Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Функции Ханкеля и Неймана





Как было отмечено в п.3.1, всякое решение уравнения Бесселя нецелого порядка выражается через функции , . Установим связь между функциями , , , , .

Так как всякое решение уравнения Бесселя при нецелом можно представить в виде линейной комбинации функций и , то

, (9)

где и -постоянные, подлежащие определению. Для главных членов асимптотических разложений, очевидно, имеет место аналогичное равенство:

. (10)

Преобразуем аргумент второго слагаемого к виду :

Сокращаем обе части уравнения (10) на и пользуясь формулой Эйлера для левой части, получаем:

откуда

,

или

(11)

,

.

Подставляя (11) в (9), находим

. (12)

Аналогично,

. (13)

.

Пользуясь формулой , определяющей , получаем из (12) и (13):

. (14)

Формулы (12), (13) и (14) получены нами для нецелых значений v. Для целого значения функции Ханкеля и Неймана могут быть определены из (12), (13) и (14) с помощью предельного перехода при . Переходя в этих формулах к пределу при и раскрывая неопределенность по известному правилу, будем иметь

,

,

.

Пользуясь представлением функций и в виде степенных рядов, можно получить аналогичные представления для , а также и .

Формулы (12) и (13) можно рассматривать как аналитическое определение функций Ханкеля. Существуют, однако, и другие способы введения функций Ханкеля.

Если , то функции Ханкеля и Неймана выражаются в конечном виде через элементарные функции. В частности, при имеем:

,

 






Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 192. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.005 сек.) русская версия | украинская версия