Студопедия — методом наименьших квадратов
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

методом наименьших квадратов






Зависимость измеряемой величины у от условий опыта х может быть найдена графически, если нанести значения х и у на миллиметровую бумагу и построить плавную кривую так, чтобы точки равномерно распределились по обе стороны кривой

(рис. 1). Задача состоит в том, чтобы по результатам опытов построить такую кривую у = f(x), относительно которой разброс (отклонения) экспериментальных точек был бы минимальным.

Tеория вероятности показывает, что наилучшее приближение к истинной зависимости у = f(x) дает кривая, построенная методом наименьших квадратов. В этом случае сумма квадратов отклонений экспериментальных значений уi от кривой у = f(x) будет минимальна. Отсюда и происходит название данного метода обработки результатов эксперимента.

1. Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для случая, когда между измеряемыми величинами х и у существует линейная зависимость

. (1)

 

Рис. 1. Метод наименьших квадратов

 

 

Пусть в результате эксперимента получено п различных значений величины уi, соответствующих различным значениям величины хi. Найдем коэффициент b, при котором экспериментальные точки уi будут иметь наименьшие отклонения Δ уi относительно прямой.

Отклонение каждого значения уi от прямой у = bх будет

. (2)

Составим сумму квадратов отклонений:

(3)

Отклонение (разброс) измеренных значений уi от функции у = f(x) будет минимальным, если

(4)

Дифференцирование (3) по переменной b (предположив, что все остальные величины постоянны) с учетом (4) дает

или (5)

Отсюда определяем искомый коэффициент b.

(6)

2. В случае линейной зависимости между величинами х и у, которая аппроксимируется прямой, не проходящей через начало координат,

y = a + bx, (7)

 

 

коэффициенты а и b могут быть вычислены по формулам

 

 

       
   
 


(8)

 

Пример: предположим, что мы провели эксперимент и получили данные, которые занесли в табл. 1.

 

Таблица 1

Номер измерения i          
xi 1, 0 1, 9 3, 1 4, 0 4, 9  
yi 1, 6 2, 5 3, 0 3, 7 4, 6

Для упрощения расчетов составим вспомогательную таблицу и заполним ее.

 

 

Таблица 2

Номер измерения i xi yi xi уi xi 2
  1, 0 1, 6 1, 6 1, 0
  1, 9 2, 5 4, 75 3, 61
  3, 1 3, 0 9, 3 9, 61
  4, 0 3, 7 14, 8 16, 0
  4, 9 4, 6 22, 54 24, 01
Σ 14, 9 15, 4 52, 99 54, 23

 

 

Рассчитаем коэффициенты а и b

     
 
 
 

 


Таким образом, уравнение прямой будет выглядеть следующим образом: у = 0, 928 + 0, 722 х.

Для построения отрезка прямой линии найдем две точки,

у 1= 0, 928. Вторую точку получим, подставив в уравнение прямой значение х, равное, например, 5.

у 2 = 0, 928 + 0, 722 5 = 4, 538.

На листе миллиметровой бумаги проведем оси координат, причем ось у проведем вертикально, а ось х – горизонтально.

 

 

Рис. 2

Выберем и нанесем на оси координат масштаб так, чтобы наши экспериментальные точки располагались на графике наилучшим образом – занимали на графике максимальную площадь. Нанесем на график экспериментальные точки и две точки у 1и у 2, рассчитанные нами (рис. 2). Для обозначения экспериментальных и «теоретических» точек используем разные обозначения (кружки, крестики, треугольники и т. п.).

Через две «теоретических» точки проведем отрезок прямой линии. При правильных расчетах линия пройдет на графике наилучшим образом, так, что экспериментальные точки будут располагаться справа и слева от прямой. Все построения желательно делать карандашом.

 

 

Список рекомендуемой литературы

 

1. Братухин Ю. К. Обработка результатов измерений: учеб. пособие / Ю.К.Братухин, Г.Ф.Путин, – Пермь.: Изд-во Перм. гос. ун-та, 1988.– 44 с.

2. Колесниченко В.И. Обработка и представление результатов эксперимента. / В.И.Колесниченко – Пермь; – Перм.. гос. техн. ун-т, 2000. – 74 с.

 

3. Сборник методических рекомендаций к лабораторным работам по физике. 1. Механика: учеб.пособие / под ред. В.М. Коровина, – Перм. гос. ун-т. – Пермь, 1997.- 87 с.

4. Зайдель А.Н. Ошибки измерений физических величин: учеб. пособие / А.Н.Зайдель. – Л.: Наука, 1985.– 108 с.

5. Общий физический практикум. Механика / Под ред. А.Н. Матвеева, Д.Ф. Киселева. – М.: Изд-во МГУ, 1991.– 272 с.

6. Савельев И. В. Курс физики. Т. 1. Механика: учеб. пособие / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1989.– 496с.

7. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.1.: учеб. пособие / Д.В.Сивухин. – М.: Наука, 1989.– 576 с.

8. Общая физика. Ч.2. Молекулярная физика и термодинамика: учеб. пособие / под ред. Ю.Л. Райхера, Перм. политехн. ин-т. – Пермь, 1998. – 81с.

Содержание

Основные правила работы в лабораториях кафедры прикладной

физики……………………………………………………………………3

Введение в обработку результатов измерений… ………………….....6

Лабораторная работа № 1. Статистика времени реакции человека….16

Лабораторная работа № 2. Определение плотности твердого тела….19

Лабораторная работа № 3. Измерение ускорения свободного

падения с помощью машины Атвуда…………………………………23

Лабораторная работа № 4. Маятник Обербека……………………….32

Лабораторная работа № 5. Физический маятник…………………….44

Лабораторная работа № 6. Определение момента инерции тел

методом колебаний. Теорема Штейнера……………………………..52

Лабораторная работа № 7. Изучение прецессии гироскопа…………63

Лабораторная работа № 8. Определение коэффициента вязкости

жидкости методом Стокса…………………………………………….70

Лабораторная работа № 9. Измерение коэффициента трения………81

Лабораторная работа № 10. Исследование упругих колебаний…… 89

Приложение……………………………………………………………96

Список рекомендуемой литературы……………………………… 100







Дата добавления: 2014-10-29; просмотров: 526. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Предпосылки, условия и движущие силы психического развития Предпосылки –это факторы. Факторы психического развития –это ведущие детерминанты развития чел. К ним относят: среду...

Анализ микросреды предприятия Анализ микросреды направлен на анализ состояния тех со­ставляющих внешней среды, с которыми предприятие нахо­дится в непосредственном взаимодействии...

Типы конфликтных личностей (Дж. Скотт) Дж. Г. Скотт опирается на типологию Р. М. Брансом, но дополняет её. Они убеждены в своей абсолютной правоте и хотят, чтобы...

Различия в философии античности, средневековья и Возрождения ♦Венцом античной философии было: Единое Благо, Мировой Ум, Мировая Душа, Космос...

Характерные черты немецкой классической философии 1. Особое понимание роли философии в истории человечества, в развитии мировой культуры. Классические немецкие философы полагали, что философия призвана быть критической совестью культуры, «душой» культуры. 2. Исследовались не только человеческая...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия