Задачи для самостоятельного решения. 4.1. В течение года фирмы А, В, С, независимо друг от друга, могут обанкротиться с вероятностями 0,06; 0,09 и 0,05 соответственно

 

4.1. В течение года фирмы А, В, С, независимо друг от друга, могут обанкротиться с вероятностями 0, 06; 0, 09 и 0, 05 соответственно. Найти вероятности того, что к концу года: 1) все три фирмы будут функционировать; 2) все три фирмы обанкротятся; 3) только одна фирма обанкротится; 4) только две фирмы обанкротятся; 5) хотя бы одна фирма обанкротится.

Ответ: .

 

4.2. Пусть вероятность того, что в секции магазина по продаже мужской обуви очередной будет продана пара обуви 44-го размера, равна 0, 12, 45-го — 0, 04, 46-го или большего — 0, 01. Найти вероятность того, что очередной будет продана пара мужской обуви не менее 44-го размера.

Ответ:

 

4.3. Студент выучил к зачету 15 вопросов из 20. Ему по одному предлагают три вопроса. Найти вероятность того, что только на третий из них он не дает ответа.

Ответ: .

 

4.4. Для рабочего из маршрутов трамвая № 1, 2, 4, 7 попутными являются маршруты № 1 и 4. Вычислить вероятность того, что к остановке первым подойдет трамвай маршрута попутного для него номера, если по линиям маршрутов № 1, 2, 4, 7 курсируют соответственно 12, 4, 10, 14 поездов.

Ответ:

 

4.5. Два охотника стреляют в волка. Для первого охотника вероятность попадания в цель 0, 7, для второго — 0, 8. Определить вероятность попадания в волка, если каждый охотник: 1) делает по одному выстрелу; 2) делает по два выстрела?

Ответ: 1) ; 2)

 

4.6. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0, 95 для первого сигнализатора и 0, 9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только один сигнализатор; б) хотя бы один сигнализатор.

Ответ: а) ; б)

 

4.7. Для компании, занимающейся строительством терминалов для аэропортов, вероятность получить контракт в стране А равна 0, 4, вероятность выиграть его в стране В равна 0, 3. Вероятность того, что контракты будут заключены и в стране А, и в стране В, равна 0, 12. Какова вероятность того, что компания получит контракт: а) хотя бы в одной стране; б) только в одной стране?

Ответ: а) ; б)

 

4.8. Обследовалась группа из 10 000 человек в возрасте свыше 60 лет. Оказалось, что 4 000 из них постоянно курит. У 1 800 человек из курящих обнаружились серьезные изменения в легких. Среди некурящих серьезные изменения в легких имели 1 500 человек. Являются ли курение и наличие серьезных изменений в легких независимыми событиями? (Ответ дать, проверив выполнение равенства , где событие А – человек курит, событие В – человек имеет серьезные изменения в легких.

Ответ: ; равенство неверно.

 

4.9. Вероятности успешной сдачи сессии у студентов Иванова и Петрова равны соответственно 0, 95 и 0, 9. Найти вероятности следующих событий:

а) оба студент успешно сдадут сессию;

б) Иванов сдаст сессию успешно, а Петров не сдаст;

в) только один из студентов сдаст сессию успешно.

Предполагается, что Иванов и Петров независимо друг от друга готовятся к сессии.

Ответ: а) ; б) ; в) .

 

4.10. Покупатель может приобрести акции двух компаний А и В. Надежность первой компании оценивается экспертами на уровне 90 %, а второй — 80 %. Чему равна вероятность того, что: а) обе компании в течение года не станут банкротами; б) только одна компания станет банкротом; в) наступит хотя бы одно банкротство?

Ответ: а) ; б) ; в)

 

4.11. В автопробеге участвуют 3 автомобиля. Первый может сойти с маршрута с вероятностью 0, 15, второй – с вероятностью 0, 05, а третий – с вероятностью 0, 1. Определить вероятность того, что к финишу придут: а) только один автомобиль; б) два автомобиля; в) по крайней мере два автомобиля.

Ответ: а) ; б) ; в)

4.12. О двух акциях А и В известно, что они выпущены одной и той же отраслью. Вероятность того, что акция А поднимется завтра в цене, равна 0, 2. Вероятность того, что обе акции А и В поднимутся завтра в цене, равна 0, 12. Предположим, что вы знаете, что акция А поднимется в цене завтра. Чему равна вероятность того, что и акция В завтра поднимется в цене?

Ответ: .

 

4.13. Охотник стреляет в лося с расстояния 100 м и попадает в него с вероятностью 0, 5. Если при первом выстреле попадания нет, то охотник стреляет второй раз, но с расстояния 150 м. Если нет попадания и в этом случае, то охотник стреляет третий раз, причем в момент выстрела расстояние до лося равно 200 м. Считая, что вероятность попадания обратно пропорциональна квадрату расстояния, определить вероятность попадания в лося.

Ответ: .

 

4.14. Из коробки, в которой 8 красных и 12 черных карандашей, трижды наугад извлекают по одному карандашу (без возвращения). Найти вероятность того, что все три раза будут извлечены черные карандаши.

Ответ: .

 

4.15. По данным переписи населения (1891 г.) Англии и Уэльса установлено: темноглазые отцы и темноглазые сыновья (АВ) составляют 5 % обследованных лиц, темноглазые отцы и светлоглазые сыновья — 7, 9 %, светлоглазые отцы и темноглазые сыновья — 8, 9 %, светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья — 78, 2 %. Найти связь между цветом глаз отца и сына.

Ответ:

 

4.16. Статистика, собранная среди студентов одного из вузов, обнаружила следующие факты: 60 % всех студентов занимаются спортом, 40 % участвуют в научной работе на кафедрах и 20 % занимаются спортом и участвуют в научной работе на кафедрах. Корреспондент местной газеты подошел к наудачу выбранному студенту. Найти вероятности следующих событий: А = «студент занимается по крайней мере одним из двух указанных видов деятельности», В =
= «студент занимается только спортом», С = «студент занимается только одним видом деятельности».

Ответ: ; ;

4.17. В фирме 550 работников, 380 из них имеют высшее образование, а 412 — среднее специальное образование, у 357 высшее и среднее специальное образование. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный работник имеет: а) хотя бы одно из этих образований; б) только одно из этих образований; в) работник имеет только среднее специальное образование.

Ответ: а) б) в)

 

4.18. Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи принимают правильное решение независимо друг от друга с вероятностью р, а третий судья для принятия решения бросает монету. Окончательное решение жюри принимает по большинству голосов. Какова вероятность того, что жюри примет правильное решение?

Ответ:

 

4.19. (Продолжение.) Все трое членов жюри принимают независимо друг от друга правильное решение с вероятностью р. Каким должно быть р, чтобы данное жюри принимало правильное решение с большей вероятностью, чем жюри из предыдущей задачи?

Ответ:

 

4.20. (Продолжение.) Первые двое судей из жюри принимают решение так же, как в условии задачи 4.13, а третий судья поступает следующим образом: если двое первых судей принимают одинаковые решения, то он к ним присоединяется, если же решения двух первых судей разные, то третий судья бросает монету. Какова вероятность правильного решения у такого жюри?

Ответ:

 

4.21. За некоторый промежуток времени амеба может погибнуть с вероятностью 1/4, выжить с вероятностью 1/4 и разделиться на две с вероятностью 1/2. В следующий такой же промежуток времени с каждой амебой независимо от «происхождения» происходит то же самое. Сколько амеб и с какими вероятностями могут существовать к концу второго промежутка времени?

Ответ: ; ; ; ; .

 

4.22. Радист посылает вызов корреспонденту до тех пор, пока тот его не услышит, но при этом может послать не более трех вызовов. Вероятность того, что корреспондент примет первый вызов, равна 0, 2, второй — 0, 3, третий — 0, 4. По условиям приема события, состоящие в том, что i -й по счету вызов (i = = 1, 2, 3) услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент вообще услышит радиста.

Ответ: .

 

4.23. Игрок А поочередно играет с игроками В и С по две партии. Игра начинается с игрока В. Вероятности выигрыша первой партии для В и С равна 0, 1 и 0, 2 соответственно; вероятность выигрыша во второй партии для В равна 0, 3, для С равна 0, 4. Определить вероятность того, что: а) первым выиграет В; б) первым выиграет С.

Ответ: а) б)