Тема 6. Элементы аналитической геометрии

Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой. Общее уравнение прямой и его исследование. Построение прямой по ее уравнению. Уравнение прямой, проходящей: а) через данную точку в данном направлении; б) через две данные точки. Координаты точки пересечения двух прямых. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение прямой как пересечение двух плоскостей. Канонические уравнения прямой в пространстве. Углы между плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью. ([1 или 5, § 4.1 – 4.7]; [2 или 6, § 4.1 – 4.3], или [3, § 4.2 – 4.6, 4.8 – 4.10, 4.12], или [4, § 4.2 – 4.6, 4.8, 4.12, 4.13, 4.15].

По используемым методам аналитическая геометрия существенно отличается от элементарной геометрии. Применение основного метода аналитической геометрии – метода координат позволяет значительно продвинуть вперед изучение геометрических образов, исследовать линии и поверхности, важные для практических приложений.

Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии на плоскости, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Из этого определения следует два важных для практики положения.

1. Если задано уравнение линии, то можно установить, принадлежит ли ей какая-либо точка плоскости. Для этого достаточно подставить координаты точки в уравнение линии вместо переменных x и y. Если окажется, что они удовлетворяют уравнению, то точка принадлежит линии, в противном случае – не принадлежит.

2. Координаты точки пересечения двух линий, заданных своими уравнениями, удовлетворяют обоим уравнениям. Поэтому для нахождения координат точки пересечения двух линий нужно решить систему, составленную из их уравнений.

Следует отметить, что решение задач в аналитической геометрии проводится алгебраическим путем и никакие ссылки не чертеж не могут служить обоснованием решения задачи. Чертежи и геометрические построения служат вспомогательным средством, облегчающим решение задачи, делающим его наглядным, помогающим наметить план решения задачи. Поэтому рекомендуется сопровождать решение чертежами.

Из всех линий прямая линия имеет особое значение. Она (и ее обобщение в n -мерном пространстве) является графиком линейной функции, используемой в наиболее часто встречающихся на практике линейных экономико-математических моделях, которые будут изучаться в курсах «Методы оптимальных решений», «Исследование операций».

Студент должен знать уравнения прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой и его частные случаи; уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении и через две данные точки, общее уравнение прямой [1, или 5, или 3, § 4.1]. Обратите внимание на условия параллельности и перпендикулярности прямых; на нахождение уравнения прямых; параллельной и перпендикулярной данной прямой [1, или 5, или 3, пример 4.5].

Изучая кривые второго порядка, следует иметь в виду, что любая из этих кривых выражается уравнением второй степени

(*)

которое определяет окружность, эллипс, гиперболу или параболу в зависимости от соотношений между его коэффициентами. В то же время не каждое уравнение (*) (при условии А ²+ В ²+ С ²≠ 0) определяет кривую второго порядка (например, уравнение х ²+ y ²+1=0 не определяет никакой линии, уравнение х ²+ y ²=0 определяет единственную точку (0; 0), ^, уравнение х ²‒ y ²=0 задает две пересекающиеся в начале координат прямые х ‒ y =0 и х + y =0 и т.п.

Студенту надо знать нормальное уравнение окружности, канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы, геометрический смысл их параметров. Уметь приводить уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, используя операцию «выделения полного квадрата» (см. [1, или 5, или 3, примеры 4.7, 4.8]), а также находить точки пересечения различных линий (например, кривой второго порядка и прямой).

Обобщением уравнения прямой на плоскости является уравнение плоскости в пространстве (обобщением которого, в свою очередь, является уравнение гиперплоскости в n -мерном пространстве, рассматриваемое в прикладных математических курсах). Надо знать смысл его коэффициентов А, В, С (как координат нормального вектора плоскости) и частные случаи уравнения плоскости. Например, уравнение плоскости: проходящей через начало координат, (); параллельной оси Оу, (); проходящей через ось Оу, (); параллельной плоскости Oxz, (); совпадающей с плоскостью Oxz, , т.е. , () и т.д.

Уравнение прямой в пространстве рассматривается в двух формах – как линии пересечения двух плоскостей и в виде канонических уравнений.

Обращаем внимание на то, что направление плоскости и прямой определяются соответственно нормальным и направляющим векторами, поэтому углы между двумя плоскостями, двумя прямыми, прямой и плоскостью сводятся к определению углов (дополнительных углов) между этими векторами. Отсюда вытекают условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, прямых, прямой и плоскости.

Основные типы задач на прямую и плоскость в пространстве представлены задачами с решениями [1 или 5, примеры 4.87 – 4.92] или [3, примеры 4.108 – 4.113]. Решение отдельных задач предполагает знание скалярного произведения двух векторов (но не требует знания векторного и смешанного произведения векторов, не входящими в программу).

 

 

Вопросы для самопроверки

1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.

2. Определители 2, 3 и n -го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.

3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

4. Понятие минора k- го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.

5. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы.

6. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

7. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.

8. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера – Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений.

9. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.

10. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие существования ненулевых решений такой системы.

11. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы.

12. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами.

13. n -мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов.

14. Векторное (линейное) пространство. Его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса.

15. Скалярное произведение векторов в n -мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора.

16. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.

17. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.

18. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы.

19. Собственные векторы и собственные значения оператора (матрицы А). Характеристический многочлен оператора и его характеристическое уравнение.

20. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных значений. Пример.

21. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Пример.

22. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратичных форм.

23. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы. Критерии знакоопределенности квадратичной формы (через собственные значения ее матрицы и по критерию Сильвестра).

24. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).

25. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

26. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл параметров окружности и эллипса.

27. Канонические уравнения гиперболы и параболы. Геометрический смысл их параметров. Уравнение асимптот гиперболы. График обратно-пропорциональной зависимости и квадратного трехчлена.

28. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

29. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения двух плоскостей. Канонические уравнения прямой. Направляющий вектор прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

30. Углы между двумя плоскостями, двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условия их параллельности и перпендикулярности.