Пример решения задачи К 2
Плоский механизм (рис.3 а) состоит из стержней 1, 2, 3 и ползунов , , соединенных друг с другом и с неподвижной опорой шарнирами. Определить скорости ползунов , , угловую скорость звена , ускорение точки и угловое ускорение звена .
Рис.3 а Дано: м, м, .
, , , , , 1/с, 1/с2.
Определить: , , , , .
Решение 1. Строим схему механизма в выбранном масштабе с соблюдением заданных значений углов (рис.3 б).
Рис.3 б 2. Определяем типы движения тел. Стержень совершает вращательное движение; стержни и – плоско-параллельное, ползуны и – поступательное движение. 3. Определяем скорости точек звеньев. Определяем скорость точки , принадлежащей стержню .
м/с,
Изображаем вектор на схеме механизма. Определяем скорость точки , принадлежащей стержню . Точка одновременно принадлежит ползуну , поэтому направление известно – вдоль направляющих. Применим теорему о проекциях скоростей двух точек твердого тела
, откуда
м/с
Определяем скорость точки Д. Направление неизвестно, поэтому необходимо воспользоваться мгновенным центром скоростей (МЦС). Строим МЦС стержня 3, который находится в точке на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей ,
; ;
Треугольник - равносторонний, следовательно,
1/с
Из м
м/с
Так как , то вектор направлен по линии в сторону вращения . Определяем скорость точки Е. Точка принадлежит стержню и одновременно ползуну , поэтому направление известно – вдоль направляющих. Применим теорему о проекциях скоростей двух точек твердого тела
, откуда
м/с
Определяем . Угловая скорость стержня равна угловой скорости радиуса относительно мгновенного центра ; треугольник - равнобедренный
м; 1/с
Определяем ускорение точки , принадлежащей стержню
м/с2;
м/с2;
Изобразим векторы , на схеме. 4. Определяем ускорение точки , принадлежащей стержню .
, (1)
Так как точка одновременно принадлежит ползуну , двигающему прямолинейно, то , - направлено вдоль направляющих. , - найдены ранее; ; , - не известно м/с2,
Покажем векторы , , на схеме (рис. 3в).
Рис. 3 в
Модуль ускорения определим по формуле
Проведем оси , причем ось направим перпендикулярно неизвестному вектору . Запишем уравнение (2) в проекциях на ось . , откуда
м/с2
м/с2,
5. Определим угловое ускорение стержня Запишем уравнение (2) в проекциях на ось
, откуда
м/с2
1/с2
Ответ: м/с, м/с, 1/с, м/с2, 1/с2
2.5. Методические рекомендации к решению задачи Д 1
Задача Д1 на определение закона поступательного прямолинейного движения твердого тела при действии на него системы сил. Задача относится ко второй основной задаче динамики и решается путем интегрирования дифференциального уравнения движения материальной точки (тело при поступательном движении рассматривается как материальная точка).
Последовательность решения задачи
1. Изобразить тело в произвольном промежуточном на траектории положении. 2. Показать все внешние силы, действующие на тело (в т.ч. реакции связей). 3. Провести оси координат. (Во избежание дополнительных затруднений с правилом знаков целесообразно одну ось направить по направлению движения тела). 4. Записать дифференциальное уравнение движения материальной точки в общем виде, после чего раскрыть правую часть уравнения в соответствии со схемой сил. 5. Решить полученное дифференциальное уравнение.
В задачах данного задания тело движется по двум участкам траектории, на которых на тело действуют различные системы сил. В связи с этим законы движения тела на участках будут различны и решение задачи необходимо разбить на этапы. На первом этапе рассмотреть движение тела на участке , на втором этапе – на участке . При этом необходимо учитывать, что по условию задачи скорость тела в конце первого является начальной для второго участка траектории. Если по условию задачи задано не время движения на участке , а длина этого участка, то в дифференциальном уравнении следует произвести замену переменной на переменную, характеризующую перемещение, например координату .
Пример решения задачи Д1
Груз массой , получив в точке начальную скорость , движется в трубе (Рис 4), расположенной в вертикальной плоскости. На участке на груз, кроме силы тяжести, действуют сила и сила сопротивления среды . С достигнутой на участке скоростью груз в точке переходит на движение по участку . На этом участке на груз кроме силы тяжести действует сила , направленная по линии движения груза (ось ) и сила трения скольжения. Коэффициент трения . Найти закон движения груза на участке .
Дано: кг, м/с, Н, Н, с, , Н Определить: закон движения на участке , т.е.
Рис. 4 Решение
1. Рассмотрим движение груза на участке , считая его материальной точкой. На груз действует: - сила тяжести, - реакция опоры, силы и . Покажем действующие силы на схеме. Проведем ось по направлению движения груза и составим дифференциальное уравнение в проекциях на эту ось.
, (1)
Решим полученное дифференциальное уравнение, методом разделения переменных, предварительно выполнив необходимые преобразования.
Для сокращения записи подставим числовые значения
Разделим переменные и проинтегрируем
;
; (2)
Определим постоянную интегрирования по начальным условиям: , м/с. Подставим эти значения переменных в уравнение (2)
, .
Подставим найденное значение в уравнение (2)
(3)
Преобразуем уравнение (3)
;
(4)
Из равенства логарифмов (4) с одинаковым основанием следует равенство логарифмируемых выражений
;
Скорость в точке при с
м/с (5)
2. Рассмотрим движение груза на участке . На груз действует сила: - сила тяжести, - сила трения, - реакция опоры и заданная сила . Покажем действующие на тело силы на схеме, при этом учтем, что сила трения направлена противоположно движению тела. Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекциях на ось
, (6)
Определим силу трения:
.
Для определения силы запишем дифференциальное уравнение движения груза в проекциях на ось .
Так как при движении тела вдоль оси координата не изменяется (т.е. ), то и, следовательно, . Запишем это равенство в соответствии со схемой сил , откуда ; . Уравнение (6) примет вид
(7).
Разделим переменные в уравнении (7) и проинтегрируем полученное выражение
,
. (8)
Начальные условия для участка : , м/с. Подставим начальные условия в уравнение (8) Учитывая, что и , уравнение (8) примет вид
; (9) Проинтегрируем выражение (9)
, (10)
Из уравнения (10) определяем из начальных условий: , , ; Окончательно уравнение движения груза примет вид:
Ответ: Закон движения груза на участке
2.6. Методические рекомендации к решению задачи Д 2
Рассматриваемая задача на определение кинематических характеристик механической системы при действии на нее системы внешних сил. Для решения задачи целесообразно применить одну из общих теорем системы – теорему об изменении кинетической энергии механической системы
,
где: , - кинетическая энергия системы в начальном и конечном состоянии, - сумма работ внешних сил
Последовательность решения задачи
1. Изобразить схему механической системы, показать действующие на нее внешние силы и направление скоростей тел. 2. Записать математическое выражение теоремы об изменении кинетической энергии механической системы. 3. Вычислить изменение кинетической энергию системы в начальном и конечном состояниях. 4. Вычислить сумму работ внешних сил при перемещении системы. 5. Подставить найденные значения кинетической энергии и работы сил в исходное выражение. Вычислить значение искомой кинематической характеристики.
Краткие теоретические сведения
Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех ее частей , где - кинетическая энергия -той части системы. Кинетическая энергия твердых тел определяется по формулам:
- при поступательном движении тела; - при вращательном движении тела, где - момент инерции тела относительно оси вращения; - при плоско-параллельном движении тела, где - скорость центра масс тела, - момент инерции тела относительно центра .
Работа силы вычисляется по формулам:
, при ;
, при ,
где - угол между направлением вектора силы и направлением перемещения точки приложения силы.
При решении задачи:
· линейные и угловые скорости, входящие в формулы кинетической энергии, необходимо выразить через искомую скорость; · перемещения тел выразить через перемещение, заданное условием задачи.
Пример решения задачи Д2
Механическая система (рис.5) состоит из сплошного катка 1 массой , ступенчатого шкива 2 массой с радиусами , и радиусом инерции , груза 3 массой и блоков 4, 5. К блоку 5 присоединена пружина с коэффициентом жесткости . Система приходит в движение под действием силы , приложенной к катку 1. При этом кроме сил тяжести и упругости пружины действуют сила трения груза 3 (коэффициент трения ) и момент сопротивления вращению шкива 2 - . Определить скорость центра катка при перемещении его на расстояние .
Дано: кг, кг, кг, , м, м, Нм, . м, Н/м, Н
Определить
Решение Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии системы:
(1)
1. Изобразим схему механической системы, покажем все действующие на нее внешние силы (рис. 5). Рис.5
- заданная сила, - сила трения, - сила упругости пружины, , , , - реакции связей, , , - силы тяжести тел, - момент сопротивления.
2. Определим кинетическую энергию системы в начальном и конечном положении. Покажем на схеме линейные и угловые скорости тел:
, , , ,
В начальном положении кинетическая энергия системы равна нулю, так как система в этот момент неподвижна . В конечном положении кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел, составляющих систему
,
где , , -кинетическая энергия тел 1, 2, 3 соответственно. Тело 1 совершает плоско-параллельное движение
, где .
Тело 2 вращается вокруг неподвижной оси
, где .
Тело 3 движется поступательно
.
Выразим скорости тел через искомую
; ;
С учетом полученных выражений кинетическая энергия системы . (2)
4. Вычислим работу внешних сил (силы показаны на схеме). Предварительно выразим перемещения тел через заданное . Учтем, что соотношения между перемещениями тел такие же, как между соответствующими скоростями. ; ; ;
Дж
Дж
Дж
Дж
Дж Дж Точки приложения сил , , , не перемещаются
.
На основании найденных значений работ
Дж. (3)
5. Подставим найденные значения (2) и (3) в уравнение (1)
, откуда
м/с
Ответ: м/с
2.7. Методические рекомендации к решению задачи Д3
Задача Д3 – на применение к изучению движения механической системы принципа Даламбера. Принцип заключается в следующем: если к действующим на механическую систему внешним силам присоединить силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной, т.е. , (1) где: - сумма внешних сил, - сумма сил инерции. Применение уравнения (1) упрощает решение задач динамики. По существу, это уравнение эквивалентно уравнению равновесия статики. Как известно (см. /1/, 133…135) сила инерции материальной точки равна . При движении твердых тел с ускорением возникает система распределенных сил инерции. В этом случае систему распределенных сил инерции приводят к главному вектору и главному моменту сил инерции. При поступательном движении: , , где - суммарная масса тела, - ускорение центра масс тела. При вращательном движении: , , где - момент инерции тела относительно оси вращения , - угловое ускорение тела В случае, когда ось вращения проходит через центр масс, и , система сил инерции сводится к одному главному моменту сил инерции При решении задач по приведенным формулам вычисляют модули , , а направления действия, показывают на чертеже.
Пример решения задачи Д3 Однородный стержень длиной , массой прикреплен под углом к вертикальному валу, вращающемуся с постоянной угловой скоростью ω (Рис.6). Вал закреплен в подпятнике и в цилиндрическом подшипнике . Отрезки . Определить реакции связей.
Дано: , , , , . Определить реакции связей и .
Рис.6 Решение Применим для решения задачи принцип Даламбера.
1. Строим расчетную схему. Покажем действующие на механическую систему силы: силу тяжести , реакции связей , , , силы инерции элементов однородного стержня. Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения , где - расстояние элементов стержня от оси вращения. Силы инерции элементов стержня направлены от оси вращения и численно равны
.
Эпюра сил инерции элементов стержня образует треугольник. Полученную систему параллельных сил заменим равнодействующей, равной главному вектору этих сил.
,
где - вектор ускорения центра масс стержня Линия действия равнодействующей должна проходить через центр тяжести эпюры распределенной системы сил инерции. Таким образом, равнодействующая сил инерции стержня численно равна
Вектор силы приложен в т. Д, находящейся на расстоянии (2/3) l от точки . Полученная система сил уравновешена. Условия и уравнения равновесия
; (1)
; (2)
; (3)
Решим полученную систему уравнений. Из уравнения (2): . Из уравнения (3): .
Из уравнения (1):
Ответ:
|