирования одноканальной замкнутой СМО при неустановившемся режиме, представленные в графическом виде (окончание) Анализируя графическое решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей функционирование заданной одноканальной замкнутой СМО, можно заметить, что примерно через 0, 3 часа система переходит в установившийся режим работы. При этом значения вероятностей состояний установившегося режима работы системы при решении совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений практически полностью соответствуют решению системы алгебраических уравнений для установившегося режима работы: Р0 =0, 271 Р1= Р0 m ψ = 0, 281 Р2= Р1 (m - 1) ψ = 0, 233 Р3=Р2(m-2) ψ = 0, 144 Р4 = Р3 (m - 3) ψ = 0, 06 Р5=Р4(m-4) ψ = 0, 012 На рис. 5.2.5 представлен фрагмент результатов решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений в численном виде.
Рис 5.2.5 Фрагмент результатов решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений в численном виде для одноканальной замкнутой СМО Тесты Чем различаются структурные задачи и задачи функционирования систем массового обслуживания? 1. Различные этапы работы системы 2. Задача функционирования определяет структурную задачу 3. Эти задачи – этапы разработки системы массового обслуживания
Как различаются СМО по характеру поступления требований? 1. Системы со случайными и регулярными потоками требований 2. Стационарные и регулярные системы 3. Системы со случайными и неслучайными потоками
Что такое детерминированное время обслуживания? Время обслуживания: 1. Постоянное 2. Не превышает заданной величины 3. Различное в зависимости от времени суток
Что такое задачи анализа СМО? 1. Все задачи решаемые в СМО 2. Задачи определения возможностей существующих СМО 3. Задачи определения возможностей каждого элемента СМО
Что такое задачи синтеза СМО? 1. Определение оптимальных параметров СМО проектированных СМО 2. Определение оптимальных характеристик отдельных элементов СМО 3. Задачи определения оптимальных параметров каждого элемента СМО
Вопросы:
1. Что означает неустановившийся режим? 2. Когда возникает неустановившийся режим? 3. В чем различие замкнутой и разомкнутой систем массового обслуживания?
Ответы на тестовые задания
|
