Составление математических моделей. Графический способ оптимизацииТеоретическая часть: 1. Какие задачи линейного программирования можно решать графическим методом? 2. Какой геометрический объект определяется линейным уравнением, линейным неравенством? 3. Как построить прямую, полуплоскость в прямоугольной системе координат? 4. Как строится направляющий вектор С? 5. Что определяет направляющий вектор? 6. Как находится экстремальное значение функции цели при графическом решении задачи линейного программирования? 7. Какова последовательность графического решения задачи линейного программирования? 8. Как определить отсутствие решения задачи линейного программирования при графическом методе решения? 9. Что такое альтернативный оптимум? 10.Как найти точное решение задачи линейного программирования при графическом решении? Практическая часть: Задание 1 Требуется: 1. свести исходные данные в таблицу, удобную для построения модели; 2. составить математическую модель задачи; 3. найти оптимальное решение задачи графическим методом. Задание 2 Требуется: Решить задачу линейного программирования графическим методом. Найти максимальное и минимальное значение целевой функции. Вариант 1. 1. Продукция может производиться двумя технологическими способами Т1 и Т2. На производство продукции затрачиваются ресурсы трех видов R1; R2; R3, запасы которых равны: 15; 18; 8. Расход ресурсов на производство всей продукции по первому технологическому способу составляет 2; 4; 0, а по второму - 3; 2; 2. Выход продукции по способу T1 равняется 10 единицам, по Т2 - 8. Определить с какой интенсивностью нужно применять каждый технологический способ, чтобы при этих запасах иметь максимум продукции. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 2. 1. Предприятие выпускает два вида изделий П1 и П2, на изготовление которых идет 3 вида сырья: S1; S2; S3, запасы которых равны 200, 110, 120 ед. Расход сырья на 1000 ед. продукции составляет: S1 – 20, 10; S2 – 15, 5; S3 – 10, 10. Оптовая цена за 1000 шт. изделий составляет: 15; 17 тыс. рублей. Себестоимость производства 1000 шт. изделий составляет 12 и 15 тыс. рублей. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль, предполагая, что сбыт неограничен. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 3. 1. Из двух сортов бензина составляют две смеси А и Б. Смесь А содержит 60% бензина первого сорта и 40% - второго. Смесь Б содержит 80% бензина первого сорта, 20% - второго. Продажная цена 1 кг смеси А – 10 тыс. руб.; смеси Б - 12 тыс. руб. Составить план образования смесей, при котором будет получен максимальный доход, если в наличии 48 т бензина 1-го сорта и 20 т – 2-го. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 4. 1. Предприятие имеет три производственных фактора в количестве 5; 6; 7 тыс. единиц и может организовать производство двумя различными способами. Расход производственных факторов по первому способу производства составляет 1; 4; 1 тыс. единиц, по второму - 1; 1; 3 тыс. По первому способу за ед. времени предприятие выпускает в месяц 3 тыс. изделий, по второму - 2 тыс. изделий. Сколько времени предприятие должно работать каждым способом, чтобы получить максимум продукции? 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 5. 1. На каждую автоколонну из 10 машин, направленных для вывоза груза из района А, выделяется 4 авторемонтных мастерских, 3 машины тех. помощи, 2 мотоцикла. На такую же автоколонну для вывоза груза из района В выделяется 3 авторемонтных мастерских, 1 машина тех. помощи. Одна колонна из района А вывозит 2 тыс. тонн груза, из района Б - 1 тыс. тонн груза. Какое количество автоколонн следует направить в каждый район, чтобы обеспечить максимальный вывоз груза, если имеется 200 машин, 20 авторемонтных мастерских, 10 машин техпомощи, 16 мотоциклов? 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 6. 1. Предприятие выпускает два вида изделий П1 и П2, используя 4 группы станков (А, Б, В, Г), фонды рабочего времени которых (час.) составляют 32; 27; 20; 30 часов. На производство одного изделия П1 каждая группа станков тратит (соответственно): 4; 0; 1; 3 ч. Для П2 - 2; 3; 2; 2 ч. Прибыль от реализации каждого изделия П1 равна 2 тыс. рубля; П2 - 3 тыс. рубля. Найти план производства, дающий максимальную прибыль. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 7. 1. В животноводческом совхозе на производство одного центнера молока тратится 25 рублей, из них на трудовые затраты - 10 рублей, на материальные - 15 рублей; производство 1 центнера мяса обходится в 180 рублей, из которых 100 рублей – трудовые затраты, 80 рублей - материальные. Государственные закупочные цены за 1 центнер молока - 35 тыс. руб., а за 1 центнер мяса – 200 тыс. руб. Определить оптимальный план производства молока и мяса, если на животноводство выделено 190000 рублей. Фонд зарплаты - 100000 рублей, остальное - на оборудование. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 8. 1. Из Минска в Гродно необходимо перевезти оборудование трех типов. I типа - 84 ед.; II - 80 ед.; III - 150 ед., для чего используют два вида транспорта А и Б. Количество оборудования каждого типа на транспорт А составляет: 3; 4; 3 ед., - транспорт Б: 2; 1; 13 ед. Затраты на перевозку транспортом А равны 8 ед., Б - 12 ед. Составить такой план перевозок, чтобы транспортные расходы были минимальными. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 9. 1. Трикотажная фабрика производит свитеры и кофточки, используя шерсть, силон и нитрон, запасы которых соответственно равны 900; 400; 300 кг. Количество которых соответственно равны 900; 400; 300 кг. Количество каждой пряжи на изготовление 10 свитеров составляет: 4; 2; 1 кг, а 10 кофточек: 2; 1; 1 кг. Прибыль от реализации 10 ед. продукции: 6 и 5 рублей. Найти план выпуска, максимизирующий прибыль. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 10. 1. Для кондитерской фабрики требуется рассчитать оптимальный план выпуска карамели. Весь ассортимент карамели разделён на 2 однородные группы, условно обозначенные Kl и K2. Для производства карамели требуется сахарный песок, патока, фруктовое пюре. Запасы этих видов сырья равны соответственно 700, 300 и 150 т. Другие виды сырья, входящие в готовый продукт в небольших количествах, не учитываются. Расход сырья на 1т карамели группы Kl составляет: 0, 6 сахарного песка и 0, 2 патоки; группы K2: 0, 5 сахарного песка, 0, 3 патоки и 0, 3 фруктового пюре. Уровень прибыли на единицу каждого вида выпускаемой карамели (в ден. ед. за 1т): для Kl - 1000, K2 - 1500. Определить оптимальный план выпуска карамели, чтобы фабрика получила максимальную прибыль. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 11. 1. Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприёмников, причём каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объём производства первой линии - 60 изделий, второй линии -75 изделий. На радиоприёмник первой модели расходуется 10 однотипных элементов электронных схем, на радиоприёмник второй модели 8 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыли от реализации одного приёмника первой и второй моделей равны 30 и 20 долл. соответственно. Определите оптимальные суточные объёмы производства 2-х видов моделей. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 12. 1. Небольшая фабрика изготавливает два вида красок для внутренних (1) и наружных работ (2). Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта - А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 т соответственно. Расход продуктов на 1 т краски 1 составляет 2 и 1 ед., для краски 2 – 1 и 2. Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 1 никогда не превышает спроса на краску 2 более чем на 1т. Кроме того, установлено, что спрос на краску 1 никогда не превышает 2т в сутки. Оптовая цена 1 т краски 1 равна 2 тыс. долл., краски 2 - 3 тыс. долл. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным? 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 13. 1. Фирма производит два вида продукции - А и В. Объём сбыта продукции вида А составляет не менее 60% общего объёма реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции А и В используются два вида сырья, суточный запас которых ограничен величиной 140 и 80 фунтов. Расход сырья на единицу продукции А составляет: 1-го вида - 2 фунта, 2- го – 2 фунта; а на единицу продукции В – 4 и 1. Цены продукции А и В равны 20 и 40 долл. соответственно. Определите оптимальный выпуск продукции, обеспечивающий максимальный доход. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 14. 1. Фирма выпускает ковбойские шляпы двух фасонов. Трудоёмкость изготовления шляпы фасона 1 вдвое выше трудоёмкости изготовления шляпы фасона 2. Если бы фирма выпускала только шляпы фасона 1, суточный объём производства мог бы составить 500 шляп. Суточный объём сбыта шляп обоих фасонов ограничен диапазоном от 150 до 210 штук. Прибыль от продажи шляпы фасона 1 равна 8 долл., а от фасона 2 - 5долл. Определите, какое количество шляп каждого фасона следует изготовить, чтобы максимизировать прибыль. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 15. 1. Фирме «Иерихонская сталь» предстоит решить, какое количество х1 чистой стали и какое количество х2 металлолома следует использовать для приготовления (из соответствующею сплава) литья для одного, из своих заказчиков. Пусть производственные затраты в расчете на 1т чистой стали равняются 3 усл.ед., а затраты на 1т металлолома - 5 усл.ед. (последняя цифра больше предыдущей, так как использование металлолома сопряжено с его предварительной очисткой). Заказ предусматривает поставку не менее 5т литья; при этом заказчик готов купить и большее количество литья, если фирма «Иерихонская сталь» поставит перед ним такие условия. Предположим, что запасы чистой стали ограничены и не превышают 4т, а запасы металлолома не превышают 6т. Отношение веса металлолома к весу чистой стали в процессе получения сплава не должно превышать 7: 8. Производственно-технологические, условия таковы, что на процессы плавки и литья не может быть отведено более 19ч; при этом на 1т стали уходит 3ч, а на 1т металлолома - 1ч производственного времени. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 16. 1. В опытном хозяйстве установили, что откорм животных выгоден тогда, когда животное будет получать в дневном рационе не менее 6 ед. питательного вещества А, не менее 12 ед. вещества В и не менее 4 ед. вещества С. Для кормления животных используются два вида корма. 1кг корма I содержит 2 ед. А и 2 ед. B, 1 кг корма II – 1, 4 и 4 ед. Цена 1кг корма I равна 50ед., корма II - 60ед. Составить математическую модель задачи и на её основе установить, сколько каждого корма необходимо расходовать ежедневно, чтобы затраты на него были минимальными. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 17. 1. Предприятие производит сборку автомашин двух марок: А1 и А2. Для этого требуются следующие материалы: S1 - комплекты заготовок металлоконструкций в количестве b1 = 17 шт., необходимые для сборки автомашин марок А1 и А2 (соответственно 2 и 3 ед.); S2 - комплекты резиновых изделий в количестве b2 = 11 шт. (соответственно 2 и 1 ед.); S3 - двигатели с арматурой и электрооборудованием в количестве b3 = 6 комплектов, необходимых по одному для каждой автомашины марки А1; S4 - двигатели с арматурой и электрооборудованием в количестве b4 = 5 комплектов, необходимых по одному для каждой автомашины марки А2. Стоимость автомашины марки А1 - c1 = 7 тыс. ден. ед., а автомашины А2 - с2=5 тыс. ден. ед. Определить план выпуска, доставляющий максимальную выручку. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 18. 1. Из двух видов сырья необходимо составит смесь, в состав которой должно входить не менее 6 единиц химического вещества К, не менее 12 единиц вещества L и не менее 4 единиц вещества М. Количество единиц химических веществ, содержащихся в 1 кг смеси 1-го вида: 2, 2 и 3; 2-го вида: 1, 4 и 4 указано в приведённой ниже таблице. Известно, что цена 1 вида сырья за 1 кг равна 5 единицам, а цена 2 вида -6 единицам за 1 кг. Составить смесь, содержащую необходимое количество веществ данного вида и имеющую минимальную себестоимость. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 19. 1. При перевозке 300 контейнеров 1 типа, 500 контейнеров 2 типа и 30 контейнеров 3 типа используется 2 вида автомашин А и В. На автобазе имеется 6 автомашин вида А и 10 - вида В. Автомашина вида А вмещает 50 контейнеров 2 типа и 9 контейнеров 3 типа; автомашина вида B – 100 – 1 типа, 100 – 2 типа и 3 – 3 типа. На один рейс по определённому маршруту затраты составляют: при использовании машин А и В соответственно - 2 денежных единиц и 1, 8 денежных единиц. Требуется определить необходимое количество автомашин вида А и В, чтобы стоимость перевозки контейнеров всех типов была минимальной. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 20. 1. Фирма по переработке картофеля производит три вида продукции: картофельные дольки, кубики и хлопья. Анализ загруженности оборудования и спроса на рынке показывает возможность произвести и сбыть до 1.8 т долек, 1.2 т кубиков и 2.4 т хлопьев. Необходимый для переработки картофель фирма закупает у двух поставщиков. Из 1т картофеля, закупленного у 1-го поставщика, получается: долек – 0, 2; кубиков – 0, 2; хлопьев – 0, 3. Из 1т картофеля, закупленного у 2-го поставщика, получается: долек – 0, 3; кубиков – 0, 1; хлопьев – 0, 3. Прибыль (доход от реализации готовой продукции за вычетом стоимости сырья) от продажи продукции, произведенной из картофеля от 1-го поставщика, составляет 5 ден.ед. за 1т; от продажи продукции, произведенной из картофеля от 2-го поставщика, 6 ден.ед. Требуется определить, какое количество картофеля надо приобрести у каждого поставщика, чтобы обеспечить наибольшую относительную прибыль с учетом возможности сбыта готовой продукции. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 21. 1. Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек должен в сутки потреблять не менее 120 у.е. белков, не менее 70 у.е. жиров и не менее 10 у.е. витаминов. Содержание их в продуктах Р1 и Р2 соответственно равно 0.2, 0.75, 0; 0.1, 0.1, 0.1. Стоимость одной единицы продукта Р1 – 2 у.е., Р2 – 3 у.е. Требуется организовать таким образом питание, чтобы его стоимость была минимальной, а организм получал необходимое количество питательных веществ. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 23. 1. Изготавливается продукция двух видов, для которых требуются четыре вида сырья. Запасы каждого вида сырья ограничены и составляют соответственно 18, 15, 13, 19 единиц. Для изготовления единицы продукции 1-го вида необходимо 0, 3, 1, 3 ед. сырья каждого вида; для единицы продукции 2-го вида – 3, 0, 2, 2. Доход предприятия от реализации одной единицы продукции каждого вида 5 и 7. Составить такой план выпуска продукции, при котором доход от реализации всей продукции оказался бы максимальным. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 22. 1. В овощной магазин привозят одним видом транспорта картофель из двух колхозов соответственно по 40 и 30 ден. ед. за 1 кг. На разгрузку и складирование 1т картофеля с помощью ленточного транспортёра требуется времени: из первого колхоза - 4 мин, из второго - 3 мин. Чтобы без задержек удовлетворять потребности покупателей, надо на 12 т картофеля, заказываемых ежедневно магазином, затрачивать не более 40 мин. Составить математическую модель задачи и с её помощью установить, сколько картофеля надо привозить в магазин из каждого колхоза, чтобы общая стоимость картофеля была минимальной. Известно, что первый колхоз может ежедневно поставлять не более 10, второй - не более 8т картофеля. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 24. 1. Имеется земельный участок площадью 250 га. на котором сеют пшеницу и рожь. Урожайность пшеницы с 1 га составляет 20 ц, ржи – 35 ц. Данные об урожайности приведены в таблице. По плану должно быть собрано не менее 1000ц пшеницы и 2500ц ржи. Цена 1ц пшеницы - 6 денежных единиц, ржи - 5 денежных единиц. Найти оптимальное сочетание посевов пшеницы и ржи, если критерием оптимальности служит максимум валовой продукции в денежном выражении. 2. ----------------------------------------------------------------------------- Вариант 25. 1. Завод выпускает изделия двух моделей (1, 2). Для их изготовления используются два вида ресурсов (А и В), запасы которых составляют 4000 и 5200 единиц. Расход ресурсов на одно изделие 1-ой модели – 2 и 4, 2-ой модели – 5 и 7. Анализ условий сбыта показывает, что минимальный спрос на продукцию завода составляет 200 и 150 изделий моделей 1 и 2 соответственно. Однако соотношение выпуска изделий моделей 1 и 2 должно быть равно 3: 2. Удельные прибыли от реализации изделий составляют 30 и 20 долл. соответственно. Сформулируйте для данных условий задачу определения объёмов выпуска изделие каждой модели, при которых прибыль будет максимальной. 2.
|
