Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости и потока вязкой жидкости





 

В элементарной струйке идеальной жидкости расположим декартовы оси координат таким образом, чтобы ось Z была параллельна вектору ускорения свободного падения g и направлена вертикально вверх. В данном частном случае jx=jy=0 и jz=−g, уравнение (3.10) примет вид:

 

(5.5)

 

или

(5.6)

 

Проинтегрируем уравнение (5.6), в результате получим:

 

(5.7)

 

Зависимость (5.7) получена Д. Бернулли в 1738 г. и называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

В уравнении (5.7) hпз= р/(ρg) и hг=z, как и в уравнении (3.13) геометрический и пьезометрический напоры, соответственно, hс= u2/(2g) называется скоростным или динамическим напором.

Таким образом, сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров для любых сечений элементарной струйки идеальной жидкости есть величина постоянная.

Как известно из подраздела 3.3,геометрический напор z – удельная потенциальная энергия жидкости, апьезометрический напор р/(ρg) – удельная потенциальная энергия давления.

Известно, что кинетическая энергия Ек выражается формулой: Ек=mu2/2. Кинетическая энергия, отнесенная к единице веса тела mg, называется удельной, т.е. ек= mu2/2g.

Тогда, уравнение (5/7) можно сформулировать следующим образом: сумма удельной потенциальной энергии положения, удельной потенциальной энергии давления и удельной кинетической энергии для любых сечений элементарной струйки идеальной жидкости есть величина постоянная.

Сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров называется полным напором или полной удельной энергией элементарной струйки (потока) в данном живом сечении, т.е.

(5.8)

 

Для вывода уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости введем понятие мощности потока. Мощность потока в определенном живом сечении – полная энергия, которую проносит поток через это живое сечение в единицу времени или работа, которую могла бы совершить жидкость, прошедшая через данное живое сечение за единицу времени.

Определим вначале мощность dN элементарной струйки в определенном живом сечении. Поскольку удельная энергия является энергией, отнесенной к единице веса жидкости, то

 

(5.9)

 

Мощность потока найдем путем интегрирования уравнения (5.9) по площади S:

(5.10)

 

Теоретически и экспериментально доказано, что для параллельноструйчатых или плавно меняющихся потоков гидростатический напор z+p/ρg есть величина, одинаковая для всех точек для всех точек определенного живого сечения потока, т.е. при движении элементарные струйки оказывают одна на другую в поперечном направлении такое же давление, как слои в покоящейся жидкости:

В дальнейшем будем рассматривать такие или близкие к ним живые сечения потока. С учетом этих допущений уравнение (5.10) примет вид:

 

(5.11)

Найдем среднее значение полной удельной энергии (полного напора) в данном живом сечении потока. С учетом зависимости (4.3) получим:

 

(5.12)

 

Умножим и разделим последний член уравнения (5.12)на квадрат средней скорости потока u2ср:

 

где α – безразмерный коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей в живом сечении потока и равный:

 

(5.13)

 

Рассмотрим физическую сущность коэффициента Кориолиса. Для этого разделим и умножим зависимость (5.13) на ρ/2.

 

где екi – кинетическая энергия, которой обладает масса i-й элементарной струйки, прошедшая через данное живое сечение в единицу времени; Ек.ср – кинетическая энергия, которой обладает масса потока жидкости, прошедшая через то же живое сечение в единицу времени, и подсчитанная по средней скорости.

Для ламинарного течения жидкости αлам=2, для турбулентного αтурб=1,05…1,15 [1, с.102; 8,с. 140]. При турбулентном течении жидкости, чем выше число Рейнольдса, тем ближе к единице αтурб. Для Re > 104 с достаточной степенью точности для технических расчетов можно считать αтурб=1. Различие в значениях α для ламинарного и турбулентного режимов течения жидкости связано с различными профилями скоростей при данных режимах (рис. 5.2). При ламинарном течении жидкости uср=0,5 umах, а при турбулентном – uср=(0,8…0,95) umах [2, с.55-57; 7, с. 46], поэтому такое различие в значениях α. Следует отметить, что для ламинарного режима величину α можно получить теоретически, используя уравнения параболы и кинетической энергии.

При движении вязкой жидкости, в отличие от идеальной, из-за неравномерного распределения скоростей происходит относительное скольжение слоев или частиц жидкости. Кроме того, во многих случаях происходит вихреобразование и перемешивание жидкости. Все это требует затрат энергии. Поэтому часть энергии, которым обладает поток жидкости, расходуется на преодоление гидравлических сопротивлений и, следовательно, полная энергия потока уменьшается в направлении движения. Строго говоря, потерь энергии не наблюдается, а происходит преобразование части энергии потока в тепловую энергию, которая потом рассеивается в окружающем пространстве. Это преобразование является безвозвратным, поэтому и используется термин «потери полной энергии потока или полного напора».

Рассмотрим два сечения потока вязкой жидкости 1-1 и 2-2 (рис. 5.3), полные напоры в этих сечениях равны Нср1 и Нср2. Тогда

 

(5.14)

 

где Σhп – суммарные гидравлические потери полного напора между сечениями1-1 и 2-2.

Используя зависимость для расчета Нср, получим соответствующее уравнение:

(5.15)

 

Полученное уравнение (5.15) является уравнением Бернулли для потока вязкой жидкости. Данное уравнение применимо не только для жидкостей, но и для газов в тех случаях, когда скорость их движения значительно меньше скорости звука [3, с.47].

Графически уравнение Бернулли можно представить соответствующей диаграммой (рис. 5.4). В качестве примера рассмотрим потери напора при течении жидкости по горизонтальному трубопроводу, состоящего из трех участков различного диаметра. В начале трубопровода (сечение А-А) средний полный напор потока равен НсрА. При движении жидкости от сечения А-А к сечению В-В происходит уменьшение полного напора, т.е. линия, характеризующая значение полного напора в любом сечении трубопровода (напорная линия), является падающей. Пьезометрический напор, в отличие от полного, в некоторых случаях может увеличиваться. Например, при внезапном расширении потока и, соответственно, уменьшении скоростного напора hс происходит увеличение пьезометрического напора hпз, т.е. Δhс= u2срА/(2g)- u2срВ/(2g) переходит в пьезометрический напор.

При изменении геодезической высоты потока жидкости происходит изменение геометрического напора hг=z, при этом геометрический напор переходит в пьезометрический напор и обратно. В потерянный напор переходит только пьезометрический напор, причем этот процесс является необратимым:


Уравнение Бернулли применимо не только для жидкостей, но и для газов в тех случаях, когда скорость их движения значительно меньше скорости звука и температура газа по длине не меняется (изотермический процесс)[1, с. 287-290; 3, с.47], т.е. при расчетах вентиляционных воздуховодов, газопроводов низкого давления.

В дальнейшем при проведении анализа физических явлений и процессов, связанных с движению потоков жидкости или газа, будем использовать, как правило, среднюю скорость. Поэтому для упрощения написания формул индекс ср опустим, подразумевая, что буквой u обозначается средняя скорость потока.






Дата добавления: 2014-10-29; просмотров: 1294. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.09 сек.) русская версия | украинская версия