Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ФУНКЦИИ





Функция – одно из важнейших понятий математики.

__________________________________________________________________

Определение 5. Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством X и множеством действительных чисел R, при котором каждому числу множества X соответствует единственное число из множества R.

_____________________________________________________________________________________________

 

Множество X называют областью определения функции.

Функции принято обозначать буквами f, g, h и др.

Если f – функция на множестве X, то действительное число у соответствующее числу х из множества X, часто обозначают f(х) и пишут у= f(х). Переменную х при этом называют аргументом (или независимой переменной), а у – функцией.

Множество чисел вида f(x) для всех х из множества Х называют областью значений функции f.

Часто функции задают с помощью формул y = f(х), указывающих как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции.

Иногда при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается. В таких случаях считают, что областью определения функции является область определения выражения f(x) (множество допустимых значений выражения f(x)).

Кроме формул, функции могут быть заданы:

- при помощи таблицы;

- графически.

Графиком функции у = f(х) с областью определения X является множество таких точек координатной плоскости, которые имеют абсциссу х и ординату f(х) для всех х из множества X.

Не каждое множество точек на координатной плоскости представляет собой график некоторой функции.

Например,

 

 

Линия не является графиком функции.

 

 

Функции могут обладать многими свойствами, одно из которых – монотонность.

__________________________________________________________________

Определение 6. Функция f называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает.

_____________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Определение 7. Функция f называется возрастающей на некото­ром промежутке А, если для любых чисел X1 и Х2 из множества А выполняется условие: х, < х2 => f(x1) < f(х2) (большему значению аргумента соответствует большее значение функции).

_____________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Определение 8. Функция f называется убывающей на некотором промежутке А, если для любых чисел x1, х2 из множества А вы­полняется условие: x1 < х2 = f(x1) > f(х2) (большему значению аргу­мента соответствует меньшее значение функции).

____________________________________________________________________________________

Пример 4.

Функция задана аналитически (формулой) у = 2х + 1.

1. Построить график функции, если ее область определена

а) Х = [– 0; 2]; б) Х = {– 2, – 1, 0, 1,…}; в) X = R

2. Исследовать на монотонность

1). Построить график функций:

а) б) в)

2) исследуем функцию на монотонность. Пусть х1 < х2 Þ f(x1)= 2x1 + 2 и f(x2) = 2x2 + 2.

Найдем разность

f(x1) – f(x2)= (2x1 + 2)–( 2x2 + 2) =(2x1 – 2x2)+ 2 – 2 = 2 (x1 – x2)<0, т.к. x1 < x2;

f(x1) – f(x2)<0Þ f(x1) < f(x2)

Получили: x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2), по определению (6) функция у = 2х + 2 возрастающая.

__________________________________________________________________

Определение 9. Прямой пропорциональностью называется функ­ция вида у =kх, где k ¹ 0 и k – действительное число.

_____________________________________________________________________________________________

 

Если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными. В нашем случае ( k ¹ 0), k – коэффициент пропорциональности.

Некоторые свойства прямой пропорциональной зависимости.

1. Областью определения и областью значений функции является множество действительных чисел.

2. Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат.

 

3. При k > 0 функция возрастает на всей области определения, при k < 0 – убывает на всей области определения.

4.Если f – прямая пропорциональность и 1 у1), (х2, у2) – пары соответственных значений переменных х и у, причем х1 ¹ 0, то . Если х > 0 и у > 0, то основное свойство прямой пропорциональной зависимости можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

__________________________________________________________________

Определение 10. Обратной пропорциональностью называет функция вида у = , где к – не равное нулю действительное число.

_____________________________________________________________________________________________

 

Если произведение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то эти величины называют обратно пропорциональными.

В нашем случае х × у = k(k¹ 0), k – коэффициент пропорциональности.

Некоторые свойства обратной пропорциональной зависимости

1. Областью определения и областью значений функции множество действительных чисел, отличных от нуля.

2. Графиком функции является гипербола.

 

3. При k > 0 – функция убывающая на всей области определения, при k < 0 – функция возрастающая на всей области определения.

4. Если f – обратная пропорциональность и 1, у1), (х2, у2) - пары соответственных значений переменных х и у, то . Если х > 0 и у > 0, то основное свойство обратной пропорциональной зависимости, сформулировать можно так: с увеличением (уменьшением) значения аргумента х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

___________________________________________________________________

Определение 11. Функция, которая может быть задана при помо­щи формулы у = kх + с, называется линейной, k ¹ 0.

______________________________________________________________________________________________

 

Некоторые ее свойства:

1. Областью определения и областью значений функции является множество действительных чисел.

2. Графиком является прямая, пересекающая ось ОY в точке с ординатой с.

3. При k > 0 функция возрастает на всей области определения, при k < 0 – убывает на всей области определения.






Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 180. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.13 сек.) русская версия | украинская версия