Студопедия — Понятие о логике высказываний
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Понятие о логике высказываний






Современная символическая логика для анализа дедуктивных рассуждений стро­ит особые логические системы; одна из них называется логикой высказываний или пропозициональной логикой, другая — логикой предикатов. Рассмотрим кратко принципы построения логики высказываний.

Логика высказываний — это логическая система, которая анализирует процес­сы рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений.

Язык логики высказываний включает: алфавит, определение правильно выстро­енных выражений, интерпретацию.

Алфавит логики высказываний состоит из следующих символов.

1) Символы для высказываний: р, q, r... (пропозициональные переменные).

2) Символы для логических связок:

Ù — конъюнкция (союз «и»);

v — дизъюнкция (союз «или»);

® импликация (союз «если..., то...»);

º эквивалентность (союз «если и только если..., то...»); 1 ù ù отрицание («неверно, что...»).

3) Технические знаки (,) — скобки.

Допустимые в логике высказываний выражения, называемые правильно постро­енными формулами, или сокращенно ППФ, вводятся следующим определением:

1. Всякая пропозициональная переменная — р, q, r... — является ППФ.

2. Если А и В — ППФ (А и В — символы метаязыка для любых формул), то выражения — А Ù В, A v В, А ® В, А º В, ù А— также являются ППФ.

3. Все другие выражения, помимо предусмотренных п. 1 и 2, не являются ППФ языка логики высказываний.

Логика высказываний может строиться табличным методом или как исчисление, т.е. как система, позволяющая получать по правилам вывода из одних формул другие.

Табличное построение предполагает семантические определения пропозицио­нальных связок в виде матриц, показывающих зависимость истинного значения слож­ных формул от значений их составляющих простых формул. Если А и В простые формулы, то истинное значение построенных с помощью логических связок формул может быть представлено матричным способом — в виде таблицы (см. рис. 36).

Среди правильно построенных формул в зависимости от их истинностного значе­ния различают тождественно истинные, тождественно ложные и выполнимые фор­мулы.

Тождественно истинными называют формулы, принимающие значения истины при любых — истинных или ложных — значениях составляющих их пропозициональ­ных переменных. Такие формулы представляют собой законы логики.

Тождественно ложными называют формулы, принимающие значение ложности при любых — истинных или ложных — значениях пропозициональных переменных

Выполненными называют формулы, которые могут принимать значения истин­ности или ложности в зависимости от наборов значений составляющих их пропозици­ональных переменных.

Табличное построение предполагает определение логических отношений между формулами. Существенное значение для анализа рассуждений имеет отношение логического следования (символ |—), которое определяется следующим образом. Из a1,..., An как посылок логически следует В как заключение, если при истинности каждого Ai,..., Ап истинным является и В В языке-объекте отношение следования адекватно выражается импликацией. Значит, если a1,..., An |—В, то формула, пред­ставляющая собой импликацию вида (A1 Ù А2 Ù... Ù Аn) ® В, должна быть тождест­венной истинной.

Табличное построение логики высказываний позволяет определять логические отношения между высказываниями (см. гл. V § 4) и проверять правильность умозак­лючений, используя приведенный выше критерий. В качестве примера предлагаем провести табличным способом проверку правильности рассуждения формулы (р ®q) \- (ù q®ù р). Заменив знак логического следования между посылкой и заклю­чением на импликацию и построив таблицу для полученной формулы, видим, что она является тождественно истинной. Значит, рассуждение является правильным.

Если в рассуждении содержится более трех переменных, то строить полную таблицу для проверки его правильности затруднительно и тогда используют сокра­щенный метод проверки, рассуждая от противного. Поскольку при правильном рас­суждении формула вида (A1 Ù.. Ù Аn) ® В должна быть тождественно истинной, посмотрим, не может ли она при каком-то наборе значений переменных оказаться ложной. Допустим, что может. Если из этого допущения получим какое-нибудь про­тиворечие, то такое допущение будет неверным, а проверяемое рассуждение — пра­вильным. Если же из допущения не получаем противоречия, то обнаружим набор значений переменных, при котором формула ложна, т.е. тот набор, который опровер­гает проверяемое рассуждение

Логика высказываний как исчисление это прежде всего так называемая систе­ма натурального вывода (СНВ). Аппаратом в ней служат правила вывода, каждое из которых является какой-нибудь элементарной формой умозаключения. Переходя по этим правилам от посылок или некоторых допущений к новым формулам, постепенно доходят до заключения. Вывод из посылок осуществлен, если удалось элиминировать все сделанные допущения. Таким образом, под выводом формулы В (заключения) из формул A1,..., Ап (посылок) имеется в виду последовательность формул, каждая из которых является либо посылкой, либо допущением, либо получается по правилам вывода из предыдущих, и последняя формула этой последовательности есть форму­ла В, а все допущения при этом элиминированы.

Правила СНВ позволяют оперировать со всеми связками, имеющимися в алфа­вите языка. Они делятся на правила введения (в) и правила исключения (и) связок.


Конъюнкция:

 


Дизъюнкция:

Ù в А, В; Ù и1 АÙ В; Ù и2 АÙ В

АÙ В А В

 


А В AvB, ù A AvB, ù B

v в ——; v в ——; v и ————; v и
AvB AvB В А

Импликация:

A ® и A®B, ù B
Ú BB®A ù A
Отрицание:

ù и ù ù А

А

Эквиваленция:

º и Аº В

 

 

(А® В) Ù (В® А)

Кроме этих прямых правил получения новых строк вывода, в СНВ приняты непрямые правила, определяющие стратегию построения вывода. Например, если нужно вывести из посылок формулу вида импликации (x1 ® (x2 ®...(xn-1 ® xn))), то после выписывания посылок выписываются в качестве допущений все антецеденты заключения, начиная с антецедента главного знака импликации, т.е. x 1, x 2, х 3,..., xn-1

Г, А-> В

Если при этом удастся вывести хn, то по непрямому правилу ® в —————— собираем

Г®А®В

последовательно формулы: (xn-1®xn) (при этом исключается допущение xn-1), (хn-2 ® (xn-1 ® xn)(xn-r исключается из числа допущений) и т.д., пока не получим требуемое заключение x1 ®(xn-2 ®... (xn-1 ® xn). Это правило построения прямого вы­вода.

Приведем пример вывода с применением этого правила:

((pÙ q)®r) |-_ (p® (q ®r)

1. (р Ù q) ® r — посылка

2. р — допущение

3. q — допущение

4. р Ù q (2, 3. Ù в)

5. r (1, 4, ® n)

6.q®r(3, 5, ®в)(-3)

7.p®(q®r)(2, 6, ®в)(-2)

Другое непрямое правило используется для построения косвенного вывода, при котором допущением является отрицание В или отрицание последнего консеквента хn Г, А®(ВÙ ù В)

Это правило имеет вид ———————— и говорит о том, что если из

Г—> |А

каких-то формул (Г) и допущения (А) получено противоречие (В Ù ù В), то из этих формул следует ]А. Таким образом, если строится косвенный вывод формулы вида (x1 ® (x2®...(xn-1 —> хn)...), то после посылок выписываются формулы:

X1

Х2

допущения

xn-1

ù хn допущение косвенного доказательства [ДКД]


атем по правилам вывода получаем следствия из всех имеющихся посылок и допущений до тех пор, пока не получим две противоречащие друг другу формулы " (В и 1в), что свидетельствует о несовместимости допущения косвенного доказательства с другими допущениями и посылками. Отсюда делается вывод о его ложности. Тогда в вывод вписывается строка 1]хп, и тем самым допущение косвенного доказательства исключается. Например, осуществим косвенный вывод: (р ® q) ½ - (ù q ®ù p)

1. р ® q — посылка

2. ù q — допущение

3. ù ù р дкд

4. р(3, ] и)

5. q (1, 4, ® и)

6. q Ù ù q(5, 2, Ù в)

7. ù ù ù p (6, 3, ù в)(-3)

8. ù p (7, ù и)

9. ù q ® ù p (2, 8, ® и)(-2)

Косвенный вывод считается законченным, если в ходе вывода получена какая-то формула и ее отрицание, т.е. противоречие. Таким образом, если строится косвенный вывод формулы вида x1® (x2 ®... ® хn), то построчно выписывают все антецеденты от x1 до Xn-1 в качестве допущений; в последней строчке выписывают отрицание последнего консеквента — ] хn как допущение косвенного вывода. По правилам вывода получаем различные следствия из всех имеющихся посылок и допущений. Получение двух противоречащих следствий говорит о ложности допущения косвен­ного вывода. На этом основании ДКД отрицается, т.е. получаем двойное отрицание. Снятие двойного отрицания дает формулу хn.

Основными логическими свойствами системы натурального вывода являются ее непротиворечивость и полнота.

Непротиворечивость означает, что из истинных посылок могут получаться толь­ко истинные следствия и если формула выводима из пустого множества посылок, то она тождественно истинна. Это исключает возможность вывести из пустого множест­ва посылок какую-либо формулу (А) и ее отрицание (ù А).

Полнота системы означает, что дедуктивных ее средств достаточно, чтобы вы­вести из пустого множества посылок любую тождественно истинную формулу.

Логика предикатов является более общей логической системой и включает логику высказываний как свою часть Она располагает более эффективными логическими средствами для анализа рассуждений в естественном языке.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. На какие виды делятся выводы из сложных суждений?

2. Как строятся чисто условные умозаключения?

3. Что такое условно-категорическое умозаключение? Назовите его правильные модусы, выразите их в символической записи.

4. Какое умозаключение называется разделительно-категорическим? Назовите его модусы, выразите их в символической записи.

5. Укажите условия правильности выводов по утверждающе-отрицающему и от-рицающе-утверждающему модусам разделительно-категорического умозаключения.

6. Какое умозаключение называется условно-разделительным (леммантичес-ким)? Какие модусы имеет дилемма?

7. Что такое энтимема?

8. Каковы принципы построения логики высказываний?

9. Покажите значение различных видов условных и разделительных умозаключе­ний в работе юриста.








Дата добавления: 2014-10-22; просмотров: 2272. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Тема: Кинематика поступательного и вращательного движения. 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью...

Условия приобретения статуса индивидуального предпринимателя. В соответствии с п. 1 ст. 23 ГК РФ гражданин вправе заниматься предпринимательской деятельностью без образования юридического лица с момента государственной регистрации в качестве индивидуального предпринимателя. Каковы же условия такой регистрации и...

Седалищно-прямокишечная ямка Седалищно-прямокишечная (анальная) ямка, fossa ischiorectalis (ischioanalis) – это парное углубление в области промежности, находящееся по бокам от конечного отдела прямой кишки и седалищных бугров, заполненное жировой клетчаткой, сосудами, нервами и...

Классификация ИС по признаку структурированности задач Так как основное назначение ИС – автоматизировать информационные процессы для решения определенных задач, то одна из основных классификаций – это классификация ИС по степени структурированности задач...

Внешняя политика России 1894- 1917 гг. Внешнюю политику Николая II и первый период его царствования определяли, по меньшей мере три важных фактора...

Оценка качества Анализ документации. Имеющийся рецепт, паспорт письменного контроля и номер лекарственной формы соответствуют друг другу. Ингредиенты совместимы, расчеты сделаны верно, паспорт письменного контроля выписан верно. Правильность упаковки и оформления....

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия