Застосування теорії сподіваної корисності: портфельний підхід

Власник портфеля з сумою коштів А бажає вкласти гроші у акції двох видів І та ІІ. Акція виду І може забезпечити дивіденди у розмірі g₁ та g₂ з імовірностями р та р-1, акція виду ІІ – r₁ та r₂ з імовірностями q та 1- q. Дивіденди акцій двох видів – незалежні випадкові величини. Потрібно розподілити кошти найкращим чином для власника.

Позначимо через х частину коштів, яка вкладається у акції виду І, через у – у акції виду ІІ. Очевидно, що повинно справджуватись співвідношення

х + у ≤ А. (8.38)

Вважатимемо, що система цінностей власника коштів підпорядкована гіпотезам, які дають змогу використовувати теорію сподіваної корисності. Нехай U(∙) – функція корисності за Нейманом–Моргенштером власника коштів. Обчислимо сподівану корисність. Можливі чотири варіанти перебігу подій:

А) за акцією виду І сплачується дивіденд g₁, за акцією ІІ - r₁;

В) за акцією І - g₁, за акцією ІІ – r₂;

С) за акцією І – g₂, за акцією ІІ – r₁;

D) за акцією І – g₂, за акцією ІІ – r₂.

Позначимо події, які полягають у сполученні дивідендів акцій через (g₁, r₁), (g₁, r₂), (g₂, r₁), (g₂, r₂). Враховуючи незалежність цих подій та правило множення ймовірностей, неважко з’ясувати, що

Р(g₁, r₁) = pq, Р(g₁, r₂) = p(1 – q),

Р(g₂, r₁) = (1 – p)q, Р(g₂, r₂) = (1 – p)(1 – q). (8.39)

Тепер неважко підрахувати сподівану корисність власника коштів при розподілі їх на частини х та у:

F(x, y) = pqU((1 + g₁)x + (1 + r₁)y) + p(1 – q) U((1 + g₁)x + (1 + r₂)y) +

+ (1 – p) qU((1 + g₂)x + (1 + r₁)y) + (1 – p)(1 – q)U((1 + g₂)x + (1 + r₂)y). (8.40)

Припустимо, що власник коштів – не схильний до ризику. Незважаючи на те, що функція F(x, y) у вигляді (6.40) має досить копіткий вигляд, можна сказати, 0 що вона нелінійна та увігнута. Ця обставина принципово впливає на характер розподілу коштів. Для з’ясування цього відобразимо криві байдужості сподіваної корисності власника коштів.

Оскільки функція сподіваної корисності – увігнута, то вона має типові для подібних функцій поверхні байдужості, які зображені на рис. 8.3.

На рис. 6.3 віддаленішими від початку координат поверхням байдужості відповідають більші значення сподіваної корисності. Наприклад, поверхня с зображує множину точок, які привабливіші, ніж ті, що відповідають поверхням b та а.

Але безмежно віддаляти криву байдужості від початку координат немає змоги, оскільки портфель обмежений (нерівність (8.38)). Допустимі варіанти розподілу портфеля зображені на рис. 8.4. Вони розташовані між координатними осями та відрізком, який сполучає точки (0, А) та (А, 0). На рисунку ця множина заштрихована.

Рис. 8.3. Поверхні байдужості для обсягів коштів, вкладених у акції двох видів

 

Очевидно, що графічною моделлю найкращого портфеля є точка, розташована на поверхні байдужості, максимально віддаленій від початку координат, і водночас належить допустимій множині розподілу портфеля (рис. 8.5).

Характерною особливістю «найпривабливішого портфеля» є наявність коштів, які вкладаються в акції як одного, так і іншого виду. Порівняємо «портфель», який відповідає гіпотезі сподіваної корисності, з «портфелем», побудованим з міркувань сподіваного максимального сумарного дивіденду.

 

Рис. 8.4. Допустимі розподіли портфеля на придбання акцій двох видів

 

Рис. 8.5. Рівновага для найпривабливішого портфеля

 

Обчислимо сподіваний дивіденд від портфеля з сумою грошей х, вкладеною у акції виду І, та у – у акції ІІ. Користуючись означенням математичного сподівання, можна зробити висновок, що сподіваний дивіденд відрізняється від сподіваної корисності дивіденду (8.40) лише відсутністю функції корисності, тобто

f(x, y) = pq[(1 + g₁)x + (1 + r₁)y] + p(1 – q)[(1 + g₁)x + (1 + r₂)y] +

+ (1 – p) q[(1 + g₂)x + (1 + r₁)y] + (1 – p)(1 – q)[(1 + g₂)x + (1 + r₂)y]. (8.41)

де f(x, y) – математичне сподівання дивіденду, який виплачується за акціями двох видів.

Перетворимо (6.41), групуючи доданки біля змінних х та у:

f(x, y) =[pq∙ (1 + g₁) + p(1 – q)(1 + g₁) + (1 – p)q∙ (1 + g₂) + (1 – p)(1 – q)∙

∙ (1 + g₂)]x + [pq∙ (1 + r₁) + p(1 – q)(1 + r₂) + (1 – p)q∙ (1 + r₁) + (1 – p)(1 – q)∙

∙ (1 + r₂)]y. (8.42)

Неважко пересвідчитись, що співмножники

V =[pq∙ (1 + g₁) + p(1 – q)(1 + g₁) + (1 – p)q∙ (1 + g₂) + (1 – p)(1 – q)∙ (1 + g₂)] (8.43)

та

W =[pq∙ (1 + r₁) + p(1 – q)(1 + r₂) + (1 – p)q∙ (1 + r₁) + (1 – p)(1 – q)∙ (1 + r₂)] (8.44)

біля змінних х та у є не чим іншим як сподіваними дивідендами від акцій першого та другого виду. Користуючись (6.42), (6.43), перепишемо сподіваний дивіденд від портфеля як

f(x, y) = Vх + Wу (8.45)

З (9.45) випливає, що залежно від того, який сподіваний дивіденд більший, V чи W, портфель повністю складатиметься або з акцій одного, або іншого виду.

Здійснений аналіз дає можливість зробити такий висновок: орієнтація на сподіваний прибуток (дивіденд) зумовлює «одноманітний» портфель, який містить лише акції одного виду. Це не відповідає принципу недоцільності «складання яєць в один кошик», і є надміру ризикованим. Привабливішим виглядає портфель, складений на підставі сподіваної корисності прибутку (дивіденду), оскільки падіння курсу акцій однієї компанії може компенсуватись зростанням іншої.

Сформульований висновок є одним з основних у теорії портфеля.

Маючи у розпорядженні функцію корисності (яка може бути задана формулою, таблицею чи графіком), можна встановити, користуючись (8.38) та (8.40), структуру портфеля, який забезпечує його власникові найбільшу сподівану корисність.

Звернемось до рис. 8.5. очевидно, що точка оптимуму перебуває на прямій, яка сполучає точки (0, А) та (А, 0). Це так звана бюджетна пряма, яка є графічним відображенням бюджетного обмеження (8.38). Звідси випливає, що у = А – х.

Отже, можна перетворити задачу (8.38), (8.40) у задачу з однією змінною, а саме:

φ (x) = F(x, A - x) = pqU ((1 + g₁)x + (1 + r₁)(A – x)) + p(1 – q)U(1 + g₁)+

+(1 + r₂)(A – x)) + (1 – p)qU((1 + g₂)x + (1 + r₁)(A – x)) +

+(1 – p)(1 – q)U((1 + g₂)x + (1 + r₂)(A – x)). (8.46)

Характерною особливістю функції φ (x) у вигляді (8.46) є те, що вона увігнута (опукла вгору) і її характерний вигляд зображений на рис. 8.6.

Рис. 8.6. Залежність сподіваної корисності портфеля від обсягу коштів, укладених в акцію виду І.

Розбивши інтервал (0, А) на досить велику кількість підінтервалів та обчислюючи функцію φ (x) на їх кінцях, можна досить точно підмітити точку х*, яка максимізує сподівану корисність власника коштів. Можна використовувати витонченіші математичні методи одномірної оптимізації (метод поділу навпіл, метод золотого перетину).

Обчисливши х*, можна знайти і у* як у* = А – х*.

Оптимізація портфеля з урахуванням ризику (мінімізація ризику):

Нехай норма прибутку цінних паперів з фіксованим відсотком складає R. Для цих паперів сподівана норма прибутку f(x, y) теж дорівнює R, а ризик дорівнює нулеві, тобто f(x, y)=R, σ = 0. Інвестуючи капітал у цінні папери, обтяжені ринковими коливаннями (ризиком), прагнуть отримати найкраще співвідношення між додатковим прибутком та зростаючим ступенем ризику.

Відкладемо на рис. 8.7 у просторі f(x, y) - σ точку, що характеризує цінний папір з фіксованим прибутком R, на осі ординат.

Зрозуміло, що найкраще співвідношення між приростом норми прибутку і зростанням ризику забезпечує портфель цінних паперів, що позначений точкою Е, через котру проходить дотична до лінії ефективних портфелів, яка починається в точці R.

Ризик

σ E

R

f(E)

Сподівана норма прибутку

 

Рис. 8.7. Геометрична інтерпретація оптимального портфеля

 

Отже, оптимальною структурою портфеля буде та, що відповідає точці Е. Її можна знайти за допомогою максимізації наступної функції:

φ = (f(x, y) – R) / σ, (8.47)

за умови, що

А = 1, а отже х + у = 1. (8.48)

 

 

Основні терміни:

Випадкова подія – будь-яке об’єднання (підмножина простору) елементарних подій.

Імовірність – це число, не менше від нуля та не більше від одиниці, яке означає ступінь частоти, або ступінь впевненості у тому, що певна подія відбудеться, зокрема випадкова величина набере певного значення.

Імовірність подій – сума ймовірностей елементарних подій (скінченої кількості наслідків).

Проста лотерея – гра (ситуація), у якій особа може отримати один і лише один з двох виграшів А або В відповідно з імовірностями 1-р та р.

Середній (сподіваний) виграш лотереї (якщо А та В вимірюються однаковими вимірниками, наприклад, у грошовій формі) – математичне сподівання виграшу. За означенням математичного сподівання, середній виграш лотереї = (1 - р)А + рВ.

Складена лотерея – ризиковане рішення, яке має декілька наслідків, кожен з яких трапляється один і лише один раз з певною ймовірністю.

Суб’єктивна імовірність – змога встановити зв’язок між невизначеністю та випадковістю.

 

Контрольні питання:

1. Дайте визначення функції корисності та наведіть її приклади. Сформулюйте основну властивість функції корисності.

2. Поясніть використання поняття корисності при визначенні ступеня ризику.

3. Охарактеризуйте просту та складену лотерею.

4. Розкрийте сутність корисності за Нейманом-Могргенштерном.

5. Охарактеризуйте теорію прийняття рішень в контексті мікроекономічної теорії поведінки споживача.

6. Роз’ясніть алгоритм оптимізації портфеля з позицій сподіваного доходу та сподіваного ризику.

 

 

Лекція №14 (2 години)