| Прямокутна декартова система координат у просторі
|
|
Три взаємно перпендикулярні осі Ох, Оу, Оz, які мають спільний початок точку О і однакову масштабну одиницю, утворюють прямокутну декартову систему координат у просторі.
Осі Ох, Оу, Оz називаються відповідно осями абсцис, ординат і аплікат, точка О — початок системи координат.
Упорядкована трійка чисел (х, у, z), що відповідає точці М простору, називається координатамиточки М у просторі, це позначають М(х, у, z).
Частковим випадком просторової системи координат є система координат на площині, утворена осями Ох і Оу.
Кожній точці М площини відповідає впорядкована пара чисел (x, y), які називаються координатамиточки М на площині, це позначають М(х, у).
|
|
| Види векторів
|
Нульовим векторомназивають вектор, початок і кінець якого співпадають.
Такий вектор позначають  , його довжина дорівнює нулю, а напрям – довільний.
|
|
Рівними називають вектори, які мають однакові довжини та напрямки:  .
| 
|
| Колінеарниминазивають вектори, які розташовані на одній прямій або паралельних прямих.
Колінеарні вектори поділяються на співнапрямлені і протилежно напрямлені.
| 
|
Протилежниминазивають вектори, рівні за модулем, але протилежні за напрямом.
Вектор, протилежний вектору  позначають  .
| 
|
| Проекція вектора на вісь
|
Нехай у просторі задано деяку вісь l і вектор  . Проведемо через точки А і В площини, перпендикулярно до осі l. Позначимо точки перетину цих площин з віссю l відповідно  і  .
Проекцією вектора на вісь l називається довжина  напрямленого відрізка  на осі l.
При цьому  , якщо напрям збігається з напрямом l і  , якщо напрям протилежний напряму l.
Формула для знаходження проекції вектора  на вісь l: прl =  , де  — кут між вектором і віссю.
| 
|
| Координати і довжина вектора у просторі
|
Координатами вектораназиваються проекції вектора на осі координат.
Якщо задати в системі координат точки А (х 1, у 1, z 1) початку вектора та його кінця В (х 2, у 2, z 2), то проекції вектора на кожну з осей мають вигляд:
Ох: ах = х 2 – х 1,
Оу: ау = у 2 – у 1,
Оz: а z = z 2 – z 1.
Таким чином, координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат кінця та початку вектора.
Якщо  - одиничні вектори осей координат, то вектор можна розкласти за цими векторами, тобто подати у вигляді: 
Довжина вектора, заданого координатами, обчислюється за формулою:
| Нехай дано вектор з початком у точці А(2, -3, 0) і кінцем у точці В(1, 1, 2).
Знайдемо координати вектора, віднявши від координат точки В координати точки А.
Одержимо:  (1-2; 1+3; 2-0), звідси (-1; 4; 2).
Даний вектор можна записати таким чином:
Довжина вектора дорівнює:
|
| Напрямні косинуси вектора
|
Нехай задано координати вектора у просторі (ах, ау, аz), який утворює з осями координат кути  тоді справедливими є формули:
ах = | |  , аy = | |  ,
аz = | |  .
Косинуси кутів, утворених векторами з осями координат, називаються напрямними косинусами вектора .
З попередніх формул маємо:
 .
Для напрямних косинусів даного вектора виконується формула:
cos2a + cos2b + cos2g = 1.
|
Знайдемо напрямні косинуси вектора  , якщо відомо:
M (1, 2, 3) і N (3, -4, 6).
Спочатку знайдемо координати даного вектора:
 (3-1; -4-2; 6-3), (2; -6; 3).
Довжина вектора дорівнює:
 Тоді шукані напрямні косинуси дорівнюють:
 ;  ;  .
Перевіримо справедливість формули для напрямних косинусів вектора :
|
| Лінійні операції над векторами
|
Сумоюдвох векторів та  називають вектор  , який сполучає початок вектора з кінцем вектора при умові, що початок вектора вміщено в кінець вектора .
Наведене правило додавання векторів називається правилом трикутника, а його узагальнення для кількох векторів – правилом многокутника.
Існує також правило паралелограма, згідно з яким сумою двох неколінеарних векторів, що виходять з однієї точки, є діагональ паралелограма, побудованого на цих векторах, яка виходить зі спільного початку векторів.
Властивості додавання векторів:
1)  ;
2)  ;
3)  ;
4)  .
Різницюдвох векторів та будують як суму вектора та вектора (- )
Правило знаходження алгебраїчної суми векторів: координати алгебраїчної суми скінченної кількості векторів дорівнюють такій же алгебраїчній сумі відповідних координат цих векторів.
Так, у випадку трьох векторів простору  ,  ,  координати їх алгебраїчної суми  знаходяться за формулою:
=  .
|
Знайдемо суму та різницю векторів  і  .
Нехай  . Тоді, виконавши додавання відповідних координат даних векторів, матимемо:
 ; звідси  .
Аналогічно для знаходження координат вектора різниці  віднімемо відповідні координати даних векторів:  ; звідси маємо  .
|
Добутком вектора на число λ ≠ 0називають вектор  , колінеарний з вектором , що має довжину  та напрям такий самий, як , якщо λ > 0, і протилежний до , якщо λ < 0.
Властивості множення вектора на число (скаляр):
1)  ;
2)  .
Правило множення вектора на число: щоб помноживши вектор  на число λ, потрібно усі координати вектора помноживши на число λ, тобто λ 
| 
Нехай дано вектори  і  . Знайдемо координати вектора  і його довжину.
Скориставшись правилом мно-ження вектора на число одержимо:  ;  .
Знайдемо координати вектора  за правилом віднімання векторів:
 ;  .
Довжина вектора дорівнює:
|
| Скалярний добуток векторів та його застосування
|
Скалярним добуткомдвох ненульових векторів  і  називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними.
Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то кут між векторами не визначений і за означенням скалярний добуток дорівнює нулю.
 , де j - кут між векторами
Використовуючи формулу проекції вектора, можна також записати:
 .
Скалярний добуток двох векторів і  дорівнює сумі добутків їх однойменних координат, тобто 
Властивостіскалярного добутку:
1)  ;
2)  ;
3)  ;
4)  .
З формул для обчислення скалярного добутку випливає:
1. Необхідною і достатньою умовою перпендикулярностідвох ненульових векторів і є рівність нулю їх скалярного добутку, тобто
ах bх + ау bу + аz b z = 0.
2. Кут між двома ненульовими векторами і можна знайти за формулою:
 .
| 1) Вектори  і  утворюють кут  . Знайдемо скалярний добуток цих векторів, якщо відомо, що  , а  .
Обчислимо скалярний добуток за формулою . Тоді  .
2) Знайдемо скалярний добуток векторів  і  .
Підставивши координати векторів у формулу  , матимемо:
Знайдемо кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах  (2; 1; 0) та  (0; -2; 1).
Маємо паралелограм АВСD, де    .
Діагоналі паралелограма АВСD зображені векторами  та  . Знайдемо координати цих векторів:
 (2+0; 1+(-2); 0+1); (2; -1; 1);
 (2-0; 1-(-2); 0-1); (2; 3; -1).
Обчислимо косинус кута  між діагоналями паралелограма:
З рівності  випливає, що  , тобто діагоналі даного паралелограма взаємно перпен-дикулярні.
|
| Векторний добуток векторів та його застосування
|
Векторним добуткомвектора на вектор називається вектор  , для якого виконуються умови:
1) довжина вектора  , де j — кут між двома векторами;
2) вектор  перпендикулярний до кожного з векторів і 
3) вектор спрямований так, що коли дивитися з його кінця на площину, в якій лежать вектори і , то поворот вектора до вектора відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.
Властивостівекторного добутку:
1)  , якщо і - ненульові колінеарні вектори;
2)  ;
3)  ;
4)  .
Знаходження векторного добуткудвох векторів і , заданих у координатній формі, виконується за формулою:
Геометричні застосування векторного добутку:
1. Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і , як на сторонах.
2. Площа трикутника, побудованого на векторах  і  , дорівнює половині модуля векторного добутку даних векторів:
| 
1) Знайдемо векторний добуток векторів  і  .
Використавши формулу розкладу визначника за першим рядком, матимемо:
Таким чином, векторний добуток даних векторів  .
2) Визначимо площу трикутника АВС, заданого вершинами:
А(-1; 4; 0), В(4; 6; 7), С(0; 6; 4).
Знайдемо спочатку координати векторів, що зображають дві сторони трикутника, наприклад:
(4-(-1); 6-4; 7-0); (5; 2; 7);
 (0-(-1); 6-4; 4-0); (1; 2; 4).
Обчислимо площу трикутника, побудованого на векторах = (5; 2; 7) та = (1; 2; 4), як на сторонах.
Знайдемо векторний добуток векторів  і  :
Модуль векторного добутку дорівнює  , тому шукана площа трикутника
 (кв.од.)
|
| Мішаний добуток векторів та його застосування
|
Мішаним добуткомвекторів  називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора на векторний добуток векторів і , тобто  .
Геометричний зміст мішаного добутку: якщо вектори , і  не лежать в одній площині, то модуль їх мішаного добутку дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах.
Знаходження мішаного добуткувекто-рів , і  , заданих у координатній формі, виконується за формулою:
Властивостімішаного добутку:
1)  .
2)  .
Вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині чи паралельні одній площині.
Умова компланарності: три ненульові вектори простору будуть компланарними тоді і тільки тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює нулю:
 .
|
1) Обчислимо об’єм паралеле-піпеда, побудованого на трьох векторах:  ;  ;  .
Знайдемо мішаний добуток даних векторів:
 Отже, об’єм паралелепіпеда дорівнює 14(куб. од.)
2) Перевіримо, чи будуть вектори  ,  ,  компланарними.
Для цього знайдемо мішаний добуток векторів:
 Оскільки мішаний добуток дорівнює нулю, то дані вектори компланарні.
|
| Формули аналітичної геометрії на площині
|
Відстань між двома точками
Нехай задано дві точки:
М 1(х 1, у 1) і М 2(х 2, у 2).
Тоді відстань між даними точками обчислюється, як довжина відрізка, що сполучає ці точки, тобто
| 
Дано координати вершин трикутника:
А (1; 1), В (-5; 4), С (-2; 5).
Знайдемо довжини його сторін за формулою відстані між точками:
 ,  
|
Поділ відрізка у заданому відношенні
Число l називається відношенням, у якому точка М ділить відрізок М 1 М 2, якщо  .
Якщо відоме відношення l і координати точок  і  , невідомі координати точки М (х, у) можна знайти за формулами:
 ;  .
У випадку, якщо дана точка М (х, у) є серединою відрізка М 1 М 2, то l = 1 і формули набирають вигляду:
 .
| 
Дано координати вершин трикутника:
А (4; 1), В (7; 5), С (– 1; 3).
Знайдемо довжину його медіани АМ.
Враховуючи, що точка М – це середина відрізка ВС, її координати:
 .
Довжину медіани знайдемо, підставивши у формулу відстані між точками координати точок А (4; 1) та М (3; 4).
Одержимо:
 .
|
| Завдання для самоперевірки
|
|
1. Дайте означення вектора.
2. Сформулюйте правило виконання додавання векторів, множення вектора на скаляр (аналітично і графічно).
3. Запишіть основні властивості дій над векторами.
4. Запишіть формули для знаходження у просторі:
- координат вектора;
- відстані між точками;
- координат точки, що поділяє відрізок у заданому відношенні.
5. Запишіть формули для знаходження напрямних косинусів даного вектора простору. Яка умова виконується для напрямних косинусів?
6. Дайте означення, вкажіть формулу для обчислення і особливості застосування скалярного, векторного та змішаного добутків.
|
№1. Дано вершини трикутника А (3, 2); В (–1, –1); С (11, –6). Знайдіть довжини сторін трикутника і точку перетину його медіан (у точці перетину медіани трикутника поділяються у відношенні 2: 1, починаючи від вершини).
№2. Знайдіть кут між векторами  і  , якщо
 .
№3. Виконайте перевірку на компланарність векторів  :
 .
№4. Обчисліть площу паралелограма, побудованого на векторах 
№5. Обчисліть об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах  .
|
| Відповіді
|
№1. АВ =5; ВС =13; АС =  ;  .
№2. 180°.
№3.Вектори компланарні.
№4.  кв. од.
№5. 25 куб. од.
|
| Рівняння прямої на площині
|
| Рівняння F (x, y) = 0 називається рівнянням лініїв заданій системі координат, якщо це рівняння задовольняють координати (х, у) будь-якої точки, що лежить на цій лінії, і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на цій лінії.
|
Рівняння прямої із заданим кутовим коефіцієнтом k має вигляд:
у = kx + b,
де k = tg a - тангенс кута нахилу прямої до додатного напряму осі абсцис;  -початкова ордината–значення  при  .
Якщо відомі координати двох точок прямої  і  , то формула для знаходження кутового коефіцієнта має вигляд:  .
| 
Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої АВ, якщо відомо дві точки прямої А (2, – 3) і В (5, 1).
Маємо:  .
|
| Рівняння прямої, що проходить через задану точку М1 (х1, у1) має вигляд:
у – у 1 = k (х – х 1)
| 
|
Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки  і  , має вигляд:  .
| 
Дано вершини трикутника АВС: А (1; -1), В (-5; 2), С (-2; 3). Складемо рівняння його сторони ВС.
Маємо рівняння прямої, що проходить через дві точки В і С:
 ;  ;
 ;  ;
 .
|
Рівняння прямої, що проходить через задану точку  перпендикуляр-но до даного вектора  , має вигляд:
 .
Вектор називається вектором нормалі до даної прямої.
| 
Знайдемо рівняння висоти ВН трикутника АВС:
А (1; -1), В (-5; 2), С (-2; 3).
Оскільки висота ВН перпендикулярна стороні АВ, знайдемо координати вектора  , який є нормальним вектором для прямої ВН:
 ;  .
Підставивши координати точки В і вектора у рівняння  , одержимо:  , або після спрощення  ;  .
|
Рівняння прямої, що проходить через задану точку  паралельно до даного вектора  , має вигляд:  .
Вектор називається напрямним вектором для даної прямої.
| 
Нехай дано трикутник АВС:
А (-3; 6); В (4; -1); С (-3; -5).
Складемо рівняння прямої  , що проходить через вершину А паралельно стороні ВС.
Оскільки пряма паралельна стороні ВС, знайдемо координати вектора  , який є напрямним вектором для прямої :
 ;  .
Підставивши координати точки А і вектора у рівняння  , маємо  , або після спрощення  ;  .
|
Рівняння прямої у відрізках на осях має вигляд:  , де а – абсциса точки на осі О х,  – ордината точки на осі О у, через які проходить пряма.
| 
|
У прямокутній системі координат пряма лінія задається рівнянням першого степеня відносно х і у
Ах + Ву + С = 0,
яке називається загальним рівнянням прямої лінії.
Розглянемо окремі випадки цього рівняння.
1. С = 0, А ¹ 0, В ¹ 0, тоді Ах + Ву = 0 - рівняння визначає пряму, що проходить через початок координат, оскільки точка О (0, 0) лежить на цій прямій.
2. В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0, тоді Ах + С = 0, або  , де а — абсциса точки прямої на осі Ох. Пряма розміщена паралельно осі Оу.
Якщо ж С = 0, то х = 0 - рівняння осі Оу.
3. А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0, тоді Ву + С = 0, або  , де b — ордината точки прямої на осі Оу. Пряма розміщена паралельно осі Ох.
Якщо С = 0, одержимо рівняння осі Оху = 0.
| 
Нехай дано пряму, задану рівнянням 3 х – 5 у + 15 = 0.
1) Перевіримо, які з точок
А (– 2; 3), В (0; 3), С (5; 6),
належать заданій прямій.
2) Перетворимо дане рівняння у рівняння з кутовим коефіцієнтом і у відрізках на осях.
1) Для перевірки того, чи належать точки А, В, С даній прямій, підставимо їхні координати у рівняння прямої:
А: 3 (– 2) – 5 · 3 + 15 ¹ 0,
В: 3 · 0 – 3 · 5 + 15 = 0, С: 3 · 5 – 5 · 6 + 15 = 0.
Таким чином, точка А не належить даній прямій, а точки В і С належать цій прямій.
2) Поділимо рівняння прямої почленно на коефіцієнт при у:  , а потім виразимо змінну у через х, тобто запишемо рівняння у вигляді  . Маємо рівняння з кутовим коефіцієнтом.
Поділивши рівняння почленно на вільний член:  , або  , дістанемо шукане рівняння у відрізках на осях.
|
| Кут між прямими, умови паралельності та перпендикулярності прямих на площині
|
Розглянемо дві прямі на площині, задані рівняннями з даним кутовим коефіцієнтом
l 1: у = k 1 x + b 1 і l 2: y = k 2 x + b 2.
Кутом між прямими l 1 і l 2 називається такий кут j, поворот на який від першої прямої до другої відносно точки їх перетину до суміщення цих прямих відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.
Так як tg a 1 = k 1; tg a 2 = k 2, а j = a 2 – a 1, маємо:  . Таким чином, формула для знаходження кута між прямими має вигляд:  .
Якщо кут j — це кут між l 1 і l 2, то кут між l 2 і l 1 дорівнюватиме p – j.
Умова паралельності прямих l 1 і l 2 на площині  :  .
Умова перпендикулярності прямих l 1 і l 2  :  .
| 
Знайдемо внутрішній кут А трикутника АВС:
А (1; -1), В (-5; 2), С (-2; 3).
Побудовою можна переконатись, що кут А утворений сторонами АС і АВ.
Величину кута знайдемо за формулою  , причому
 ;  . Таким чином,
 . Отже,  .
|
Нехай дві прямі на площині задані загальними рівняннями:
 ( 1) і  ( 2).
Кут між прямими 1 і 2 знаходиться, як гострий кут між нормальними векторами цих прямих і задається формулою:
 .
Прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли їх нормальні вектори паралельні, тобто виконується співвідношення:  (від-повідні координати нормальних векторів пропорційні).
Прямі перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх нормальні вектори перпендикулярні, тобто має місце рівність:  (скалярний добу-ток нормальних векторів дорівнює 0).
| 
Перевіримо, чи будуть прямі  і  паралельними.
Для цього підставимо у співвідношення  коорди-нати їх нормальних векторів. Одержимо:  , тобто  .
Таким чином, дані прямі паралельні.
|
або 
.
При позначенні вектора двома літерами перша літера вказує точку початку вектора, а друга – точку його кінця.
Довжину (модуль) вектора позначають так: 
, 
.
