Студопедия — Проекция точки на выпуклые множества
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Проекция точки на выпуклые множества






Расстояние d от точки v до множества Х в евклидовом пространстве определяется по формуле d = inf ê ê v - х ê ê;.

xÎ Х

Определение 3.3. Точка р Î называется проекцией точки v на множество Х, если ê ê v - р ê ê = inf ê ê v - х ê ê;.

xÎ Х

Теорема 3.5. Для любого множества Х ¹ Æ и любой точки v существует точка рÎ , являющаяся проекцией точки v.

Доказательство. Если vÎ X, то p = v, d =0. Пусть vÎ X. Так как X¹ Æ, то существует точка у Î Х. Рассмотрим множество:

Y={x/x Î Х, //v-x//£ //v-y//}. (3.4)

Очевидно, что расстояние от v до х совпадает с расстоянием от v до Y и проекция точки v на X совпадает с проекциейточки v на Y (если эта проекция существует). Найдем проекцию v на Y. В силу определения нижней грани существует последовательность {xk}Ì Y, такая что

lim // v - xk // = d (3.5)

k ¥

Из ограниченности Y следует ограниченность последовательности {xk}, поэтому из неё можно выделить последовательность {xki} такую что

lim xki = p, (3.6)

i ¥

где Ì .

Окончательно получаем также, что // v - p // = d, т.е. p есть проекция точки v.

Теорема 3.6. Для того, чтобы точка рÎ была проекцией точки vÎ Еn на выпуклое множество Х необходимо и достаточно, чтобы для любого xÎ Х выполнялось неравенство

< (x-p), (v-p)> £ 0. (3.7)

По определению скалярного произведения

 
 


< (x-p), (v- p)> = ||x -p|| × || v-p|| cos((x-p), (v-p)), (3.8)

то есть знак скалярного произведения определяется углом между векторами (x-p) и (v-p). Таким образом (см. рисунок 3.4) точка тогда и только тогда является проекцией v когда угол между (x-p) и (v-p) не острый для любой точки хÎ .

 

v

p

x

X

Рис. 3. 4.

 

Доказательство

1.Необходимость. Пусть р проекция точки v на Х. Если , то p = v и неравенство (3.7) обращается в равенство.

Рассмотрим случай, когда . Возьмем произвольную точку хÎ и рассмотрим

z(a)= (1-a)p + a x, где aÎ [0, 1] (3.9)

Так как р – проекция, то

0 £ ||x - z(a)||2 + || v-p||2=-2a < (x-p), (v-p)> + a2|| x-p||2 (3.10)

для всех aÎ [0, 1]. Это неравенство возможно при всех aÎ [0, 1] лишь в том случае, если выполняется неравенство (3.7).

2. Достаточность. Пусть (3.7) справедливо для любого хÎ , тогда для любого xÎ Х получим:

|| v-x||2 = ||(v -p)+(p-x)||2 =|| v-p||2 + 2 < (v-p), (p -x)> + || p -x||2³ || v-p||2

т.е. p есть проекция v на X

Следствие 3.2. Проекция любой точки vÎ Еn на выпуклое множество Х единственна.

Доказательство. Если , то p=v. Если , то || v-x||> 0 для всякого хÎ . Допустим, что кроме проекции р точки v существует ещё проекция p' ¹ p. Для них || р-р' ||> 0, || v-р|| = || v-р' ||. Тогда

|| v-p||2 = ||(v –p’)+(p’-p)||2 =|| v-p||2 + 2 < (v-p’), (p-p)> +|| p’-p||2.

Откуда следует что || v-p||2> ||(v –p’)||. Полученное противоречие доказывает теорему.

Следует сделать замечание, что для множества, не являющегося выпуклым, следствие может не выполняться (см. рис. 3.5)

р1

v

Х р2

 

Рис. 3. 5







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 943. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Понятие о синдроме нарушения бронхиальной проходимости и его клинические проявления Синдром нарушения бронхиальной проходимости (бронхообструктивный синдром) – это патологическое состояние...

Опухоли яичников в детском и подростковом возрасте Опухоли яичников занимают первое место в структуре опухолей половой системы у девочек и встречаются в возрасте 10 – 16 лет и в период полового созревания...

Способы тактических действий при проведении специальных операций Специальные операции проводятся с применением следующих основных тактических способов действий: охрана...

Эффективность управления. Общие понятия о сущности и критериях эффективности. Эффективность управления – это экономическая категория, отражающая вклад управленческой деятельности в конечный результат работы организации...

Мотивационная сфера личности, ее структура. Потребности и мотивы. Потребности и мотивы, их роль в организации деятельности...

Классификация ИС по признаку структурированности задач Так как основное назначение ИС – автоматизировать информационные процессы для решения определенных задач, то одна из основных классификаций – это классификация ИС по степени структурированности задач...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия