Решение. Пусть даны конечные множества элементов A и B с числом элементов соответственно k1=n(A) и k2=n(B)Пусть даны конечные множества элементов A и B с числом элементов соответственно k 1 =n(A) и k 2 =n(B). Тогда могут быть определены множества X = AÈ B, X 1= AÇ B, X 2= A \ B, X 3= B \ A с числом элементов соответственно k 3= n(AÈ B), k 4= n(AÇ B), k 5= n(A \ B), k 6= n(B \ A).Вэтомслучае справедливо правило суммы (ф. (1)), два следствия из него (ф. (2-3)), а также контрольное соотношение (ф. (4)): 1) n(AÇ B) = n(A)+ n(B)- n(AÈ B), k 4= k 1 + k 2- k 3, (1) 2) n(A\B) = n(A)- n(AÇ B), k 5= k 1- k 4, (2) 3) n(B\A) = n(B)- n(AÇ B), k 6= k 2- k 4, (3) 4) n(AÈ B) = n(A\B)+ n(B\A)+ n(AÇ B), k 3= k 5 + k 6 + k 4. (4) КОНЕЦ ТЕОРИИ. Обозначим через A и B множества студентов группы, факультативно изучавших соответственно математику и информатику с числом элементов, согласно условия, соответственно k 1 =n(A)=13 и k 2 =n(B)=11. Тогда по определению операции объединения множеств X = AÈ B - множество студентов группы, факультативно изучавших математику и/или информатику. Число его элементов, согласно условия, равно k 3 =n(AÈ B)=18. 1) По определению операции пересечения множеств X = AÇ B - множество студентов группы, факультативно изучавших математику и информатику одновременно. Число элементов этого множества, обозначенное через k 4= n(AÇ B), является искомым в пункте 1 вопроса задания. Его мы найдем, по ф.(1) правила суммы (см. краткую теорию). Имеем n(AÇ B) = n(A)+ n(B)- n(AÈ B), k 4= k 1 + k 2- k 3, n(AÇ B) = k 4=13+11-18=6. Ответ: n(AÇ B) = 6, т. е. 6 студентов группы факультативно изучали математику и информатику одновременно. 2) По определению операции вычитания множеств X 2= A \ B - множество студентов группы, факультативно изучавших только математику, но не информатику. Число элементов этого множества, обозначенное через k 5= n(A \ B), является искомым в пункте 2 вопроса задания. Его мы найдем, по ф.(2) следствия правила суммы (см. краткую теорию). Имеем n(A\B) = n(A)- n(AÇ B), k 5= k 1 - k 4, n(A \ B) = k 5=13-6=7. Ответ: n(A\B) = 7, т. е. 7 студентов группы факультативно изучали только математику, но не информатику. 3) По определению операции вычитания множеств X 3= B \ A - множество студентов группы, факультативно изучавших только информатику, но не математику. Число элементов этого множества, обозначенное через k 6= n(B \ A), является искомым в пункте 3 вопроса задания. Его мы найдем, по ф.(3) следствия правила суммы (см. краткую теорию). Имеем n(B \ A) = n(B)- n(AÇ B), k 6= k 2 - k 4, n(B \ A) = k 6=11-6=5. Ответ: n(B \ A) = 5, т. е. 5 студентов группы факультативно изучали только информатику, но не математику. 4) По ф.(4) контрольного соотношения (см. краткую теорию) имеем n(AÈ B) = n(A\B)+ n(B\A)+ n(AÇ B), k 3= k 5 + k 6 + k 4, 18=7+5+6=18. Итак, 18=18. Задание решена верно.
Задание 3. Из пункта K (см. рис. 2) в пункт L ведут k 1 =n(A)=13 непересекающихся дорог, а из пункта L в пункт M - k 2 =n(B)=11 дорог. Сколько существует способов проезда из пункта K в пункт M через пункт L?
ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. Пусть даны конечные множества элементов A ={ a 1, a 2, …, a r} и B ={ b 1, b 2, …, b s} с числом элементов соответственно r=n(A) и s=n(B). Тогда может быть определено множество X = =AÄ B, называемое декартовым произведением множеств A и B в указанном порядке: X = =AÄ B =
Очевидно, в каждой клетке последней прямоугольной таблицы по одной паре элементов множеств A и B, являющиеся, в свою очередь, отдельными элементами множества X = =AÄ B (декартовым произведением множеств A и B). Число элементов последнего множества X = AÄ B, которое мы обозначим n (X)= n (AÄ B) равно числу клеток в последней прямоугольной таблицы размера r строк ´ s столбцов = r s =n(A) n(B). Итак, мы доказали правило произведения: n (AÄ B)= n(A) n(B). (5) КОНЕЦ ТЕОРИИ.
|
