Оценки вариации одномерной совокупности

Чтобы дать представление о величине варьирующего признака недостаточно исчислить средний показатель. Кроме средней необходим показатель, характеризующий вариацию признака.

Вариация – это изменение значения признака у отдельных единиц совокупности. Вариация обусловлена действием различных факторов на развитие отдельных единиц совокупности. Чем более разнообразно условие, тем больше его вариация.

Наиболее простой характеристикой вариации признака является размах вариации (R). Размах вариации – это разность между наибольшим и наименьшим значением признака в изучаемой совокупности:

 

R = Xmax – Xmin,

 

где Xmax – наибольшее значение признака;

Xmin – наименьшее значение признака.

Размах вариации не отражает отклонений всех значений признака – это его недостаток. Он исчисляется при контроле качества продукции для определения систематически действуюших причин на производственный процесс.

Для измерения отклонения каждой варианты от средней величины в ряду распределения или в группировке применяются среднее линейное отклонение (d).

Среднее линейное отклонение определяется по формулам:

___ ___

d=(∑ |x - Х|)/n (простое); (2.11)

б) для вариационного интервального ряда:

___ ___

dс=(∑ |x – Х|f)/∑ f (взвешенное). (2.12)

 

Среднее линейное отклонение показывает, на сколько в среднем каждое значение признака отклоняется от средней величины. Эта величина всегда именованная и измеряется в тех же величинах, в которых даны статистические показатели.

Среднее линейное отклонение дает обобщенную характеристику степени колеблемости признаков совокупности.

Средние линейные отклонения применяются на практике для анализа состава рабочих, ритмичности производства, равномерности поставок материалов и т.д.

Наибольшее применение в практике статистических работ находит показатель – дисперсия признака или средний квадрат отклонений, или квадрат среднего квадратичного отклонения (σ ²), Дисперсия – σ ² – определяется по формулам:

а) для ранжированного ряда (не сгруппировочных данных):

__

σ ² = ∑ (х – Х)² / n (простая); (2.13)

б) для интервального ряда:

__

σ ² = ∑ (х – Х)² f / ∑ f (взвешенная). (2.14)

Корень квадратный из дисперсии σ ² представляет среднее квадратическое отклонение: σ = √ σ ²; или:

___

а) для ранжировочного ряда: σ = √ ∑ (х – Х)² / n (простое); (2.15)

___

б) для вариационного ряда: σ = √ ∑ (х – Х)² f / ∑ f (взвешенное). (2.16)

 

Среднее квадратическое отклонение дает обобщенную характеристику признака совокупности и показывает во сколько раз в среднем колеблется величина признака совокупности.

Среднее квадратическое отклонение по величине всегда больше среднего линейного отклонения. Среднее квадратическое отклонение является мерой надежности средней величины: чем оно меньше, тем точнее средняя арифметическая.

Дисперсия является оценкой одноименного показателя теории вероятности. Сопоставление линейных или среднеквадратических отклонений по признакам совокупности дает возможность определить статистическую однородность совокупности: чем меньше размер, тем совокупность более однородна.

Для сравнении вариации в разных совокупностях рассчитываются относительные показатели вариации. К ним относятся коэффициент вариации, коэффициент осцилляции и линейный коэффициент вариации (относительное линейное отклонение).

Коэффициент вариации – это отношение среднеквадратического отклонения к среднеарифметическому, рассчитывается в процентах:

___

V = (σ / X) ∙ 100%. (2.17)

 

Коэффициент вариации позволяет судить об однородности совокупности:

– < 17% – абсолютно однородная;

– 17 – 33% – достаточно однородная;

– 34 – 40% – недостаточно однородная;

– 41 – 60% – это говорит о большой колеблемости совокупности.

Коэффициент осцилляции – это отношение размаха вариации к средней, в процентах. Отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней: ___

VR = (R ∙ 100%) / X. (2.18)

 

Линейный коэффициент вариации характеризует долю усредненного значения абсолютного отклонения от средней величины:

___ ___

Vd = (d / X) ∙ 100%. (2.19)

 

Различают следующие виды дисперсии: общая дисперсия; групповая дисперсия (внутригрупповая); средняя из групповых дисперсия; межгрупповая дисперсия.

Общая дисперсия оценивает колеблемость признака всех единиц совокупности без исключения:

___

σ i² = ∑ (х – Х)² fi / ∑ fi, (2.20)

 

где σ i – показывает, что это групповая дисперсия. Групповая дисперсия отражает колеблемость, которая возникает только за счет причин, действующих внутри группы.

Средняя из групповых дисперсия – это среднеарифметическая взвешенная из групповых дисперсий и определяется по формуле:

___

ү ² = (∑ σ i² ∙ fi) / ∑ fi, (2.21)

___

где ү ² – средняя из групповых дисперсий,

fi – объем итоговой группы или число единиц в этой группе. Она характеризует случайную вариацию в каждой группе.

Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) характеризует вариацию результативного признака под влиянием только одного фактора, положенного в равновесие группировки и исчисляется по формуле:

___ ___ ___

ү ² = ∑ (Хi – Хo)² fi / ∑ fi, (2.22)

__

где Хi – групповые средние (средняя по отдельным группам);

___

Хo – общая средняя;

fi – численность отдельной группы.

Отношение межгрупповой дисперсии к общей дает коэффициент детерминации:

___

η = ү ² / σ ²;. (2.23)

Он показывает, какая часть вариации результативного признака обусловлена факторными признаками, положенными в основе группировки. √ η нам дает корреляционное эмпирическое отношение, которое пока зывает тесноту связи между результатами и факторным группировочным признаком.

Если η = 1 – связь между факторами полная, т.к. вариация результативного признака обусловлена факторным группировочным признаком.

Если η = 0 – связь отсутствует.

Между общей дисперсией, средней из групповых дисперсией и межгрупповых дисперсий существует соотношение, которое определяет правило сложения дисперсий: σ ² = ү ² + σ i² – это правило сложения дисперсий имеет большое значение и позволяет выявить зависимость результатов от определенных факторов.

Практическое применение правила: используется для взаимопроверки правильности расчета общей дисперсии, на основании этого правила строятся показатели тесноты связи.

 

Контрольные вопросы

 

1. Дайте определение показателя, характеризующего вариацию признака

2. Как исчислить размах вариации?

3. Что показывает среднее линейное отклонение?

4. Какой показатель находит наибольшее применение в практике статистических работ?

5. Для чего применяется среднее квадратическое отклонение?

6. Что оценивает дисперсия?

7. О чем позволяет судить коэффициент осцилляции?

8. Что характеризует межгрупповая дисперсия?

9. Что определяет правило сложения дисперсий?