Определение неизвестных параметров распределенияC помощью гистограммы мы можем приближенно построить график плотности распределения случайной величины . Вид этого графика часто позволяет высказать предположение о плотности распределения вероятностей случайной величины . В выражение этой плотности распределения обычно входят некоторые параметры, которые требуется определить из опытных данных.
где
Из двух полученных уравнений (66) находят неизвестные параметры A и B. Так, например, если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения вероятностей, то ее плотность распределения вероятностей зависит от двух параметров a и . Эти параметры, как мы знаем, являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины ; поэтому равенства (66) запишутся так:
Следовательно, плотность распределения вероятностей имеет вид Замечание 1. Такую задачу мы уже решали в § 7. Результат замера есть случайная величина , подчиняющаяся нормальному закону распределения с параметрами a и . За приближенное значение a мы выбрали величину , а за приближенное значение - величину . Замечание 2. При большом количестве опытов нахождение величин и по формулам (67) cвязано с громоздкими вычислениями. Поэтому поступают так: каждое из наблюдаемых значений величины , попавшее в i -й интервал ] Xi-1, Xi [ статистического ряда, считают приближенно равным середине ci этого интервала, т.е. ci=(Xi-1+Xi)/2. Рассмотрим первый интервал ] X0, X1 [. В него попало m1 наблюдаемых значений случайной величины , каждое из которых мы заменяем числом с1. Следовательно, сумма этих значений приближенно равна m1с1. Аналогично, сумма значений , попавших во второй интервал, приближенно равна m2с2 и т.д. Поэтому Подобным же образом получим приближенное равенство Итак,
где n=m1+m2+...+mk, а k - число интервалов статистического ряда. Замечание 3. На практике для еще большего упрощения вычислений прибегают к следующему приему. Пусть x0 - произвольное число. Обозначим ui=сi-x0 и рассмотрим величины v1 и v2, определяемые соотношениями
Покажем, что
Действительно, так как [cм.формулы (69)]. Итак, , откуда . Аналогично доказывается и второе из соотношений (71)
Пример. Построенная гистограмма для статистического распределения значений диаметра вала хвостовика (см. рис. 17) позволяет сделать предположение о том, что мы имеем дело с нормальным законом распределения. Требуется, исходя из опытных данных, представленных в таблице из примера п.8.1., определить параметры a и этого распределения. Решение. Полагая* x0=75, вычислим v1 и v2. Вычисления расположим, как указано в следующей таблице.
Используя теперь формулы (71), имеем Выберем параметры a и так, чтобы выполнялись условия (68): , . Следовательно, . Таким образом, плотность распределения вероятностей В следующей таблице приведены вычисления значений функции в средних точках интервала статистического ряда. Значения функции взяты из Табл. I Приложения.
В последнем столбце таблицы приведены значения функции , взятые из столбца (5) таблицы из примера из п.8.1. Сравнение показывает, что функция близка к . * Для простоты вычислений, как это обычно делается, за x0 мы выбрали число, близкое к середине диапазона изменения наблюдаемых значений.
§ 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИЙ. 1. Введение. В математическом анализе мы имеем дело с функциональной зависимостью между двумя переменными величинами, при которой каждому значени. одной их них соответствует единственное значение другой.
Ниже приведены средние значения диаметра ствола сосны в зависимости от высоты.
Мы видим, что с увеличением высоты сосны в среднем растет диаметр ее ствола. Однако сосны заданной высоты имеют распределение диаметров с довольно большим рассеянием. Если в среднем, например, 26-метровые сосны толще, чем 25-метровые, то для отдельных сосен это соотношение нарушается. * При подсчетах мы принимаем диаметры стволов и высоты всех сосен, попавших в данный интервал, равными серединам соответствующих интервалов.
|