Розрахункові завдання

Приклади розв’язання задач.

 

Задача № 1

Облігації вартістю 100 тис. грн. випущені на 5 років при номінальній ставці 50%.

Визначити:

Нарощену вартість облігації в кінці строку займу, якщо наращення відсотків відбувається раз на рік, на півріччя, на квартал. Проаналізуйте дохідність варіантів нарощення з позиції держателя та емітента облігації.

2. ефективні відсоткові ставки за варіантами нарахування;

3. нарощені вартості облігації за ефективними відсотковими ставками за варіантами нарахування.

 

Розв’язання:

1. Нарощені вартості облігації з відсоткової ставки за варіантами дорівнюють:

А) при щорічному нарахуванні відсотків;

S₁=100 (1+0, 5)⁵= 100*7, 594=759, 4 тис. грн.

Б) при піврічному нарахуванні відсотків;

S₂=100 (1+(0, 5/2))^5*2= 100*9, 313=931, 3 тис. грн.

В) при квартальному нарахуванні відсотків;

S₃=100 (1+(0, 5/4))^5*4= 100*10, 545=1054, 5 тис. грн.

2. Ефективне відсоткові ставки за варіантами нарахування дорівнюють:

А) при щорічному нарахуванні відсотків;

i₁=0, 5, або 50% річних;

б) при піврічному нарахуванні відсотків;

i₂=(1+(0, 5/2))²-1=0, 5625, або 56, 25% річних;

В) при квартальному нарахуванні відсотків;

i₃=(1+(0, 5/4))⁴-1=0, 6018, або 60, 18% річних.

3. Нарощені вартості облігації за ефективними відсотковими ставками розраховують:

I_сл=(1+j/m)^m –1, де

I_сл—наращена вартість;

j/m—регулятивно-відсоткова ставка;

m—кількість періодів нарахування відсотків.

А) при щорічному нарахуванні відсотків;

S₁=100 (1+0, 5)⁵= 100*7, 594=759, 4 тис. грн.

Б) при піврічному нарахуванні відсотків;

S₂=100 (1+0, 5625)⁵= 100*9, 313=931, 3 тис. грн.

В) при квартальному нарахуванні відсотків;

S₃=100 (1+0, 6018)⁵= 100*10, 545=1054, 5 тис. грн.

Висновок: Для кредиторів (держателей облігацій) більш привабливе нарощення вартості за відсотковою ставкою з квартальним нарахуванням відсотків, а для позичальника (емітента облігацій) – більш привабливе за річною відсотковою ставкою.

 

Задача № 2

Державні короткострокові облігації номіналом 5 грн. та строком обернення 160 днів були куплені в момент їх випуску по курсу 99%. Визначте дохідність куплених облігацій для розрахункової кількості днів у році = 366.

 

Розв’язання

Розрахунок дохідності короткострокових облігацій, які розміщуються з дисконтом, здійснюється за формулою простих процентів. У цьому випадку формула для визначення прибутковості короткострокового зобов’язання може мати такий вигляд:

(1)

де t — число днів до погашення;

Р1 — ціна купівлі;

N — номінал;

К — курсова вартість;

В — часова база (360 — для звичайних; 365 або 366 — для точних процентів).

Візьмемо номінал облігації за 100%

або 2, 29% річних

Показники, розраховані таким чином, мають два недоліки:

o їх не можна використати для порівняння ефективності проведення короткострокових операцій з іншими видами інвестицій, у тому числі — довгостроковими;

o вони не враховують можливості неодноразового реінвестування отриманих прибутків протягом року за деякими видами короткострокових зобов’язань (наприклад депозитних сертифікатів НБУ, три- або шестимісячних ОВДП тощо).

Для подолання вказаних обмежень використовують більш універсальний показник — ефективна прибутковість (припущення про багаторазове реінвестування більш коректно враховує формула прирощення за складними процентами).

У зв’язку з цим для розрахунку прибутковості короткострокового зобов’язання може бути використана така формула ефективної прибутковості (yield to maturity, YTM):

де t — число днів до погашення;

Р1 — ціна купівлі;

N — номінал;

В — часова база (360 — для звичайних; 365 або 366 — для точних процентів).

або 2, 04% річних.

Висновок: дохідність облігації 2, 04% річних

 

Задача № 3

Банк розглядає доцільність придбання облігації з нульовим купоном номіналом 1000 грн, яка продається за ціною 750 грн і яку буде погашено через два роки. При цьому банк має можливості альтернативного розміщення коштів з дохідністю 14 %.

 

Розв’язання

Розв’язання проведемо двома способами.

1. Розрахуємо теоретичну вартість облігації, прийнявши за ставку дисконтування норму дохідності альтернативного варіанту вкладення коштів, та порівняємо її з поточною ринковою ціною:

v = 1000: (1 + 0, 14)2 = 769, 5 (грн).

Як показав розрахунок, теоретична вартість облігації (769, 5 грн) вища за її поточну ціну (750 грн), що дає підстави розглядати її як вигідний об’єкт інвестування.

2. Обчислимо дохідність облігації:

та порівняємо її з нормою прибутку альтернативного проекту, що дасть можливість вибрати прибутковіший напрям інвестування коштів.

Отже,

Отримане значення дохідності облігації вище, ніж у альтернативному варіанті, на 1, 4 %, тому придбання такого цінного папера слід визнати доцільним.

 

Задача № 4

Визначити доцільність придбання банком дворічної облігації номіналом 1000 грн зі щорічною виплатою купонної ставки 15 %. Облігацію можна придбати за ціною 950 грн; середньоринкова норма дохідності інвестицій становить 17 %.

 

Розв’язання

де k — купонна ставка облігації.

Аналіз можна провести двома способами. Перший спосіб полягає в розрахунку теоретичної вартості на основі дисконтування за середньоринковою нормою дохідності та її порівняння з ринковою ціною цінного паперу.

Другий спосіб передбачає розрахунок очікуваної ставки дохідності облігації (d) як невідомої величини рівняння, за умови, що внутрішня вартість дорівнює ринковій ціні (v = p). Порівняння одержаної ставки дохідності облігації із нормою альтернативної дохідності або середньоринковою ставкою дозволить прийняти обґрунтоване рішення щодо придбання цього виду цінних паперів. Скористаємося цим способом і розрахуємо очікувану ставку дохідності облігації.

Отже, формула — це рівняння з одним невідомим d — дохідністю облігації. Для визначення невідомої величини скористаємося прийомом послідовних ітерацій. Нехай дохідність цінного папера до моменту погашення дорівнює d1 = 18 %, тоді:

Знайдена сума 953 грн. вища за поточну ціну облігації, тому реальна норма дохідності має бути вищою за 18 %. Виконаємо обчислення за умови, що d2 = 20 %:

Сума 923, 2 грн нижча за поточну ціну облігації 950 грн, тому значення невідомої величини d міститься в межах від 18 до 20 % і становить 18, 2 %:

.

Таким чином, дворічна облігація з купоном 15 %, придбана з дисконтом 50 грн, має очікуваний рівень дохідності до моменту погашення 18, 2 %. Оскільки отримане значення перевищує середньоринкову норму дохідності (17 %), то придбання банком такої облігації слід визнати доцільним.

 

Задача № 5

Визначити доцільність придбання банком акцій відкритого акціонерного товариства за ціною 200 грн та щорічною виплатою дивідендів 35 грн, якщо ринкова норма прибутку становить 25 %.

 

Розв’язання

Якщо сума дивідендів, які виплачуються власнику акції, є сталою величиною, то базова модель перетворюється в формулу суми членів нескінченно спадної геометричної прогресії:

де Е — грошовий потік у вигляді дивідендів;

d — ставка дисконтування.

Теоретична вартість такої акції дорівнює:

v = 35: 0, 25 = 140 (грн).

Отже, внутрішня вартість акцій (140 грн) значно нижча в порівнянні з їх ринковою ціною (200 грн), і тому банку не варто купувати ці акції, оскільки їхню ціну завищено.

 

Задача № 6

Визначити доцільність включення до портфеля цінних паперів банку акцій підприємства за умовами попереднього прикладу, якщо щорічний темп приросту дивідендів становить 10 %.

 

Розв’язання

Якщо дивіденди, що виплачуються власникам акцій, постійно та рівномірно зростають, то на внутрішню вартість впливають два чинники: базова величина дивідендів (E) та темпи їх приросту (h). Базова модель (6.2) в цьому випадку матиме вигляд:

Після певних математичних перетворень одержують формулу, відому як модель М. Гордона. Ця модель є справедливою за умови, коли ставка дисконтування вища за темпи приросту дивідендів, тобто за d > h:

Розрахунки показують, що в такому разі придбання акцій за ринковою ціною 200 грн слід визнати вигідним вкладенням коштів, оскільки внутрішня вартість таких цінних паперів (256, 7 грн.) набагато вища за поточний курс.

 

Задача № 7

Банк оголосив, що дивіденди по його акціях за минулий рік становлять 20% річних по звичайних акціях і 20% річних за привілейованими акціями. Визначити суму дивіденду на одну привілейовану акцію номіналом 3000 грн. і одну звичайну акцію номіналом 1000 грн.

 

Розвязання

Сума дивіденду на одну привілейовану акцію:

D_пр = 0, 3 х 3000 грн.

Сума дивіденду на одну звичайну акцію;

Do = 0.2 х 1000 = 200 руб.

 

Задача № 8

Визначити очікуваний дохід від покупки акції номіналом 1000 грн., щорічного отримання дивідендів у розмірі 20% річних і щорічного pocrу вартості на 10% від номіналу, якщо акція буде продана через 5 років, а також прибутковість операції.

 

Розвязання

N = 1000 грн.; F = 0, 2; n = 5 років; Δ P1 = 0.1N.

Величина річних дивідендів за 5 років складе

Д = n * f * N = 5 * 0, 2 * 1000 = 1000 грн.

Вартість акції через 5 років становитиме

Р_а = N + n * Δ P₁ = N+0, l * N * 5 = N (1+ 0, 5) = 1500 грн.

Загальний дохід складе

Д_а = D + P_a - N=1000 + 1500 – 1000 = 1500 грн.

Прибутковість покупки акції у вигляді еквівалентної ставки складних відсотків складе

i_сэ = (ⁿ√ (N + Д_а)/N) – 1 =(⁵√ (1000+1500)/1000) – 1 = 1, 201-1 = 0, 201 = 20, 1%.

 

Задача № 9

АТ зі статутним капіталом 1 млн. грн. має наступну структуру капіталу: 85 звичайних акцій і 15 привілейованих.

Розмір прибутку до розподілу між акціонерами становить 120 тис. грн.

Фіксований дивіденд по привілейованим акціям становить 10%.

Визначити дивіденди для власника звичайної акції.

 

Розвязання

ЧП = 120 000 грн., М₀ = 85, M_пр = 15, УК = 100 000 грн., f = 0, 1.

а) номінал oднієї акції знаходимо як відношення статутного капіталу до загальної кількості акцій

N = УК/(М_о + М_пр) = 1000000 / (85 + 15) = 10 000 грн.

б) виплати по всіх привілейованих акціях;

Д_пр = М_пр * Д₁ =N * 15 *0, 1 = 15000 грн.

в) виплати на одну звичайну акцію;

Д_о = (ЧП –Д_пр)/Мо = (120000-15000)/85 = 1235, 29 грн.

 

Задача № 10

Балансовий прибуток АТ зі статутним капіталом 2 млн. грн., отриманий від виробничої діяльності, склав 10 млн. грн.

Збори акціонерів ухвалили, що прибуток, який залишився після сплати податків слід розподілити так: 20% на розвиток виробництва, 80% на виплату дивідендів.

Визначити курс акцій, якщо банківський відсоток становить 80%, номінал акції -100 грн., ставка податку на прибуток - 21%.

 

Розвязання

УК = 2 000 000 грн., БП = 1 000 000 грн., Двих = 0, 8; i = 0, 8; N = 100 руб; W = 0, 32.

а) визначаємо кількість акцій АТ:

М = УК / N = 2 000 000/100 = 20 000 шт.

б) обчислюємо npибуток після сплати податків:

ЧП = БП (1 - W) = 1 000 000 (1 - 0.21) = 7 900 000 грн.

в) знаходимо величину дивідендів на виплату акціонерам:

D_Σ = ЧП * Двих = 7 900 000 * 0, 8 = 6 120 000 грн.;

г) визначаємо виплату дивідендів на одну акцію:

D₁ = D_Σ /М = 6 120 000/20 000 = 306 грн./акція.

 

Задача № 11

Курс облігацій номіналом 500 грн. складає 75.

Визначити ціну облігації.

 

Розвязання

Р_к= 75; N=500 грн.

Ціна облігації:

Р = (75 * 500) / 100 = 375 грн.

 

Задача №12

Дохід по облігаціях номіналом 1 000 грн. виплачується кожні півроку за ставкою 50% річних.

Обчислити суму доходу по кожній виплаті.

 

Розвязання

N = 1000 грн.; I = 0, 5; n = 0, 5.

Сума доходу по кожній виплаті:

I = Nni = 1000 * 0.5 * 0, 5 = 250 грн.

 

Задача № 13

Облігації номіналом 1000 грн. і з терміном обігу 90 днів продаються за курсом 85.

Визначити суму доходу від купівлі 5 облігацій та прибутковість фінансової операції при розрахунковій кількості днів у році 360.

 

Розвязання

N = 1000 грн.; t = 90 дн.; К = 360; Р_к = 85.

Доход від покупки однієї облігації за умови її погашення складе

Д = N- P_k * N/100 = N(1-P_k/100) = 1000(1-85/100) = 150 грн.

Сума доходу від купівлі 5 облігацій складе

W = 5W₁= 5 * 150 = 750 грн.

Прибутковість облігацій до погашення по еквівалентній ставкці простих відсотків становить

I_э= (N – Р)/Р * К/t = (1000-850) | 850 * 360 | 90 = 150/850 * 4 = 60/85 = 0.706 = 70.6%.

 

Задача № 14

Облігація куплена за курсом 95 і буде погашена через 10 років.

Відсотки по облігації виплачуються в кінці терміну за складною ставкою 5% річних.

Визначити прибутковість придбання облігації.

 

Розвязання

P_к = 95; q = 0; 05; n = 10.

Р = P₁ * N / 100 = 0, 95 N.

Процентний дохід за 10 років становитиме

I = N(1+q)ⁿ – N = N[(1+q)ⁿ – 1] = N[(1+0.05)ⁿ -1] = N[1.05¹⁰ – 1] = 0.629.

Дохід від погашення склав

W_n = N(1-0.01P_k) = N(1 -0.95)= 0.05N

Загальний дохід склав

W = I + W_n = 0.629N + 0.05N = 0.679N

Прибутковість покупки облігації за ефективною ставкою складних відсотків дорівнює

i_сэ = [ⁿ√ (W+N)/N] – 1 = [¹⁰√ (0.679N + N)/N] – 1 = 0.053 = 5.3%.