Общие сведения. Уравнение Д. Бернулли является основным уравнением установившегося движения жидкости

Уравнение Д. Бернулли является основным уравнением установившегося движения жидкости.

Для струйки идеальной жидкости уравнение Бернулли представляет собой аналитическое выражение закона сохранения энергии:

= . (1.1)

Здесь все члены уравнения (1.1) имеют линейную размерность и в энергетическом смысле представляют собой удельную энергию жидкости, т.е. энергию, отнесенную к единице веса жидкости. Так, Z и P/ρ g - cоответственно удельная потенциальная энергия положения и давления; V²/2g - удельная кинетическая энергия; V – местная скорость; ρ – плотность жидкости; P –давление; g – ускорение силы тяжести.

Величина удельной энергии применительно к потоку жидкости измеряется напором, который можно представить графически. Поэтому в гидравлике: Z –геометрический напор, определяется геометрической высотой расположения центра тяжести сечения над горизонтальной плоскостью сравнения; P/ρ g –статический напор или пьезометрическая высота; V²/2g – скоростной (динамический) напор или скоростная высота в выбранной точке, определяемая высотой, которую может достичь частица жидкости, движущаяся вертикально вверх с первоначальной скоростью V.

Для потока реальной жидкости уравнение Бернулли является уравнением баланса энергии с учетом потерь и для плавно изменяющегося потока вязкой несжимаемой жидкости имеет вид:

Z₁ + P₁/ γ + α ₁ V₁²/2g = Z₂ + P₂/ γ + α ₂ V₂²/2g + h_w (1.2)

Здесь индексы 1 и 2 соответствуют двум различным живым сечениям;

γ = ρ g – удельный вес жидкости; α – коэффициент Кориолиса, характеризующий неравномерность распределения местных скоростей в живом сечение потока, равный отношению удельной кинетической энергии, рассчитанной по действительно скорости U, к удельной кинетической энергии, рассчитанной по средней скорости V.

Для установившегося плавно изменяющегося движения в каналах и трубах при турбулентном режиме движения α = 1.05-1.10; при ламинарном режиме движения в трубе круглого сечения α = 2.0

В уравнение (1.2) удельная кинетическая энергия выражается через среднюю скорость потока в данном сечении; (z+p/γ) удельная потенциальная энергия жидкости; (Z + p/γ + α V²/2g) – полный запас удельной механической энергии жидкости в данном сечение потока; h _w - удельная механическая энергия, затрачиваемая на преодоление сопротивления движению жидкости между сечениями потока и переходящая в тепловую энергию т.е. потери удельной энергии на трение по длине h _дл и местные потери h _мест: .

Если уравнение (1.2) умножить на ρ g, то получим

ρ gz₁+ p₁ + α ₁V₁²/2g = ρ gz₂+ p₂ + α ₂V₂²/2g + ρ gh _w. (1.5)

Члены уравнения (1.5) имеют размерность единицы давления и представляют собой энергию, отнесенную к единице объема. Если уравнение (1.2) умножим на g, то получим

ρ gz₁+ p₁/ρ + α ₁V₁²/2 = ρ gz₂+ p₂/ρ + α ₂V₂²/2 + gh _w. (1.6)

где члены имеют размерность и представляют собой энергию, отнесенную к единице массы.

И так, уравнение Бернулли является выражением закона сохранение энергии в потоке жидкости. Согласно ему, если на участке потока повышается скорость (увеличивается кинетическая энергия), то снижается давление (уменьшается потенциальная энергия). Наглядно уравнение Бернулли может быть продемонстрировано на участке наклонного трубопровода переменного живого сечения, в характерных местах которого установлены гидродинамические трубки (трубки Пито) (рис. 2.1).

Рис.2.1. Схема наклонного трубопровода

Выделим участки потока в трех сечениях, центры тяжести которых расположены от плоскости сравнения 0-0 на расстояниях соответственно . Отложим вертикально от центра тяжести сечения №1 пьезометрическую высоту p₁/γ и скоростную высоту - α ₁V₁²/2g. Аналогичную операцию выполним для сечений № 2 и 3. Кривая, соединяющая верхние концы указанных вертикальных отрезков, называется напорной линией, а сумма трех высот (Z + p/γ + α V²/2g = Н) – гидродинамическим (полным) напором.

Для идеальной жидкости H = const, следовательно, напорная линия будет параллельна плоскости сравнения 0-0. При движении реальной жидкости гидродинамический напор вдоль потока уменьшается, так как часть его затрачивается, на преодоление сопротивлений движению, поэтому кривая

Н-Н (кривая полных напоров) является нисходящей. Кривая, соединяющая вершины отрезков (Z + p/γ), называется пьезометрической линией, которая может быть как нисходящей, так и восходящей.

При равномерном движении средние скорости на рассматриваемом участке во всех сечениях одинаковы, поэтому напорная и пьезометрическая линии будут параллельны. Падение напорной линии на единицу длины представляет гидравлический уклон, причем всегда j > 0. Падение пьезометрической линии на единицу длины называется пьезометрическим уклоном , который может быть и положительным и отрицательным. На участках с равномерным движением

j = j _п = h _дл / l. В этом случае потеря напора может быть определена по разности гидростатических напоров:

h _дл = (Z₁ + P₁/ γ ) – (Z₂ + P₂/ γ)_. (1.7)

Для горизонтальных участков или в случае, если плоскость в сравнения 0-0 проведена по оси потока (Z₁ = Z₂ = 0), потеря напора может быть определена непосредственно по разности показаний пьезометров:

h _дл = (P₁ – P₂)/ γ. (1.8)

При турбулентном течении точка, в которой местная скорость равна средней скорости в трубе, находится на расстоянии примерно 0, 24 r₀ от стенки трубы, а при ламинарном - примерно на расстоянии 0, 7 r₀, что необходимо учитывать при введении скоростной трубки в поток.