Кубические сплайны. По аналогии, из (2.6.1) получаем для кубического сплайнаПо аналогии, из (2.6.1) получаем для кубического сплайна
Коэффициенты ищутся следующим образом:
Для коэффициентов bi
или
Неизвестные Mi находятся из решения СЛАУ AM = g, (2.6.12) где
M = (M1, M2, …, Mn–1). Для кубического сплайна можно выбрать любой тип граничных условий (либо по первой, либо по второй производной). Соответственно, во входном файле будут находиться значения первой (A0 и An) или второй (B0 и Bn) производной в первой и последней точке отрезка. Если граничные условия заданы по второй производной, то M0 = B0, Mn = Bn, а остальные неизвестные Mi находятся решением СЛАУ (2.6.12). Если граничные условия заданы по первой производной, то b0 = A0, bn = An. Тогда к системе можно добавить еще два уравнения, используя (2.6.10) при i = 0 и (2.6.11) при i = n, а также перенести в левую часть СЛАУ слагаемые с неизвестными коэффициентами из выражений для g1 и gn–1. Получим модифицированную СЛАУ
где
M = (M0, M1, M2, …, Mn). Трехдиагональные СЛАУ (2.6.12) и (2.6.15) можно решать любым методом решения СЛАУ. Однако, учитывая их структуру, оптимальным будет использование метода прогонки.
|
(2.6.8)
(2.6.9)
(2.6.10)
(2.6.11)
(2.6.13)
(2.6.14)
(2.6.15)
(2.6.16)
(2.6.17)
