Студопедия — Краткая теория. При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая точка тела движется в плоскости
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Краткая теория. При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая точка тела движется в плоскости






 

При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая точка тела движется в плоскости, перпендикулярной оси, по окружности, центр которой лежит на оси. Линейная скорость точки тела v связана с угловой скоростью тела.

, (1)

где r – расстояние от точки тела до оси вращения.

Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий всех частиц тела:

, (2)

где - элементарные массы, на которые мысленно разбито тело. Подставляя скорость vi из формулы (1) в (2), получим

(3)

Величина (4)

называется моментом инерции тела. Момент инерции характеризует распределение массы в твердом теле относительно оси вращения и является мерой инертности вращающегося тела.

Выражение для кинетической энергии вращающегося тела вокруг неподвижной оси, исходя из формул (3) и (4), выглядит следующим образом:

 
 


.

Для вычисления моментов инерции различных тел массу в формуле (4) выражают через плотность тела: = ρ Δ Vi, где Δ Vi – элементарный объем тела, и переходят к пределу Δ Vi → 0. Тогда получим

. (6)

 

Теорема Штейнера устанавливает связь между моментом инерции тела Iс относительно оси, проходящей через центр инерции, и моментом инерции I этого тела относительно другой оси, параллельной первой.

,

где m – масса тела, а – расстояние между осями.

В настоящей работе измеряется момент инерции различных тел с помощью крутильного маятника. Этот маятник состоит из горизонтально расположенного поворотного стола, на котором могут закрепляться различные тела. На оси поворотного стола закреплен шкив радиусом R, с помощью которого столу может сообщаться вращательное движение. Через шкив перекинута нить, к концам которой прикреплены две пружины (рис. 1) c коэффициентами жесткости k 1 и k 2.

Рис. 1. Крутильный маятник

В положении равновесия силы натяжения нити по разные стороны от шкива одинаковы и равны упругим силам, которые согласно закону Гука

(F упр ) 0 = k 1 x 01 = k 2 x 02, (8)

где x01 и x02 - величины растяжения пружин.

При отклонении от положения равновесия поворотный стол совершает колебания под действием сил упругости двух пружин. Величина деформации одной пружины x1 = x01 + х, где х – отклонение от равновесного положения. Если нить нерастяжимая, то величина деформации другой пружины

х2 = х 02 – х.

Запишем выражение для потенциальной энергии деформации пружин следующим образом:

(x 01 + x)2 (9)

(x 02 - x)2 (10)

Если пренебрегать силами трения, то согласно закону сохранения механической энергии, полная механическая энергия, т. е. сумма кинетических и потенциальных энергий,

 

(x 01 + x)2 + (x 02 - x)2 (11)

 

не зависит от времени. Значит, .

Вычисляя производную от выражения (11) по времени, получим

(12)

Если нить не проскальзывает по шкиву поворотного стола, то

х = R j,

где j - угол поворота стола от положения равновесия; . Учитывая условие равновесия (8) и определение угловой скорости получим из уравнения (12)

(13)

 

Обозначим и

– суммарный коэффициент жесткости двух пружин. Тогда уравнение (13) принимает вид дифференциального уравнения гармонических колебаний

. (14)

Решение этого уравнения:

j(t) = A cos(ω о t + α), (15)

 

где А – амплитуда колебаний, ω о - циклическая частота колебаний,

α - начальная фаза колебаний.

Период колебаний

(16)

.

 

В данной работе находится момент инерции. Из формулы (16) следует

. ( 1 7)







Дата добавления: 2014-10-29; просмотров: 722. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Различие эмпиризма и рационализма Родоначальником эмпиризма стал английский философ Ф. Бэкон. Основной тезис эмпиризма гласит: в разуме нет ничего такого...

Индекс гингивита (PMA) (Schour, Massler, 1948) Для оценки тяжести гингивита (а в последующем и ре­гистрации динамики процесса) используют папиллярно-маргинально-альвеолярный индекс (РМА)...

Методика исследования периферических лимфатических узлов. Исследование периферических лимфатических узлов производится с помощью осмотра и пальпации...

Классификация и основные элементы конструкций теплового оборудования Многообразие способов тепловой обработки продуктов предопределяет широкую номенклатуру тепловых аппаратов...

Именные части речи, их общие и отличительные признаки Именные части речи в русском языке — это имя существительное, имя прилагательное, имя числительное, местоимение...

Интуитивное мышление Мышление — это пси­хический процесс, обеспечивающий познание сущности предме­тов и явлений и самого субъекта...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия