Студопедия — Краевые задачи для уравнения Бесселя
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Краевые задачи для уравнения Бесселя






Простейшая краевая задача для уравнения Бесселя на отрезке [0, r0] связана с задачей о собственных колебаниях круглой мембраны

, , (1)

, , . (2)

Полагая и разделяя переменные, получаем

,

, (3)

, . (4)

Условие периодичности для Ф(φ) дает v = n2, где п — целое число. Таким образом, функция R(r) должна определяться из уравнения Бесселя

,

домножим на r

, (5)

при граничном условии

, (6)

и естественном граничном условии ограниченности в точке r =0

. (7)

Полагая

, (8)

,

,

,

, ,

, ,

,

приходим к уравнению

, , (9)

при дополнительных условиях

, (10)

. (11)

Отсюда находим

. (12)

В силу граничного условия имеем:

, (13)

Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней , т. е. уравнение (1) имеет бесчисленное множество собственных значений

(14)

которым соответствуют собственные функции

(15)

краевой задачи (5)-(7).

Из способа построения собственных функций видно, что всякое нетривиальное решение рассматриваемой краевой задачи дается формулой (15).

Из общей теории уравнений вида

,

следует ортогональность системы собственных функций

с весом r:

при . (16)

Вычислим норму собственных функций , где .Попутно будет получено условие ортогональности (16). Для этого рассмотрим функцию , где α 2 — произвольный параметр.

Функции R1(r) и R2(r) удовлетворяют уравнениям

,

,

причем R 1(r o)= 0, a R 2(r)уже не удовлетворяет этому граничному условию. Вычитая из первого уравнения второе, предварительно умножив их, соответственно, на R 2(r) и R 1(r), и интегрируя затем по r в пределах от 0 до r0, будем иметь

,

откуда находим

,

. (17)

Переходя к пределу при и раскрывая неопределенность в правой части, получаем выражение для квадрата нормы:

,

,

или

. (18)

В частности, квадрат нормы функции равен

.

Если положить , то из формулы (17) сразу следует условие (16) ортогональности функций Бесселя.

Отметим, что имеются таблицы нулей функции и соответствующих им значений . Приведем несколько первых значений :

, , , .

С возрастанием номера m нуля разность должна стремиться к π;. Это можно проследить даже для нескольких первых значений (например, , , и т.д.) .

В силу общих свойств собственных функций краевых задач имеет место теорема разложимости:

всякая дважды дифференцируемая функция f(r), ограниченная при r = 0 и обращающаяся в нуль при r=r0, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд

,

где

,

где

.

Вторая краевая задача для уравнения Бесселя:

, ,

,

решается аналогично. Собственные функции и собственные значения также будут выражаться формулами (15) и (14), где под следует понимать корень номера m уравнения

.

Собственные функции задачи ортогональны между собой с весом r и имеют квадрат нормы, равный

.

Аналогично решается и третья краевая задача. В этом случае для определения получается уравнение вида

.







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1279. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕХНИКА ПОСЕВА, МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЯ ЧИСТЫХ КУЛЬТУР И КУЛЬТУРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МИКРООРГАНИЗМОВ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА БАКТЕРИЙ Цель занятия. Освоить технику посева микроорганизмов на плотные и жидкие питательные среды и методы выделения чис­тых бактериальных культур. Ознакомить студентов с основными культуральными характеристиками микроорганизмов и методами определения...

САНИТАРНО-МИКРОБИОЛОГИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВОДЫ, ВОЗДУХА И ПОЧВЫ Цель занятия.Ознакомить студентов с основными методами и показателями...

Меры безопасности при обращении с оружием и боеприпасами 64. Получение (сдача) оружия и боеприпасов для проведения стрельб осуществляется в установленном порядке[1]. 65. Безопасность при проведении стрельб обеспечивается...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит...

Кран машиниста усл. № 394 – назначение и устройство Кран машиниста условный номер 394 предназначен для управления тормозами поезда...

Приложение Г: Особенности заполнение справки формы ву-45   После выполнения полного опробования тормозов, а так же после сокращенного, если предварительно на станции было произведено полное опробование тормозов состава от стационарной установки с автоматической регистрацией параметров или без...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия