Свойства сплошной среды

Свойства сплошной среды.

1.1 Основные понятия

Сплошная среда

Окружающие нас тела по сути представляют собой пустоту. В 1см³ межзвездного пространства содержится одна частица. Радиус атома 10^-13 см, радиус молекулы равен 10^-8 см. При нормальных условиях в объёме 1см³ вещества содержится 2*10⁹ молекул. Очевидно, что объёмы пространства занимаемого телом намного больше объёмов, в которых сосредоточены вещества из которых состоят тела. Поэтому в большинстве случаев можно считать, что рабочее тело целиком заполняет рассматриваемую часть пространства. То есть является сплошной средой. Дискретность в данном случае в расчёт не принимается.

Представление о сплошной среде физически оправдано тем, что рассматриваемые в химической технологии фрагменты пространства, в том числе трактуемые, как бесконечно малые, практически всегда содержат достаточно большое число частиц, поэтому можно считать, что они сохраняют свои свойства рабочего тела.

Идеализация систем путём введения понятия о сплошной среде позволяет в ходе анализа объектов(явлений, процессов) пользоваться математическим аппаратом непрерывных функций. И прежде всего дифференциальным и интегральным исчислением.

 

Изотропные и анизотропные вещества

Если рассматриваемое свойство рабочего тела не меняется в занимаемым им пространстве, то это пространство и среда в нём называется изотропным относительно данного свойства. Если наблюдается изменение свойств от точки к точке (иногда считают и во времени) то пространство является не изотропным — анизотропным. В данном рассмотрении термин изотропность не распространяется на изменение интенсивных величин - температуру, давление, концентрацию и другие. В другом понимании признаком анизотропности считают неодинаковость какого-либо свойства по разным направлениям пространства (теплопроводность вдоль или поперек волокон дерева).

 

 

Идеальное вытеснение и идеальное перемешивание.

При идеальном вытеснении все элементарные частицы потока движущиеся в рабочей зоне с одинаковыми скоростями имеют одинаковое время пребывания элементов потока. При этом на выходе из рабочей зоны все элементы потока в силу равенства для них времени пребывания имеют одинаковые значения свойств (температура, концентрация и другие).

	Рис 1.1а

 

В модели идеального перемешивания все элементы потока полностью перемешаны в рабочей зоне, поэтому всякая (температура, концентрация и другие) характеристика потока во всех точках рабочей зоны и на выходе их неё имеет одинаковые значения. При этом время пребывания элементов в потоке рабочей зоны – распределенная величина. Очевидно, что некоторые элементы могут быстро «проскочить» через рабочую зону и выходные характеристики таких элементов будут мало отличаться от входных. А другие элементы могут неопределённо долго находиться в рабочей зоне (при этом выходные характеристики будут существенно отличаться от входных).

 

 

 

 

Рис 1.1б

 

1.2. Экстенсивные и интенсивные признаки характеристик рабочего тела.

Экстенсивным называется свойство имеющее меру в самом себе (количество этого свойства измеряется на основе одноимённого эталона, например длина в метрах, масса в килограммах, метр и килограмм являются эталонами той же природы что и сами свойства)

Интенсивные величины не имеют меры в себе. Они измеряются косвенно на основе экстенсивных или производных от них. Например: температура измеряется по высоте столбика в термометре, по объёму газа в баллончике, по энергетическим характеристикам термометра сопротивления или ЭДС термопары.

Экстенсивные величины пропорциональны количеству субстанции (например массе). При суммировании их количество увеличивается. Возможность Экстенсивных величин лежит в основе расчёта некоторых свойств субстанции по аддитивности.

Интенсивная величина не зависит от количества субстанции. При увеличении её количества прямого суммирования не происходит. Например: при смешении двух масс с одинаковой или разной температурой результирующая температура не равна сумме исходных. Интенсивная величина при наращивании количества субстанции каким-то образом усредняется.

Перенос субстанции (вещества, теплоты и других экстенсивных величин) возможен если в разных точках пространства (аппарата, потока) значения интенсивных свойств (температура, давление и другие) отличаются. Разница в значении и свойств потенциалов является причиной и движущей силой переноса экстенсивных величин.

Часто удобно выделить в ещё одну группу свойств – удельные свойства.

 

1.3. Силы действующие в жидкости.

В механике, гидравлике и ряде других наук анализ взаимодействия сил равнозначен (в аспекте полученных результатов) анализу потоков импульса (количества движения) поскольку поток импульса отнесённый к единице времени представляет собой силу.

Выделяют массовые(объёмные), поверхностные и линейные силы.

Массовыми называются силы действующие на каждую частицу внутри рассматриваемой массы(внутри объёма рабочего тела). Например силы центробежного тяготения, центробежные, инерционные. Массовые силы пропорциональны массе рабочего тела

(1.1)

Поверхностная сила проявляется на граничных поверхностях рассматриваемого объёма среды. Поверхностную силу действующую на элементарную площадку можно всегда разложить на две составляющие: нормальную ∆ p и тангенциальную ∆ t. Первую называют силой давления, а вторую силой сопротивления (жидкого трения). Силы трения появляются только при движении жидкости. А силы давления действуют всегда. Жидкость может сохранять своё равновесное состояние в том случае, если на неё действует только сила давления.

 

Поверхностные силы отнесённые к единице площади называют напряжениями.

 

Нормальное напряжение в жидкости

определяемое к площадке ∆ F называют гидромеханическим давлением.

Давление действующее в покоящейся жидкости называют гидростатическим. А в движущейся жидкости – гидродинамическим.

Предел отношения элементарной тангенциальной силы ∆ t к площади ∆ F

или отношение конечной тангенциальной силы t к площади F

называют касательным напряжением

.

 

Касательное напряжение возникает при деформации сдвига, где наиболее чётко проявляются особенности жидкой среды.

 

Рассмотрим деформацию сдвига упругого тела и жидкой среды.

Упругая деформация

В первом случае касательное напряжение вызванное действием сдвигающей силы пропорционально угловой деформации

 

,

 

где Е – модуль упругости тела.

 

 

Деформация сдвига

 

Во втором случае касательное напряжение возникает в результате скольжения верхней грани куба относительно нижней

dU- изменение скорости течения при удалении на расстояние dn от поверхности слоя в перпендикулярном к нему направлении, - градиент скорости сдвига.

 

Сдвигающая сила

 

Касательное напряжение

, где коэффициент пропорциональности – коэффициент динамической вязкости, [Па*с].

 

Уравнение 1.6 является законом внутреннего трения Ньютона, согласно которому напряжения внутри тела, возникающие между слоями жидкости при её течении прямо пропорциональны градиенту скорости. Знак минус показывает, что касательные напряжения тормозят слой.

Часто выражают через коэффициент кинематической вязкости

, [кг/с]

 

Идеальная жидкость

В гидравлике и других науках пользуются понятием идеальной жидкости. Идеальная жидкость в отличии от реальной (вязкой) абсолютно несжимаема под действием давления, не изменяет плотность при изменении температуры и не обладает вязкостью. Очень часто зависимости полученные для идеальной жидкости используют для реальной жидкости с введением поправочного множителя (коэффициента). Также для идеальной жидкости считают, что теплоперенос отсутствует.

 

Закон Ньютона.

Закон Ньютона в выражении 1.6 справедлив для жидкостей с небольшой молекулярной массой, вязкость которых является функцией температуры и давления и не зависит от скорости сдвига. У таких жидкостей называемых ньютоновская, зависимость касательного напряжения от скорости сдвига (кривая течения) линейная. Жидкости неподчиняющиеся закону Ньютона и у которых вязкость зависит от скорости сдвига называются неньютоновскими. При этом кривая течения не линейна.

В промышленности часто приходиться иметь дело с неньютоновскими жидкостями, обладающими аномальными свойствами (растворы полимеров, коллоидные растворы, густые суспензии, пасты и другие). Неньютоновские жидкости делят на группы с учётом следующих свойств:

 

1. Скорость сдвига в данной точке зависит только от напряжения в этой точке (реалогически стационарные жидкости)

2. Скорость сдвига зависит от продолжительности действия
напряжения (реалогически нестационарные жидкости)

3. Сочетание свойств твёрдого тела и жидкости проявляется в виде упругого восстановления формы после снятия напряжения (вязкоупругие жидкости).

 

Вязкость оказывает существенное влияние на вид течения жидкости и на сопротивление, возникающее при движении, поэтому интенсификация тепловых, массообменных, гидродинамических процессов частично достигается уменьшением вязкости среды (называемой капельной жидкостью).

 

Примером линейных сил является сила поверхностного натяжения, действующая по периметру П и пропорциональная ему, для полной силы поверхностного натяжения можно записать:

 

 

где средний по периметру коэффициент поверхностного натяжения,

 

 

Поверхность раздела между фазами стремиться к минимуму под действием поверхностных сил, вследствие чего капли взвеси в газе и газовые пузырьки в жидкости имеют форму близкую к шарообразной. Это происходит из-за того, что молекулы внутри объёма жидкости испытывают приблизительно одинаковое воздействие соседних молекул, а молекулы находящиеся у поверхности раздела фаз притягиваются молекулами внутренних слоёв жидкости сильнее, чем молекулами окружающей среды. В результате на поверхности жидкости возникает давление направленное внутрь жидкости по нормали к её поверхности, которое стремиться уменьшить эту поверхность до минимума.

Очевидно, что для увеличения поверхности необходимо затрачивать энергию. Работу,, требующуюся для образования единицы новой поверхности называют

межфазным поверхностным натяжением - . Поверхностное натяжение уменьшается с увеличением температуры.

 

1.4 Методы изучения жидкостей

Для изучения законов равновесия и движения жидкостей используются математические, аналитические и экспериментальные методы.

Благодаря математическим методам исследования, заключающимся в составлении и интегрировании дифференциальных уравнений движения жидкости получают результаты обладающие строгостью и точностью.

Однако в большинстве случаев характер движения жидкости настолько сложный. Что составить уравнение точно описывающее движение не представляется возможным. Поэтому широко используются приближённые методы.

К математическим методам относят:

методы контрольных объёмов,

статистический метод,

метод бесконечно малых величин.

 

Метод бесконечно малых величин

Жидкость рассматривается как непрерывная среда с неограниченной делимостью её частиц до математической точки. Этот метод заключается в составлении на основе второго закона Ньютона дифференциального уравнения движения (покоя) с последующим его интегрированием.

Для наблюдения за различными частицами жидкости используют два способа:

 

1. Субстанциональный (способ Лагранжа) – наблюдение ведётся за движение выбранной частицы жидкости через различные точки пространства

2. Локальный способ (способ Эйлера) – наблюдение ведётся за различными частицами проходящими через выбранную точку пространства.

 

При исследовании движения жидкости по методу Лагранжа геометрическими характеристиками движения являются: траектория (след оставленный частицей в пространстве при движении за определённый промежуток времени) и линия отмеченных точек

По методу Эйлера: линия тока – представляет собой мгновенную линию вдоль которой в рассматриваемый момент времени движется совокупность частиц.

Методы Лагранжа и Эйлера связаны между собой, переход от координаты Лагранжа к координате Эйлера выполняется путём дифференцирования, а обратный переход – интегрированием, что всегда сложнее, а иногда не возможно.

 

Метод контрольных объёмов

Позволяет переходить от уравнений, определяющих значение величины в точке на конечный объём выделенный в потоке жидкости(значение средней скорости потока, уравнение неразрывности (сплошности) потока, уравнение Бернулли для потока).

Для составления интегральных характеристик движения используют общие законы механики и физики.

 

Статистический метод

Основан на представлении жидкости как о среде, состоящей из отдельных частиц. С помощью аппарата математической статистики исследуются массовые явления в жидкости, вычисляется значение параметра характеризующего массовое явление, а затем изучается распределение отдельных явлений и количественный анализ поведения отдельных частиц.

 

Экспериментальный метод

Основой теории инженерного эксперимента является обобщенный анализ, включающий классическую теорию подобия, методы характеристических масштабов и анализа размерностей.

Экспериментальный метод используется в наиболее сложных случаях при проектировании гидромашин, каналов сложной формы и так далее.

Метол аналогий

Является одной из разновидностей экспериментального метода. Как пример, можно привести работы Н.Н Павловского установившего, что процессы фильтрации (движение жидкости в пористых слоях и пористых материалах) и движения электрического тока в проводящей среде аналогичны.

Это позволило создать метод электрогидродинамических аналогий.

2. Гидростатика

Гидростатика изучает равновесие жидкостей находящихся в состоянии покоя, при этом даже в движущейся жидкости

При этом силы внутреннего трения отсутствуют, предполагается что жидкость является идеальной.

Соответствие между силами действующими на жидкость которая находится в состоянии покоя выражается в дифференциальным уравнением равновесия Эйлера.

 

2.1 Дифференциальное уравнение равновесия Эйлера

Для покоящейся идеальной жидкости (газа) выделим элементарный объём с рёбрами расположенными параллельно осям координат

 

 

Сила тяжести, действующая на параллелепипед

Сила гидростатического давления на любую из граней параллелепипеда

Будем считать, что давление является функцией координат

 

Согласно основному принципу статики: сумма проекций на оси координат всех сил действующих на элементарный объём, находящийся в равновесии равна нулю.

Рассмотрим сумму проекций сил на ось Z: Сила тяжести параллельна оси Z, поэтому при выбранном направлении оси Z сила тяжести в формуле будет со знаком минус.

 

 

Сила гидростатического давления действует на нижнюю грань параллелепипеда по нормали к ней и её проекция на ось Z равна:

 

Если изменение гидростатического давления в данной точке в направлении … то по всей длине ребра оно составит , тогда гидростатическое давление на противоположную (верхнюю) грань составит.

Проекция давления на ось Z:

-

 

Проекция равнодействующей силы давления на ось Z:

 

Сумма проекций сил на ось Z равна нулю:

 

Или учитывая, что объём параллелепипеда равен то есть не равен нулю.

Тогда

 

 

Проекция силы тяжести на оси X и Y равна нулю, поэтому сумма проекций на ось X:

 

Получим

 

Аналогично оси X в направлении оси Y получим

 

Таким образом, условие равновесия элементарного параллелепипеда выражается уравнениями:

 

 

Уравнения 2.6 являются д ифференциальными уравнениями Эйлера.

 

3.3 Основное уравнение гидростатики.

Для получении закона распределения давления во всём объёме покоящейся жидкости следует проинтегрировать систему уравнений 2.6.

Из уравнения 2.6 следует, что давление в покоящейся жидкости изменяется только по вертикали

(рис.2.1), оставаясь одинаковым во всех точках любой горизонтальной плоскости, так как изменение давления вдоль оси X и Y равны нулю.

 

Так как частные производные и можно заменить … на полную производную , тогда

…. или

 

Для несжимаемой однородной жидкости плотность постоянна:

Поэтому

 

Проинтегрировав 2.8 получим

Для двух произвольных горизонтальных плоскостей это уравнение записывают:

 

Уравнения 2.9, 2.10 называют основным уравнением гидростатики. Оно выражает зависимость давления в данной точке покоящейся жидкости от рода жидкости (её плотности) и расстояния точки по вертикали от свободной поверхности.

 

 

 

Уравнение 2.9 часто приводят к виду

 

В этом уравнении: – абсолютное давление в данной точке жидкости

– давление на свободной поверхности

- давление столба жидкости высотой h (избыточно е давление) в данной точке.

Также это уравнение используют для определения манометрического и вакуумметрического давления

(см. рис 2.3).

 

рис. 2.3

 

Z в уравнении 2.9 представляет собой высоту расположения данной точки над произвольно выбранной плоскостью сравнения называется нивелирной или геометрической высотой. Измеряется в метрах.

Член этого уравнения –высота давления или пьезометрическая высота также измеряется в метрах.

 

Члены основного уравнения гидростатики имеют определённый энергетический смысл:

– характеризует удельную энергию, то есть энергию приходящуюся на единицу веса жидкости и называют пьезометрическим напором.

 

Аналогичный энергетический смысл получает и нивелирная высота, если её обозначение умножить и разделить на единицу веса жидкости.

Следовательно нивелирная высота Z, называемая также геометрическим (высотным) напором характеризуетудельную потенциальную энергию положения данной точки над выбранной плоскостью сравнения.

 

А пьезометрический напор – удельную потенциальную энергию состояния в данной точке.

 

Сумма указанных энергий называемая полным гидростатическим напором равна общей потенциальной энергии, приходящейся на единицу веса жидкости, следовательно, основное уравнение гидростатики представляет собой частный случай закона сохранения энергии:

Удельная потенциальная энергия во всех точках покоящейся жидкости есть величина постоянная.

3.4 Закон Паскаля.

Рассмотрим две частицы жидкости, расположенные как это показано на рис.2.2

Для этого случая можно записать:

 

-

Формулу 2.12 также записывают

 

 

Уравнения 2.14 и 2.15 являются выражением закона Паскаля:

Давление, создаваемое в любой точке покоящейся несжимаемой жидкости передаётся одинаково всем точкам её объёма.

 

3.5 Примеры применения основного уравнения гидростатики.

Принцип сообщающихся сосудов и его применение.

 

 

На рис. 2.4. изображена схема двух сообщающихся сосудов, в которые помещены жидкости, имеющие плотности ρ ₁ и ρ ₂. Пусть давление на поверхности жидкостей одинаково и равно p₀ .

В соответствии с 2.15 в любой точке в пределах двух сосудов на линии раздела двух жидкостей давления будут:

 

В открытых или закрытых находящихся под одинаковым давлением сосудах, заполненных однородной жидкостью, уровни её располагаются на одной высоте независимо от формы и поперечного размера сосудов.

Часто условия равновесия жидкостей в сообщающихся сосудах используют для определения высоты гидравлического затвора в различных аппаратах, гидроусилителях и других гидростатических машинах.

 

3.6 Основы теории плавания тел. Закон Архимеда.

 

 

Рассмотрим некоторый объём V выделенный в жидкости находящейся в равновесии. На объём V со всех сторон действуют силы остальной части жидкости. Силы приложенные к боковым поверхностям объёма и действующие в горизонтальном направлении равны по величине и противоположны по знаку, и следовательно не оказывают влияния на равновесие объёма V/

Равновесие нарушается лишь под действием вертикальных сил, приложенных сверху и снизу. Равнодействующая этих сил направлена сверху вниз и численно равна весу жидкости в объёме рассматриваемого тело.

Для определения величины равнодействующей выталкивающей силы разобьём объём на элементарные призмы высотой h (рис. 2.5.).Согласно уравнению силы действующие на верхнее и нижнее основание призмы равны:

 

 

Величина выталкивающей силы равна разности вертикальных составляющих, определяемых выражениями 2.18, 2.19.

Обозначив разницу

и заменив и на

получим

Из этого выталкивающая сила равна:

Выталкивающая(подъёмная) сила всегда направлена снизу вверх, проходит через центр тела и не зависит от глубины погружения.

Три случая соотношения подъёмной силы P_П и силы тяжести G: P_П > G – тело тонет;

P_П < G – тело всплывает;

P_П = G – тело плавает

в погруженном состоянии.

 

 

.

 

3. Гидродинамика

3.1 Характеристики движения жидкости

Гидродинамика решает три задачи: внутреннюю, внешнюю, смешанную. Внутренняя связана с анализом движения внутри труб и каналов. Внешняя исследует закономерности обтекания различных тел в жидкости. Смешанная задача возникает при движение жидкости через зернистый слой материала когда она перемещается как внутри каналов сложной формы так и обтекает частицы. Смешанные задачи решают сводя их либо к внутренней, либо к внешней.

Движущей силой перемещения жидкости является разность давлений, создаваемая насосами, компрессорами, либо за счёт разности уровней, либо разных плотностей жидкости.

Изучение законов гидродинамики имеет целью расчёт движущей силы(разности давлений), необходимой для перемещения заданного количества жидкости с требуемой скоростью, что позволяет определить расход энергии на это перемещение. Либо обратную задачу- определить скорость и расход жидкости при известном перепаде давления.

 

3.2 Классификация видов движения

Движение жидкости классифицируют по разным признакам:

 

3.9.1 по зависимости скорости от координаты и времени движения

и неустановившееся (стационарное и нестационарное)

 

- неустановившееся – такое движение, когда параметры движущейся жидкости в различных точках занимаемого пространства изменяются с течением времени.

- установившееся- когда параметры движущейся жидкости в различных точках пространства не меняются с течением времени.

Установившееся движение может быть равномерным и неравномерным.

 

- равномерным называется такое движение при котором скорости частиц жидкости в точках двух смежных сечений равны между собой.

- неравномерным называется такое движение при котором скорости частиц жидкости в сходственных точках двух смежных сечений не равны между собой

 

3.9.2 по наличию вращательного движения частиц жидкости делятся на вихревое и

без вихревое (вращение отсутствует – потенциальное движение

 

3.9.3 по наличию свободной поверхности движения делятся на напорное, свободное, езнапорное.

 

- напорным называется движение жидкости не имеющее свободной поверхности(полностью заполненном трубопроводе)

- безнапорным называется движение жидкости со свободной поверхностью (в открытых и закрытых руслах)

- свободным является движением жидкости не стеснённое твёрдыми стенками русла. Свободное движение жидкости называется струями.

Струи могут быть затопленными т не затопленными

 

- затопленной струёй называется движение жидкости при котором плотность движущейся жидкости примерно равна плотности окружающей среды(струя дыма выходящего из трубы).

 

-не затопленной струёй называется движение при котором плотность движущейся жидкости намного превышает плотность окружающей среды(фонтан).

 

3.9.4 Различают сплошное движение и прерывистое.

-сплошным или непрерывным называется такое движение жидкости при котором жидкость полностью(сплошь) заполняет всю область своего движения.

-прерывистым называется движение жидкости при наличии пустот в области движения (водопровод)

3.9.5 Движение может быть осесимметричным и не осесимметричным

 

- осесимметричным –поле скоростей и ускорений имеет одинаковый вид в любых плоскостях проходящих через некоторую прямую названную осью симметрии.

- не осесимметричным

3.9.6 Движение делят на одномерное, двумерное и трехмерное.

3.9.7 Движение можно классифицировать по механизму передачи количества движения

между слоями.

-если этот механизм имеет молекулярную природу движение называется ламинарным.

-если количество движения передаётся в основном за счёт обмена жидкими массами, перемещающимися хаотически по всему объёму жидкости, то движение называется турбулентным.

Турбулентное движение обычно дополнительно разделяют на движение в зонах гладкого смешанного и шероховатого сопротивления (трения).

 

 

Поток жидкости - это часть неразрывно движущейся жидкости, ограниченная твёрдыми деформируемыми стенками, в частности воздушной средой или жидкостью(струи).

Важнейшей характеристикой течения является скорость.

Локальная (местная) скорость - это скорость жидкой частицы в данной точке пространства в данный момент времени.

Поле скоростей это совокупность векторов локальных скоростей, построенных для некоторых точек пространства в данный момент времени.

По методу Эйлера движение жидкости задаётся путём задания поля скоростей жидкости в пространстве в каждый момент времени. Для полной характеристики движения необходимы сведения об ускорении частицы жидкости .

 

3.3 Субстанциональная производная

 

Геометрическими характеристиками потока являются три линии:

траектория- линия по которой движется частица жидкости;

линия тока – проводимая в потоке жидкости условная линия во всех точках которой в данный момент времени векторы локальных скоростей направлены по касательной к этой линии, отметим, что при установившемся движении, когда величина и направление локальных скоростей не изменяются во времени, линия тока совпадает с траекторией. Из определения линии тока следует: две линии тока в рассматриваемом потоке не могут пересекаться друг с другом;

линия отмеченных точек – линия на которой в данный момент времени лежат частицы жидкости, прошедшие в своё время через одну и туже начальную точку. При установившемся движении линия оставленных точек совпадает с траекторией и линией тока.

Расходом жидкости называется количество жидкости, проходящее через живое сечение потока в единицу времени.

Различают: объёмный [м³/с], массовый [кг/с], весовой [Н/с] расходы.

Локальная скорость жидкости в некоторый момент времени называется мгновенной. А если она рассматривается за определённый промежуток времени, то осреднённой. Скорость течения потока характеризуется средней скоростью по поперечному сечению

.

Средняя скорость – некоторая постоянная фиктивная скорость с которой должны двигаться через рассматриваемое поперечное сечение все частицы жидкости, чтобы её расход равнялся расходу при движении с истинными, неодинаковыми по сечению, скоростями.

Из уравнения 3.1 для двух сечений

Считая, что жидкость несжимаемая и с учётом неразрывности потока (сплошности) не должно быть и

врезультате , отсюда:

То есть расход вдоль потока остаётся постоянным.

 

3.4 Дифференциальное уравнение Эйлера.

Рассмотрим установившийся поток идеальной жидкости, который движется без трения, то есть не имеет вязкости. Выделим в потоке элементарный параллелепипед (рис. 2.1) объёмом , ориентированный параллельно относительно осей координат. Повторяя рассуждения раздела 2 запишем проекции сил тяжести и давления действующих на параллелепипед

 

на ось x:

на ось y:
на ось z:
Согласно основному принципу динамики сумма проекций сил действующих на движущийся элемент объёма жидкости равна произведению массы жидкости на её ускорение:

Масса жидкости объёма равна:

 

Если жидкость движется со скоростью U, то её ускорение:

 

А проекции ускорения на оси координат соответственно: где – составляющие скорости вдоль осей x, y, z.

Для установившегося потока, то есть рассматриваемого случая:

 

, , .

 

Эти производные отвечают изменениям во времени значений при перемещении частиц из одной точки пространства в другую. Тогда в соответствии с основным принципом динамики можно записать:

 

 

Сокращая получим:

Система уравнений 3.8 - это уравнения Эйлера для установившегося потока.

При этом следует иметь ввиду

Обычно говорят, что система 3.8 с учётом 3.9 представляет собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера для установившегося потока в поле сил тяготения.

 

3.5 Дифференциальные уравнения движения Навье-Стокса.

При движении вязкой (реальной) жидкости в потоке помимо сил давления и силы тяжести действуют и силы трения. Действие сил трения на выделенный в потоке элементарный параллелепипед (рис. 3.2) проявляется в возникновении на его поверхности касательных напряжений .

 

рис 3.2

 

Рассмотрим движение однородного плоского потока капельной жидкости в направлении оси x, когда проекция скорости зависит только от расстояния z до горизонтальной плоскости, в этом случае касательные напряжения возникают лишь на поверхностях верхней и нижней граней параллелепипеда

Касательной напряжение на нижней грани будет , тогда на верхней грани оно составит: