Примеры решения задач. Задача-пример 1. Две треугольные призмы касаются ребрами, при которых углы между гранями равны соответственно a и b

Задача-пример 1. Две треугольные призмы касаются ребрами, при которых углы между гранями равны соответственно a и b. Сверху на них положили шар радиуса R массой m (рис). Определить силы, с которыми шар действует на каждую призму.

Решение. I-й способ. Записываем первое условие равновесия шара:

Проектируем его на оси.

х: ;

y: .

Получили два уравнения с двумя неизвестными. Обратите внимание, что каждое уравнение содержит две переменные N₁ и N₂. Выразим N₂ из первого уравнения и подставим во второе: ,

Þ ,

аналогично получаем .

II-й способ. Записываем второе условие равновесия шара относительно точек опоры А и В. Учтем, что момент силы N₁ относительно точки А равен нулю, а момент силы N₂ относительно точки В равен нулю. Получаем в скалярной форме два равенства соответственно:

Видим, что полученные равенства являются уравнениями лишь с одной переменной. Откуда выражаем искомые величины.

Ответ: , . ¨

Задача-пример 2. Один конец твердого стержня массой m шарнирно закреплен в точке А, а другой удерживается веревкой ВС? Найти натяжение веревки, если треугольник АВС равносторонний.

Решение. На стержень действуют три силы: сила тяжести, сила натяжения веревки и сила реакции шарнира в точке А. Направление последней из них на начальном этапе решения определить невозможно (его можно рассчитать!). Поэтому первое условие равновесия использовать для решения задачи не представляется возможным из-за неизвестности проекций этой силы.

Определить плечо силы относительно какой-либо точки нельзя не зная линии действия этой силы (по определению плеча). Однако если мы в качестве точки опоры возьмем точку А и учтем, что сила приложена в точке А (т.е. линия ее действия проходит через эти точку), то плечо силы будет равно нулю, а значит и равен будет нулю ее момент. Тогда второе условие равновесия запишется так: , по рисунку из геометрических соображений определяем плечи сил и получаем равенство: , откуда .

Ответ: mg /2. ¨

 

 

ЗАДАЧИ к разделу «Статика»

 

1. Светофор массой 4 кг подвешен над дорогой на двух одинаковых тросах, угол между которыми составляет 120⁰. Считая тросы невесомыми, найти их натяжение. Ускорение свободного падения принять равным 9, 8 м/с².

2. Полый шарик из алюминия (r = 2700 кг/м³) в воде (r₁ = 1000 кг/м³) имеет вес Р₁ = 0, 24 Н, а в бензине (r₂ = 700 кг/м³) Р₂ = 0, 33 Н. Найти объем V₁ полости.

3. Труба длиной 5 м и массой 40 кг лежит горизонтально на двух опорах. Одна из опор расположена на расстоянии 1 м от правого конца трубы. Какую минимальную силу нужно приложить к левому концу трубы, чтобы ее приподнять?

4. Лом весом 160 Н и длиной 2 м лежит на ящике шириной 1 м, выступая на края его на 0, 4 м и 0, 6 м. Какую минимальную силу нужно приложить к лому, чтобы приподнять длинный его конец? [60 Н]

5. На какую минимальную высоту может приподняться человек по невесомой лестнице, имеющей длину l и приставленную к гладкой стенке? Угол между лестницей и стенкой j, коэффициент трения о пол m. [ ]

6. Определить модуль силы натяжения троса ВС, если известно, что натяжение троса АС равно F₂ = 15 Н. В положении равновесия углы a = 30⁰ и b = 75⁰.

7. Шарнирный трехзвенник АВС удерживает в равновесии груз, подвешенный к шарнирному болту С. Под действием груза стержень АС сжат силой F₂ = 25 Н. Заданы углы a = 60⁰ и b = 45⁰. Считая стержни АС и ВС невесомыми, определить усилие в стержне ВС.

8. Груз 1 весом 2 Н удерживается в равновесии двумя веревками АС и ВС, расположенными в вертикальной плоскости. Определить натяжение веревки ВС, если угол a = 30⁰.

9. Кусок сплава меди и серебра весит в воздухе 2, 940 Н, а в воде – 2, 646 Н. Сколько серебра и меди в куске, выразить в граммах. [0, 083 г и 0, 217 г]

10. Сплошной однородный шар плавает на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей, плотности которых равны 800 кг/м³ и 1000 кг/м³. Определить плотность тела, если в верхней жидкости находится 30% всего объема шара. [940 кг/м³]

11. Тело кубической формы плавает на поверхности ртути, причем в ртути находится 0, 6 всего объема тела. Какая часть тела будет погружена в ртуть, если поверх нее налить слой жидкости, закрывающей тело, плотность которой 3600 кг/м³. Плотность ртути 13 600 кг/м³. [0, 456]

12. Дубовый шар массой 0, 6 кг лежит на дне сосуда, наполовину погруженный в воду. Определить силу давления шара на дно сосуда. Плотность дуба 800 кг/м³, воды 1000 кг/м³. Принять g = 10 м/с². [2, 25 Н]

 

 

Часть четвертая: Работа силы. Механическая энергия и количество теплоты. Импульс. Законы изменения и сохранения импульса и полной механической энергии.

 

Основные понятия и законы

 

Пусть на тело действует сила и за некоторое время t оно переместилось на вектор . Физическая величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор соответствующего перемещения, называется работой этой силы по перемещению тела:

= F× S× cosa = F× S_{ú ú} (4.1),

[A] = Дж = Н× м.

Здесь a - угол между векторами силы и перемещения (рис.). Произведение S× cosa соответствует величине перемещения вдоль направления действия силы, т.е. равна одной из составляющих вектора перемещения. Другая составляющая перпендикулярна действующей силе, а потому эта сила на таком перемещении работы не совершает:

= × ( _{ú ú} + _^) = × _{ú ú} + × _^= F× S_{ú ú} + 0 = F× S_{ú ú} .

Выделим несколько случаев, в которых работа не совершается или равна нулю: 1) тело перемещается, но нет действующей на него при этом силы (движение по инерции), т.е. S ¹ 0, F = 0;

2) сила действует, но тело не перемещается, т.е. F ¹ 0, S = 0;

3) сила действует перпендикулярно перемещению тела, т.е. F ¹ 0, S ¹ 0, но угол a = 90⁰.

В качестве примера случая 3) полезно запомнить следующее. Пусть имеется шарик, закрепленный на вертикальной нити и движущийся по окружности (в вертикальной – рис.а) или горизонтальной – рис.б) плоскости). Здесь сила (или ее проекция) направлена вдоль радиуса окружности, а элементарное перемещение к любой момент времени по отрезку касательной, т.е. они взаимноперпендикулярны и сила натяжения нити не совершает работы. Умение определять работу силы важно еще и потому, что от наличия или отсутствия работы внешних сил зависит будет ли изменяться механическая энергия тела или нет. Также сила реакции опоры в любой момент времени перпендикулярна опоре, по которой движется тело, и ее работа в таких условиях равна нулю всегда!

Замечание. Рассмотрим контрпример: человек, сидя на гладком сиденье автобуса, перемещается вместе с последним. Требуется ответить на вопрос: совершает ли в этом случае сила реакции (вертикальной) спинки сиденья работу по перемещению человека в горизонтальном направлении? …

Однозначного ответа нет. Т.е. 1) если автобус движется равномерно, то указанная работа равна нулю (ответ НЕТ), как в первом случае равенства работы силы нулю – движение по инерции (см. выше), 2) при ускоренном движении автобуса имеем положительный ответ (ДА).

И еще один момент: если сила и перемещение противоположно направлены, то угол a = 180⁰ и работа силы будет отрицательна. Т.е. работа может быть как положительной величиной, так и отрицательной, а потому потеря знака при ее определении будет считаться в ряде случаев серьезной ошибкой, особенно если речь идет о суммарной работе нескольких сил. Кроме того, важно различать понятия «работа силы » (обозначим А) и «работа по преодолению силы » (обозначим А¢), их связь выражается следующей формулой:

А = - А¢ (4.2).

Дальнейшее применение этой формулы будет значительно расширено при рассмотрении работы газов в термодинамике.

Методические указания. Формула (4.1) применима лишь в том случае, когда сила постоянна по величине и по направлению. В противном случае аналогичную формулу записываем для элементарной работы и интегрируем: , где угол тоже может быть функцией перемещения, т.е. различен в разных участках перемещения тела.

 

Понятие «энергия» – одно из фундаментальных понятий физики. Энергия – мера движения материи (с позиции философии имеются в виду различные формы движения материи). Энергия - однозначная функция состояния системы, т.е. «любому переходу материальной системы из одного состояния в другое всегда соответствует строго определенное изменение энергиии» [Эвенчик Э.Е. Преподавание механики в курсе физики средней школы. Пособие для учителей. Изд. 2-е, переработ. и доп. - М.: Просвещение, 1971. – 160 с. – С. 134]. Энергия – это общая числовая характеристика конкретных физических форм движения материи: механической, тепловой, электрической и т.д., остающаяся в изолированной системе неизменной величиной при любых их взаимных превращениях.

В связи с этим, работа силы равна величине энергии, переданной от одного тела к другому, или превращенной из одной формы в другую, т.е. служит мерой преобразования энергии.

Замечание. В данном пособии мы рассматриваем лишь механическую работу и механические виды энергии.

Кинетическая энергия (тела) – энергия (его) движения:

(4.3).

Из формулы-определения следует, что кинетическая энергия тела всегда – неотрицательная скалярная величина. Величина этой энергии для данного тела зависит только от его скорости, поэтому, учитывая относительность движения, можно получать различные результаты в разных ИСО.

Прежде чем говорить о потенциальной энергии, уместно вспомнить, что силы бывают потенциальные (консервативные) и непотенциальные (диссипативные). Основные свойства потенциальных сил: работа силы зависит лишь от начального и конечного положения тела (иначе говоря, работа не зависит от формы траектории), работа по замкнутому контуру равна нулю; сила однозначно определяется скалярной функцией координат (потенциалом поля, обеспечивающего данный вид взаимодействия). Потенциальная энергия – энергия взаимо действия; скалярная величина (может быть отрицательной величиной). Потенциальная энергия системы тел определяется их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Расчетная формула зависит от вида взаимодействия:

1) гравитационное: (4.4), где - сила тяжести, действующая на тело, - высота тела относительно выбранного нулевого уровня отсчета потенциальной энергии;

2) упругое: (4.5) - потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины ( - величина деформации пружины с коэффициентом упругости ). За нулевой уровень принято положение недеформированного состояния;

3) электростатическое: (4.6) - потенциальная энергия заряда , находящегося в точке поля с потенциалом . Если поле создано другим точечным зарядом Q, то за нулевой уровень отсчета потенциала часто принимают точку, находящуюся от Q на расстоянии, равном бесконечности (где поле отсутствует).

Полная механическая энергия – сумма кинетической и потенциальной энергии тела: (4.7).

Методические указания. Потенциальная энергия всегда относится к двум или более телам, т.к. для ее наличия необходимо их взаимодействие друг с другом. Когда же речь идет о потенциальной энергии одного конкретного тела, то надо понимать это как энергию ЕГО взаимодействия, но с каким-то другим телом. Если же потребуется найти полную механическую энергию, к примеру, двух тел с учетом их взаимодействия, то получим формулу:

(4.7*).

Известно, что значение потенциальной энергии зависит от конфигурации системы взаимодействующих тел, т.е. от их взаимного расположения, и меняется при переходе системы от одной конфигурации к другой. Поэтому в ходе любого опыта можно измерить только изменение потенциальной энергии. И лишь принимая (совершенно произвольно) значение потенциальной энергии при каком-то взаимном расположении участников взаимодействия за ноль, становится возможным говорить об абсолютном значении потенциальной энергии. Иначе говоря, при анализе физических процессов (в ходе решения задач) важно не само значение потенциальной энергии тела, а величина ее изменения в этих процессах, а чаще всего будет рассматриваться убыль потенциальной энергии. С точки зрения математики термины «изменение» и «убыль» противоположны по знаку: изменение функции равно разности ее конечного и начального значений, а ее убыль равна разности начального и конечного значений. Это необходимо четко различать при формулировке и записи нижеследующих формул.

Теорема о кинетической энергии: изменение кинетической энергии системы равно работе всех внешних сил. Имеем:

(4.8).

Работа потенциальных сил равна убыли потенциальной энергии:

(4.9).

И как следствие формул (4.8) и (4.9) получаем закон изменения полной механической энергии:

(4.10).

Методические указания. При решении задач надо помнить, что изменить полную механическую энергию тела (или системы тел) может работа сил трения, сопротивления и др. (внешняя приложенная сила и т.д.). При их отсутствии имеем дело с так называемым законом сохранения полной механической энергии тела, который записываем в форме: - энергии в любых двух состояниях равны (4.11). И далее с учетом конкретного условия задачи расписываем левую и правую части этого равенства, не выходя за его пределы. Таким образом, оговорки в условии «силу сопротивления не учитывать» или «трением пренебречь» напоминают о возможности использования формулы (4.11).

 

Обратим внимание на тот факт, что силы трения всегда способствуют переходу энергии из механической во внутреннюю. Поэтому к ним нельзя применять разделение на «внутреннее» трение и «внешнее», т.е. силы трения всегда считаются внешними по отношению к механической системе силами. Потери механической энергии наблюдаются и при процессах с остаточными деформациями (например, неупругий удар).

 

Закон сохранения полной механической энергии тела при его переходе из одного положения в другое выполняется (имеет место) в следующих случаях:

1) непотенциальные силы отсутствуют;

2) непотенциальные силы есть, но их работа равна нулю.

 

В частности, сохранение механической энергии допускает переход ее из одного вида (потенциальной или кинетической) в другой, но только в равных количествах!

Размерности работы и энергии одинаковы: [A] = [E] =Дж, и совпадают с размерностью другой физической величины – количество теплоты - количественной характеристики процесса теплообмена. Отсюда можно сделать вывод, что работа и теплота – два различных способа изменения энергии тела (или системы). Этот важный для понимания момент отражен и в первом начале термодинамики.

Приведем формулы для подсчета количества теплоты в разных тепловых процессах:

1) нагревание (охлаждение): (4.12), где - теплоемкость тела (Дж/К), - удельная теплоемкость вещества (Дж/(кг× К)), - изменение температуры;

2) плавление (кристаллизация): (4.13), где - удельная теплота плавления вещества, - масса расплавленного (затвердевшего) вещества;

3) испарение (конденсация): (4.14), где - удельная теплота парообразования вещества, - масса испарившегося вещества.

Еще одним следствием закона сохранения энергии является формула теплового баланса: в замкнутой системе общее количество отданного количества теплоты равно общему полученному количеству теплоты (4.15). Эта формула характеризует передачу энергии от одних частей изолированной системы к другим в процессе теплообмена.

 

Импульс тела (количество движения) – динамическая характеристика движения, связанная с силами, необходимыми для того, чтобы привести это тело в движение из состояния покоя или остановить его. По определению импульс тела – векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: (4.16). Отсюда направление импульса всегда совпадает с направлением скорости движения тела, т.к. коэффициент-масса – положительное число.

Закон изменения импульса тела (прямое следствие второго закона Ньютона): (4.17) - изменение импульса тела равно импульсу действующей силы.

Величина называется импульсом силы. Таким образом, изменить импульс тела может лишь сила, действующая на него в течение некоторого промежутка времени.

В случае, когда правая часть (4.17) равна нулю, получаем форму закона сохранения импульса в векторном виде: или (4.18) - импульс тела в начальном и конечном состояниях (положениях) равны.

 

На основе формулы (4.17) выделяем случаи, в которых можно воспользоваться формулой (4.18):

1) внешние силы отсутствуют;

2) внешние силы есть, но они скомпенсированы;

3) внешние силы не скомпенсированы, но время их действия достаточно мало, т.е. (например, удар, сцепка вагонов, прыжок, выстрел, разрыв гранаты на осколки и т.д.);

4) если какой-либо из пунктов 1)-3) имеет место в отношении какой-то оси, например, оси х, то сохраняется лишь проекция импульса на эту ось: р_1х = р_2х (4.18*).

Методические указания. При решении задач на закон сохранения импульса надежнее следующее: там, где достаточно рассмотрения проекции импульса на некоторое направление, не стараться доказать выполнение и использовать закон сохранения импульса как вектора. Так как последний выполняется в случае изолированной системы (а таких систем в реальности нет, например, нельзя избавиться от силы тяжести для материальной частицы в пределах Земли) и в случае равенства нулю равнодействующей всех действующих на тело сил (НО… это условие должно выполняться в любой момент времени в процессе перехода тела из одного состояния в другое, а это иногда бывает вовсе не очевидно!). Короче говоря, при решении задач чаще всего необходимо руководствоваться пунктом 4) с формулой (4.18*). Хотя отдельный тип задач все же рассчитан на формулу для векторов - (4.18) (например, в случае разрыва гранаты на осколки имеем дело с трехмерным вектором).

Здесь же важно напомнить методическое требование: скорости (импульсы) всех тел или частей системы должны быть взяты относительно ОДНОЙ и ТОЙ ЖЕ ИСО для их включения в одно равенство!

Закон изменения и сохранения импульса можно обобщить и на случай системы тел (Замечание. Тела при этом рассматриваются как материальные точки!). Причем импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс. Центром масс (или центром инерции) системы называется воображаемая точка С, положение которой зависит от распределения масс в системе и задается радиус-вектором по формуле:

(4.19), где n – число тел в системе,

m_i и - масса и радиус-вектор i -того тела. Дифференцированием формулы (4.19) легко показать, что импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс: (4.20).

Записав 2-й закон Ньютона для системы в форме:

получаем закон движения центра масс. Т.е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует равнодействующая всех внешних сил, приложенных к системе.

А в соответствии с законом сохранения импульса при выполнении одного из условий получим: центр масс системы либо движется равномерно, либо покоится.