Студопедия — Возможные (допустимые) и подходящие направления
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Возможные (допустимые) и подходящие направления






Определение 3.15. Направление (вектор) S ¹ 0 называетсявозможным (допустимым) в точке хÎ Х, если существует такое l0 > 0, чтодля всех lÎ [0, l0] выполняется х+lS Î X0.

На рис.3.12 показаны примеры возможных направлений.

Множество возможных направлений образует конус, который мы будем обозначать через Кр (х).

x 1 Определение 3.16. Возможное направление

S в точке хÎ Х назовем подходящим по Парето (Слейтеру), если существует l0 > 0 такое, что ля всех lÎ (0, l0] справедливо неравнство х+lS £ х.

Множество подходящих по Парето и подходящих по Слейтеру направлений образуют конусы, которые обозначим соответственно Кpp и KpS, причем KpSÌ Кpp

x 2 (обратное не справедливо).

Рис. 3.12. Определение 3.17. Функцию j 0(x) назовем

постоянной в точке х по направлению S, если существует l0 > 0 такое, что для всех lÎ [0, l0) функция j0(x+lS)=j(x).

Определение 3.18. Будем говорить, что функция ji(x), iÎ M удовлетворяет условию регулярности R1(M), если для любых хÎ Еn, SÎ Еn и iÎ M ji(x) не является постоянной.

Замечание. Если функции ji(x), iÎ M удовлетворяют условию регулярности R1(M), то предпочтения по Слейтеру и Парето можно не различать. Если |М| = 1, то понятие предпочтения по Слейтеру и Парето можно не различать и при нарушении условия. Это вытекает из определения этих предпочтений.

Теорема. 3.16. Пусть Х – выпуклое множество. Для того, чтобы х*Î Х было точкой локального оптимума Парето (Слейтера) необходимо, чтобы Кpp*) = Æ, pS*) = Æ

Доказательство. Докажем для случая, когда предпочтение имеет вид < ß. Для предпочтения ß доказательство аналогично.

Пусть х* - точка локального оптимума Парето, т. е. не существует х < ß ХÇ 0e (х). Предположим противное. Пусть Кpp*) ¹ Æ и возьмем xÎ Кpp*). Для достаточно малых l > 0, x* + lX и x* + lx*, что противоречит условию теоремы, таким образом Кpp *) = Æ;.

Теорема. 3.17. Если ji(x), iÎ M выпуклые функции, Х – выпуклое множество, тогда любая точка локального оптимума (как по Парето, так и по Слейтеру) будет точкой глобального оптимума.

Доказательство. Доказательство проведем для оптимальности по Слейтеру. Оптимальность по Парето доказывается аналогично.

Пусть х* точка локального оптимума по Слейтеру и предположим, что она не является глобальным оптимумом. Это означает, что существует х'Î Х, для которого jk(х') < jk(х*) для всех kÎ M.

Положим х= x* + a(x'-x*), aÎ (0, 1). Из выпуклости jk(х), k Î M для всех aÎ (0, 1) jk(х*+a(x'-x*))£ jk(х*)+a(jk(х') -jk(х*))< jk(х*) для всех kÎ M.

При достаточно малых a> 0, х=x* + a(x'-x*) будет находиться в любой достаточно малой окрестности х*, при этом jk(х) < jk(х*), для всех kÎ M.

Полученное противоречие и доказывает теорему. Для оптимальности по Парето знак строго неравенства выполняется лишь для некоторых k, для всех остальных это неравенство не строгое.

Следствие 3.8. При выполнении условий предыдущей теоремы локальное множество Парето (Слейтера) является множеством Парето (Слейтера).







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 1152. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час...

Этапы творческого процесса в изобразительной деятельности По мнению многих авторов, возникновение творческого начала в детской художественной практике носит такой же поэтапный характер, как и процесс творчества у мастеров искусства...

Тема 5. Анализ количественного и качественного состава персонала Персонал является одним из важнейших факторов в организации. Его состояние и эффективное использование прямо влияет на конечные результаты хозяйственной деятельности организации.

Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений...

Педагогическая структура процесса социализации Характеризуя социализацию как педагогический процессе, следует рассмотреть ее основные компоненты: цель, содержание, средства, функции субъекта и объекта...

Типовые ситуационные задачи. Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической   Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической нагрузке. Из медицинской книжки установлено, что он страдает врожденным пороком сердца....

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия