Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Формат выходных данных





x0 x1 … xk – последовательные приближения решения СНУ;
ε* – вектор невязки f(xk);
||ε*|| – норма вектора невязки.

2.5. Практическая работа №5 «Интерполирование и численное дифференцирование функций»

Обязательных методов
Баллов за обязательные методы
Дополнительных методов
Баллов за дополнительные методы
Количество вариантов

 

Приближение функций – одна из наиболее востребованных областей численных методов. Под приближением понимается замена на интервале [а, b] исходной функции f (x) некоторой другой функцией P(x), близкой (по некоторому критерию) к исходной функции. В общем случае, P(x) является полиномом вида

(2.5.1)

где ci – некоторые действительные константы, а φi(x) – система действительных линейно-независимых функций. Т.е. любая функция этой системы не может быть представлена в виде линейной комбинации других. Например,

φi(x) = sin i (x).

Задача состоит в том, чтобы, выбрав систему функций, найти такие коэффициенты ci, при которых отклонение полинома P(x) от исходной функции удовлетворяло бы выдвигаемым критериям. Исходными данными являются узлы xi, принадлежащие отрезку [а, b] и значения функции в этих узлах yi = f (xi), i = 0, 1, …, m. При этом полином P(x) называют приближающим или аппроксимирующим (от англ. approximate – приблизительный):

f (x) = P(x) + R(x), (2.5.2)

где R(x) – т.н. остаточный член.

В данной практической работе мы будем рассматривать такие полиномы, у которых m = n.

Например, аппроксимирующий полином можно построить, воспользовавшись методом наименьших квадратов (МНК). При этом φi(x) может быть системой любых линейно-независимых функций, а коэффициенты ci ищутся из условия минимального СКО полученного полинома от исходной функции:

(2.5.3)

Картина при этом получается примерно следующая (рис. 2.5.1):

Рис. 2.5.1 – Аппроксимация МНК

Если требуется построить такой полином, чтобы он проходил через все точки (xi, yi), то его называют интерполирующим (от англ. interpolate). Здесь приставка «inter-» имеет смысл «между». Т.е. нас интересует поведение полинома только между точками (xi, yi), т.е. между границами отрезка [а, b]. А критерий близости интерполирующего полинома к исходной функции выглядит как

yi = P(xi). (2.5.4)

При этом обычно x0 = a, xn = b. Для того же набора точек, что и на рисунке выше, получим следующее:

Рис. 2.5.2 – Интерполяция методом Ньютона или Лагранжа

На рисунке изображены полиномы Ньютона и Лагранжа (в сущности, это разные формы одного и того же полинома степени n), которые мы будем изучать в ходе данной практической работы. Как видно, их недостатком является осцилляция при большом количестве точек. Поэтому их область применения лучше ограничивать теми случаями, когда точек немного. В противном случае нужно пользоваться другими интерполирующими и аппроксимирующими полиномами.

Если же нас интересуют значения полинома P(x) за пределами отрезка [а, b], то такой полином называется экстраполирующим (от англ. extrapolate, где приставка «extra-» имеет смысл «сверх», «за пределами»).

Аппроксимация функций необходима в двух случаях.

Во-первых, если исходная функция неизвестна. Т.е. имеется только некоторая сетка {xi} и значения функции в узлах сетки {yi}. В этом случае говорят, что функция задана таблично. Такая ситуация может складываться в любом эксперименте – известно значение искомой характеристики yi только в некоторых точках xi в пространстве ее аргументов RZ, но необходимо иметь возможность найти значения этой характеристики во всех точках некоторого подпространства XZ Ì RZ. Например, зная давления в некоторых точках трубы с газом, можно выдать прогноз давления по всей трубе. Это поможет найти области падения давления (т.е. нарушения герметичности трубы) или, наоборот, области повышенного давления (что может привести к прорыву трубы в будущем) и оперативно отреагировать на внештатную ситуацию. Или, зная несколько координат некоторого космического тела, движущегося в пространстве, можно построить достаточно гладкий интерполирующий полином, который ответит на вопрос, как выглядела траектория тела в те моменты, когда мы тела не наблюдали (например, оно было закрыто другими космическими телами или находилось за горизонтом, т.е. было невидимо из-за вращения Земли). Если использовать экстраполирующий полином, то можно узнать, как вела себя траектория тела до начала наблюдений, и как она будет вести себя в будущем.

Во-вторых, даже если аналитический вид функции известен, она может иметь очень сложный вид. Существуют различные задачи в физике, математике и пр. науках, где вычисление некоторых функций в одной точке пространства аргументов может занимать от нескольких секунд до часов, дней и т.д. В этом случае, если время ограничено, вычисляют значение функции только в нескольких узлах (получая табличную функцию) и проводят аппроксимацию или интерполяцию.

Сетка {xi} при i = 0, 1, …, n имеет n+1 узел. Она может быть равномерной или неравномерной. Если сетка равномерная (т.е. расстояние между ее соседними узлами одинаковое), то все узлы задавать не обязательно. Достаточно знать начальный узел x0 и шаг сетки h:

xi = x0 + ih, i = 0, 1, …, n. (2.5.5)

Если заданы только границы отрезка (точки a и b, или x0 и xn), то из (2.5.5) следует, что xn = x0 + nh, т.е. шаг можно найти по формуле

(2.5.6)

Все вышесказанное можно отнести также и к задачам численного дифференцирования (заметьте, что, говоря об аппроксимации и упомянутых ее разновидностях, мы не употребляем слово «численная», т.к. это в принципе чисто численные методы). Только в этом случае нас интересует не сама функция, а некоторая ее производная. Поэтому будем заменять производную функции (см. 2.5.2) производной аппроксимирующего полинома:

f (k)(x) = (P(x) + R(x))(k) = P(k)(x) + R(k)(x). (2.5.7)

В данной практической работе мы будем находить первую и вторую производные полинома P(x). При этом

(2.5.8)






Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 231. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.006 сек.) русская версия | украинская версия