Кручение

 

Кручением называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только крутящий момент.

Деформации кручения возникают, если к прямому брусу в плоскостях, перпендикулярных оси, приложить пары сил. Моменты этих пар будем называть вращающими или скручивающими. Вращающий момент обозначается Т.

Так как на кручение работают валы, обычно имеющие круглое или кольцевое сечение, то рассмотрим кручение круглого цилиндра (рис. 36).

 

Рис. 36

Изготовим из резины (для большей наглядности) прямой круговой цилиндрический брус и жестко защемим один его конец; нанесем на его поверхности сетку линий, состоящую из образующих и окружностей, а затем приложим к свободному концу бруса пару сил, действующую в плоскости, перпендикулярной оси, т. е. подвергнем брус деформации кручения. При этом:

1) ось цилиндра, называемая осью кручения, останется прямолинейной;

2) диаметры окружностей, нанесенных на поверхности цилиндра до деформации, при деформации останутся такими же и расстояние между окружностяминеизменится;

3) образующие цилиндра обратятся в винтовые линии.

Из этого можно заключить, что при кручении круглого цилиндра радиусы окружностей остаются при деформации прямыми. Так как в поперечных сечениях бруса нет продольных сил, то расстояния между сечениями не изменяются.

Деформация кручения цилиндра заключается в повороте поперечных сечений относительно друг друга вокруг оси кручения, причем углы поворота их прямо пропорциональны расстояниям от закрепленного сечения. Угол поворота сечения равен углу закручивания части цилиндра, заключенной между данным сечением и заделкой. Угол j поворота концевого сечения называется полным углом закручивания цилиндра.

Относительным углом закручивания j₀ называется отношение угла закручивания j к расстоянию z от данного сечения до заделки. Если брус длиной l имеет постоянное сечение и на конце нагружен скручивающим моментом (т. е. состоит из одного участка), то

 

j₀=j _z / z =j/ l =const.

 

Рассматривая тонкий слой материала на поверхности бруса, ограниченный любой ячейкой сетки (например, ячейкой kncd на рис. 36), видим, что эта ячейка при деформации перекашивается, принимая положение knc ₁ d ₁. Аналогичную картину мы наблюдали при изучении деформации сдвига.

При кручении также возникает деформация сдвига, но не за счет поступательного, а в результате вращательного движения одного поперечного сечения относительно другого. Следовательно, при кручении в поперечных сечениях возникают только касательные внутренние силы, образующие крутящий момент.

Крутящий момент есть результирующий момент относительно оси бруса внутренних касательных сил, действующих в поперечном сечении.

Распределения крутящих моментов вдоль оси бруса производится по эпюрам крутящих моментов. Крутящий момент в любом поперечном сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных к брусу справа или слева от сечения.

Эпюры крутящих моментов дают возможность определить опасное сечение. В частности, если брус имеет постоянное поперечное сечение, то опасными будут сечения на участке, где возникает наибольший крутящий момент.

Крутящий момент полагаем положительным, если при взгляде со стороны сечения результирующий момент внешних пар, приложенных к рассматриваемой части бруса, будет направлен против часовой стрелки, и наоборот.

Зная, что при кручении происходит деформация сдвига, естественно считать, что в точках поперечного сечения бруса возникают только касательные напряжения t, перпендикулярные радиусу, соединяющему эти точки с осью кручения.

На рис. 36 видно, что абсолютный сдвиг сечения волокна а равен дуге аа ₁, а сечения волокна b – дуге bb ₁:

 

, ,

 

где j – полный угол закручивания, рад; r – радиус цилиндра; r – расстояние от волокна b до оси кручения. Так как радиусы сечения при кручении остаются прямыми, то величина абсолютного сдвига сечения волокон прямо пропорциональна их расстоянию от оси кручения.

Относительный сдвиг сечения волокна b

 

g_r=rj/ l =j₀r.

 

Применим формулу закона Гука при сдвиге:

t_r= G g_r= G j₀r.

 

На оси кручения касательные напряжения равны нулю. Касательные напряжения достигают максимального значения у волокон, наиболее удаленных от оси кручения:

 

t_max= G j₀ r.

 

Так как относительный угол закручивания j₀ – величина постоянная для данного цилиндрического бруса, то касательные напряжения при кручении прямо пропорциональны расстоянию от точек сечения до оси кручения. Эпюра распределения напряжений вдоль радиуса сечения имеет вид треугольника (рис. 37).

Если брус состоит из одного участка, т. е. имеет постоянное сечение и постоянный по длине участка крутящий момент, то касательные напряжения в данном волокне будут по всей длине цилиндра одинаковы.

Рассмотрим сечение бруса, изображенного на рис. 36, поперечной плоскостью, находящейся на расстоянии z от заделки (рис. 37). Выделим в сечении бесконечно малую площадку d A на расстоянии r от оси кручения. Сила d Q, действующая на эту площадку, перпендикулярна радиусу и равна

 

d Q =t_rd A.

Рис. 37

Момент внутренних сил относительно оси кручения, т.е. крутящий момент:   где Ip – полярный момент сечения (измеряется в м4), откуда найдем относительный угол закручивания:

j₀= T /(GI_p), рад/м.

 

Полный угол закручивания цилиндра длиной l:

 

j= Tl /(GI_p), рад.

 

Произведение GI_p, стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при кручении.

Полный угол закручивания цилиндра прямо пропорционален крутящему моменту, длине цилиндра и обратно пропорционален жесткости сечения при кручении.

Так как при выводе последней формулы мы применяли закон Гука, она справедлива в пределах, когда нагрузка и деформация прямо пропорциональны.

Для цилиндрического бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами поперечного сечения, значением крутящего момента, полный угол закручивания равен алгебраической сумме углов закручивания отдельных участков:

 

j=Sj _i.

 

Формулу для определения напряжений можно записать в виде

 

t_r= G j₀r= GT r/(GI_p)= T r/ I_p.

 

При r= r напряжения достигнут максимального значения

 

t_max= Tr / I_p. = T /(I_p / r)= T / W_p,

 

где W_p = I_p / r – момент сопротивления сечения кручению (или полярный момент сопротивления), равный отношению полярного момента инерции к радиусу сечения и измеряемый в кубических метрах.

Итак, напряжения и деформации при кручении круглого цилиндра вычисляют по формулам

 

t_max= T / W_p, j= Tl /(GI_p).

Обратим внимание на то, что эти формулы по структуре аналогичны формулам для вычисления напряжений и деформаций при растяжении, сжатии и применимы лишь для участков бруса, имеющих одинаковый материал, постоянные поперечное сечение и крутящий момент.

Из эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что внутренние волокна бруса испытывают небольшие напряжения, поэтому валы иногда делают пустотелыми, чем достигается значительный выигрыш в массе при незначительной потере прочности.

Условие прочности бруса при кручении заключается в том, что наибольшее возникающее в нем касательное напряжение не должно превышать допускаемое. Расчетная формула на прочность при кручении имеет вид t= T / W_p< [t] и читается так: касательное напряжение в опасном сечении не должно превышать допускаемое.

Допускаемое напряжение при кручении выбирают в зависимости от допускаемого напряжения при растяжении, а именно:

для сталей

[t]=(0, 55...0, 6)[s_p];

для чугунов

[t]=(1...1, 2)[s_p].

 

Кроме прочности, к валам предъявляется требование жесткости, заключающееся в том, что угол закручивания 1 м длины вала не должен превышать определенной величины во избежание, например, потери точности ходовых винтов токарно-винторезных станков.

Допускаемый угол закручивания 1 м длины вала задается в градусах и обозначается , расчетная формула на жесткость при кручении имеет вид

.

 

Величины допускаемых углов закручивания зависят от назначения вала; их обычно принимают в следующих пределах:

 

=0, 25...1 град/м.

С помощью полученных расчетных формул выполняют три вида расчетов конструкций на прочность и жесткость при кручении – проектный, проверочный и определение допускаемой нагрузки.

 

28. Изгиб прямого бруса

 

Изгибом называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает изгибающий момент.

Если изгибающий момент будет единственным силовым фактором, действующим в сечении, то такой вид деформации называют чистым изгибом. Деформация чистого изгиба будет, например, иметь место, если к прямому брусу в плоскости, проходящей через ось, приложить две равные по величине и противоположные по знаку пары сил.

На изгиб работают балки, оси, валы и другие детали конструкций. В дальнейшем почти всегда мы будем рассматривать такие брусья, у которых имеется по крайней мере одна плоскость симметрии и плоскость действия нагрузок совпадает с ней. В этом случае деформация изгиба происходит в плоскости действия внешних сил и изгиб называется прямым в отличие от косого изгиба.

Для того чтобы получить представление о деформации изгиба, проведем два опыта:

1. Балку, свободно лежащую на двух опорах, в верхней и нижней частях которой предварительно сделаны пазы и в них помещены точно пригнанные по размеру пазов бруски, подвергнем деформации изгиба (рис. 38). В результате этого бруски, расположенные на выпуклой стороне, выпадут из пазов, а бруски, расположенные на вогнутой стороне, будут зажаты.

2. На боковую поверхность призматического резинового (для большей наглядности) бруса прямоугольного сечения нанесем сетку продольных и поперечных прямых линий и подвергнем этот брус деформации чистого изгиба (рис. 39). В результате можно видеть следующее:

а) поперечные прямые линии останутся при деформации прямыми, но повернутся навстречу друг к другу;

б) продольные прямые линии, а также ось бруса искривятся;

в) сечения бруса расширятся в поперечном направлении на вогнутой стороне и сузятся на выпуклой стороне.

Рис. 38

 

Рис. 39

 

Из описанных опытов можно сделать вывод, что при чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений; волокна, лежащие на выпуклой стороне, растягиваются, лежащие на вогнутой стороне – сжимаются, а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон, которые только искривляются, не изменяя своей длины.

Можно утверждать, что при чистом изгибе в поперечном сечении бруса возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия, неравномерно распределенные по сечению.

Искривление волокон и оси бруса происходит за счет неравномерного распределения нормальных напряжений по поперечному сечению.

Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью. На нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю.

Для определения внутренних силовых факторов при изгибе применим метод сечений, причем изображать балку будем только одной линией – осью, к которой приложены активные и реактивные силы. Рассмотрим два случая:

1. К балке приложены две равные и противоположные по знаку пары сил (рис. 40).

Рис. 40

 

Рассматривая равновесие части балки, расположенной слева или справа от сечения 1–1, видим, что во всех поперечных сечениях возникает только изгибающий момент М_и, равный внешнему моменту. Таким образом, рассматриваемый случай есть случай чистого изгиба.

Изгибающий момент есть результирующий момент относительно нейтральной оси внутренних нормальных сил, действующих в поперечном сечении балки.

Обратим внимание на то, что изгибающий момент имеет разное направление для левой и правой частей балки. Это говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака изгибающего момента.

2. К балке приложены активные и реактивные силы, перпендикулярные оси (рис. 41).

Рис. 41

Рассматривая равновесие частей балки, расположенных слева и справа, видим, что в поперечных сечениях должны действовать изгибающий момент М и поперечная сила Q. Из этого следует, что в рассматриваемом случае в точках поперечных сечений действуют не только нормальные напряжения, соответствующие изгибающему моменту, но и касательные, соответствующие поперечной силе.

Поперечная сила есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки.

Обратим внимание на то, что поперечная сила имеет противоположное направление для левой и правой частей балки, что говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака поперечной силы.

Изгиб, при котором в поперечном сечении балки действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным.

Нетрудно видеть, что в общем случае при поперечном изгибе изгибающий момент и поперечная сила в разных сечениях могут иметь неодинаковое значение.

У балки, находящейся в равновесии под действием плоской системы сил, алгебраическая сумма моментов всех активных и реактивных сил относительно любой точки равна нулю; следовательно, сумма моментов внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на балку правее сечения.

Таким образом, изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения.

У балки, находящейся в равновесии под действием плоской системы сил, перпендикулярных оси (т. е. системы параллельных сил), алгебраическая сумма всех внешних сил равна нулю; следовательно, сумма внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна сумме сил, действующих на балку правее сечения.

Таким образом, поперечная сила в сечении балки численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения.

 

Так как правила знаков статики неприемлемы для установления знаков изгибающего момента и поперечной силы, установим для них другие правила знаков, а именно:

– если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент в сечении считается положительным, и наоборот, если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вверх, то изгибающий момент в сечении считается отрицательным (рис. 42);

– если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, дает равнодействующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, если равнодействующая направлена вниз, то поперечная сила в сечении считается отрицательной; для части балки, расположенной справа от сечения, знаки поперечной силы будут противоположными (рис. 43).

 

Рис. 42	Рис. 43

 

Пользуясь этими правилами, следует мысленно представлять себе сечение балки жестко защемленным, а связи отброшенными и замененными реакциями.

Подчеркнем, что для определения опорных реакций пользуются правилами знаков статики; для определения знаков изгибающего момента и поперечной силы – правилами знаков сопротивления материалов.

Правило знаков для изгибающих моментов иногда называют «правилом дождя» (имея в виду, что в случае выпуклости вниз образуется воронка, в которой задержится дождевая вода, и наоборот).

Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки существуют дифференциальные зависимости, основанные на теореме Журавского. Эта теорема формулируется так: поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения балки:

.

 

Если уравнение изгибающих моментов (для участков с равномерно распределенной нагрузкой) продифференцировать вторично, то получим

,

 

т. е. вторая производная от изгибающего момента или первая производная от поперечной силы по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки.

По знаку второй производной функции можно судить о выпуклости или вогнутости кривой; соответствующее правило используется при построении эпюр.

В поперечных сечениях балки при чистом изгибе возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия. Вопрос о распределении этих напряжений по поперечному сечению решается путем рассмотрения деформаций волокон балки.

Применив закон Гука при растяжении и сжатии s =Е e, получим

 

s =Еу/ r.

 

Нормальные напряжения при изгибе распределены по высоте сечения неравномерно: максимальные напряжения возникают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси. По ширине

 

Рис. 44

сечения нормальные напряжения не меняются. На рис. 44 изображен закон распределения нормальных напряжений. Изогнутая ось балки постоянного сечения представляет собой дугу окружности. Максимальное значение нормальные напряжения будут иметь у волокон, наиболее удаленных от нейтральной оси:

,

 

где W = I/y _max – момент сопротивления сечения изгибу (или осевой момент сопротивления).

Момент сопротивления изгибу есть отношение осевого момента инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленного волокна.

Единица момента сопротивления сечения изгибу [ W ]=м³. Итак, наибольшие нормальные напряжения при чистом изгибе вычисляем по формуле

s= M / W.

 

Эта формула по структуре аналогична формулам для вычисления напряжений при растяжении, сжатии, сдвиге и кручении.

Условие прочности балки при изгибе заключается в том, что максимальное нормальное напряжение в опасном сечении не должно превышать допускаемое.

Полагая, что гипотеза о ненадавливании волокон справедлива не только при чистом, но и при поперечном изгибе, мы можем нормальные напряжения в поперечном сечении вычислять при поперечном изгибе по той же формуле, что и при чистом изгибе.

Расчетная формула на прочность при изгибе имеет вид

 

s= M _max/ W < [s]

 

и читается так: нормальное напряжение в опасном сечении не должно превышать допускаемое. Допускаемое нормальное напряжение при изгибе выбирают таким же, как и при растяжении и сжатии.

Максимальный изгибающий момент определяют из эпюр изгибающих моментов или расчетом.

Так как момент сопротивления изгибу W в расчетной формуле стоит в знаменателе, то чем больше W, тем меньше будут расчетные напряжения.

Так как вблизи нейтральной оси материал мало напряжен, то выгодно больше материала располагать дальше от нейтральной оси. Поэтому в машиностроении редко применяют металлические балки прямоугольного сечения, но весьма широко распространены прокатные профильные балки таврового, двутаврового, углового, швеллерного и других сечений. Моменты инерции, моменты сопротивления и другие характеристики прокатных фасонных профилей стандартных размеров даются в таблицах ГОСТа.

Для балок, материал которых неодинаково работает на растяжение и сжатие (например, чугун), целесообразно применять профили, не симметричные относительно нейтральной оси, например тавровый или П-образный. Так как у несимметричного профиля при изгибе возникают неодинаковые напряжения растяжения и сжатия, то сечение, например, чугунной балки выгодно располагать так, чтобы меньшие напряжения были в зоне растянутых, а большие – в зоне сжатых волокон.