Нахождение максимума и минимума

1. Функция одной переменной.

Определение. Максимумом или минимумом [1] функции y = f(x) называются такие ее значения f (х), для которых имеют места неравенства

f(x₀ + h) < f(х₀) (для случая максимума)

и

f(x₀ + h) > f(х₀) (для случая минимума)

при любых малых значениях h, положительных и отрицательных. Та­ким образом, в точках максимума (минимума) значение f(х₀) больше (соответственно меньше) всех соседних значений функции.

В математическом анализе понятия максимума и минимума объ­единяются одним словом «экстремум» (крайний).

Необходимое условие максимума или минимума непрерывной функции. Для непрерывной функции максимум или минимум может иметь место только в тех точках, где производная или равна нулю или не существует вовсе (в частности, обращается в бесконечность).

а)

б)

в)

у

х

Рисунок 1 Экстремумы и производные

 

Геометрический смысл. В точках графика функции, соответствующих максимуму или минимуму:

§ касательная параллельна оси 0х (рис. 1а) или

§ параллельна осу 0у (рис. 1б) или

§ не существует (рис. 1в).

 

Это условие не является достаточным, напр., на рис. 2 необходимые условия соблюдены, но в них нет ни максимума, ни минимума (есть точки перегиба (А и В) и отсутствие производной).

 

 

Рисунок 2. Точки перегиба и точка отсутствия производной.

 

У непрерывной функции максимумы и минимумы чередуются: между двумя соседними максимумами имеется один минимум, а между двумя соседними минимумами — один максимум

Нахождение максимума и минимума непрерывной функции, заданной в явной форме у = f(х) и имеющей непрерывную произ­водную.

Сначала находят точки, удовлетворяющие необходимому условию f ' (х) = 0 (стационарные точки)':

§ вычисляют производную f ' (х) = 0 и

§ находят все действительные корни x₁, x₂, …, х_n уравне­ния f ' (x) = 0.

Затем каждый из найденных корней, например х₁, исследуют одним из следующих способов.

1) Способ сравнения знаков производной.

§ Определяют знаки производных слева и справа от точки х₀, в которой производная f ' (х) = 0 (между этими аргументами и х₀, не должно быть других корней).

§ Если знак f '(х) при этом переходит от " +" к " —", то в т. х₀ имеем максимум, если от " _" к " +", то минимум (рис.3а, б), если знак производной не меняется, то имеем точку перегиба (рис.3в, г).

Рисунок 3. Экстремумы и точки перегиба – смена знака производной.

 

2 ) Способ высших производных (может быть применен в тех слу­чаях, когда при x = x₀ - существуют производные высших порядков.

§ Подставляют каждый корень х₀ во вторую производную f" (x).

§ если f" (x) < 0, то при x = x₀ имеем максимум;

§ если f" (x) > 0, то имеем минимум,

§ если же f" (x = 0, то подставляют x₀ в третью производную f" ' (х). Если в этом случае f " ' (x₀) ≠ 0, то при х = x₀ нет ни максимума, ни минимума функции, а есть точка пере­гиба; если же f " ' (x₀) = 0, то подставляют х₀ в 4-ю производную и т. д.

Общее правило: если порядок первой не обращающейся в нуль производной при x = x₀ четный, то f (x) имеет при х = x₀ максимум или минимум, в зависимости от того, будет ли эта производная соответственно от­рицательна или положительна. Если же этот порядок нечетный, то функция не имеет при х = x₀ ни максимума, ни минимума

Способ сравнения знаков производной можно применять и для тех значений функции, где производная не существует (см. рис. 1в и рис. 2в).

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции в данном интервале а< =х₀ < = b отыскивают все ее максимумы и минимумы внутри этого интервала, а также исследуют функцию на концах интервала, в точках разрыва функции и в точках разрыва ее производной. Искомые значения могут находиться в одной из рассмотренных точек; эти все значения нужно вычислить и установить, какое из них самое большее и какое самое меньшее.

Примеры отыскания наибольшего значения:

а) у = е^-2х в интервале [-1, +1]. Наибольшее значение — в точке х = 0 (максимум, рис. 4, а).

б) у = х³ - х^[2] в интервале [- 1, -+2]. Наибольшее значение — в точке х= +2 (правый конец интервала, рис. 4, б).

Рисунок 4. Примеры экстремумов

 

в) в интервале [—3, 3]. Наибольшее значение — в точке х = 0 (разрыв функции, рис. 4, в) [если положить у = 1 при х = 0].

г) у = 2 — х^2/3 в интервале [- 1, + 1 ]. Наибольшее значение — в точке х= 0 (максимум, бесконечная производная, рис. 4, г).