Теоретическая часть. 1.1 Определение линейных и нелинейных электрических цепей

1.1 Определение линейных и нелинейных электрических цепей.

Электромагнитное устройство с происходящими в нем и в окружа­ющем его пространстве физическими процессами в теории элект­рических цепей заменяют некоторым расчетным эквивалентом — электрической цепью.

Электрической цепью называют совокупность соединенных друг с другом источников электрической энергии и нагрузок, по которым может протекать электрический ток. Электромагнитные процессы в электрической цепи можно описать с помощью понятий «ток», «напряжение», «ЭДС», «сопротивление» («проводимость»), «индуктивность», «емкость».

Постоянным, током называют ток, неизменный во времени. По­стоянный ток представляет собой направленное упорядоченное движение частиц, несущих электрические заряды.

Как известно из курса физики, носителями зарядов в металлах являются свободные электроны, а в жидких — ионы. Упорядочен­ное движение носителей зарядов в проводниках вызывается элект­рическим полем, созданным в них источниками электрической энергии. Источники электрической энергии преобразуют химиче­скую, механическую и другие виды энергии в электрическую. Ис­точник электрической энергии характеризуется значением и на­правлением ЭДС, а также значением внутреннего сопротивления.

Постоянный ток принято обозначать буквой I, ЭДС источ­ника — £, сопротивление — R, проводимость — g. В Междуна­родной системе единиц (СИ) единица тока — ампер (А), единица ЭДС — волы (В), единица сопротивления — ом (Ом), единица про­водимости — сименс (См).

Изображение электрической цепи с помощью условных знаков называют электрической схемой (рис. 5.1, а).

Зависимость тока, протекающего по сопротивлению, от напря­жения на этом сопротивлении называют вольт-ампер ной характе­ристикой (ВАХ). По оси абсцисс на графике обычно откладывают напряжение, а по оси ординат — ток.

Сопротивления, ВАХ которых являются прямыми линиями (рис. 5.1, б), называют линейными, электрические цепи только с ли­нейными сопротивлениями — линейными электрическими цепями.

Сопротивления, ВАХ которых не являются прямыми линиями (рис. 5.1, в), т.е. они нелинейны, называют нелинейными, а электри­ческие цепи с нелинейными сопротивлениями —нелинейными электрическими цепями.

Рис. 5.1

1.2 Источник ЭДС и источник тока.

Источник электрической энергии характеризуется ЭДС Е и внутренним сопротивлением R_в. Если через него под действием ЭДС Е протекает ток I, то напряже­ние на его зажимах U = Е — IR„ при увеличении I уменьшается. Зависимость напряжения U на зажимах реального источника от тока I изображена на рис. 5.2, а.

Обозначим через т_и — масштаб по оси U, через т, — масштаб по оси I. Тогда для произвольной точки на характеристике рис. 2.2, а abm_u = IR_в; bcm₁ = I; tga = ab/bc = R_вm₁m_г. Следовательно, tga пропорционален R_n. Рассмотрим два крайних случая.

1. Если у некоторого источника внутреннее сопротивление R_n = 0, то ВАХ его будет прямой линией (рис. 5.2, 6). Такой харак­теристикой обладает идеализированный источник питания, пазываемый источником ЭДС. Следовательно, источник ЭДС представ­ляет собой такой идеализированный источник питания, напряже­ние на зажимах которого постоянно (не зависит от тока I) и равно ЭДС а внутреннее сопротивление равно нулю.

2. Если у некоторого источника беспредельно увеличивать ЭДС Е и внутреннее сопротивление R_в, то точка с (рис. 5.2, а) отодвигает­ся по оси абсцисс в бесконечность, а угол а стремится к 90 ° (рис. 5.2, в). Такой источник питания называют источником тока.

Следовательно, источник тока представляет собой идеализиро­ванный источник питания, который создает ток J = I, независящий от сопротивления нагрузки, к которой он присоединен, а его ЭДС E _ит и внутреннее сопротивление R _ит равны бесконечности. Отноше­ние двух бесконечно больших величин E _ит /R _ит равно конечной вели­чине — току J источника тока.

При расчете и анализе электрических цепей реальный источник электрической энергии с конечным значением R_в заменяют расчетным эквивалентом. В качестве эквивалента может быть взят:

а) источник ЭДС Е с последовательно включенным сопротивле­нием R _в, равным внутреннему сопротивлению реального источника (рис. 5.3, а; стрелка в кружке указывает направление возрастания потенциала внутри источника ЭДС);

б) источник тока стоком J = E/ R _в и параллельное ним включен­ным сопротивлением R _в (рис. 5.3, б, стрелка в кружке указывает положительное направление тока источника тока).

Ток в нагрузке (в сопротивлении R) для схем рис. 5.3, а, б одина­ков: I = E/(R+R _в ), т. е. равен току в схеме рис. 5.1, а. Для схемы рис. 5.3, а это следует из того, что при последовательном соединении значения сопротивлений R и R _в складываются. В схеме рис. 5.3, б ток J = E/R _в распределяется обратно пропорционально значениям сопротивлений R и R _в двух параллельных ветвей. Ток в нагрузке R

.

Рис. 5.2

Рис. 5.3 Рис. 5.4

Каким из двух расчетных эквивалентов пользоваться, совер­шенно безразлично. В дальнейшем используется в основном пер­вый эквивалент.

Обратим внимание на следующее: источник ЭДС и источник тока — идеализированные источни­ки, физически осуществить которые, строго говоря, невозможно; схема рис. 5.3, б эквивалента схеме рис. 5.3, а в отношении энергии, выделяющейся в сопротивлении нагрузки R, и не эквива­лентна ей в отношении энергии, выделяющейся во внутреннем со­противлении источника питания R_в;

идеальный источник ЭДС без последовательно соединенного с ним R_в нельзя заменить идеальным источником тока.

На примере схемы рис. 5.3 осуществим эквивалентный пере­ход от схемы с источником тока к схеме с источником ЭДС. В схеме рис. 5.3, 6 источник тока дает ток J — 50 А. Шунтирующее его сопротивление R_в = 2 Ом. Найти ЭДС эквивалентного источника ЭДС в схеме рис. 5.3, а.

ЭДС Е = JR_в = 100 В. Следовательно, параметры эквивалент­ной схемы рис. 5.3, а таковы: Е = 100 В, R_в = 2 Ом.

1.3 Законы Кирхгофа.

Все электрические цепи подчиняются первому и второму законам (правилам) Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа можно сформулировать двояко: 1) алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы, равна нулю; 2) сумма подтекающих к любому узлу токов равна сумме утека­ющих от узла тюков.

Применительно к рис. 5.5 если подтекающие к узлу токи считать положительными, а утекающие — отрицательными, то соглас­но первой формулировке

I ₁— I ₂— I ₃— I ₄=0;

согласно второй —

I ₁ = I ₂+ I ₃+ I _4.

 

Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение за­рядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапли­ваются.

Если мысленно рассечь любую схему произвольной плоскостью и все находящи­еся по одну сторону от нее рассматривать как некоторый большой " узел”, то алгеб­раическая сумма токов, входящих в этот " узел”, будет равна нулю.

Второй закон Кирхгофа также можно сформулиро­вать двояко:

1. алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкну­том контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же кон­тура:

(5.1)

(в каждую из сумм соответствующие слагаемые входят со знаком плюс, если они совпадают с направлением обхода контура, и со знаком минус, если они не совпадают с ним);

2. алгебраическая сумма напряжений (не падений напряже­ния!) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

. (5.1 а)

 

Для периферийного контура схемы рис. 5.6

U_аe, + U_ec + U_cd + U_da = 0.

Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных це­пей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

Сделаем два замечания: 1) запись уравнении по второму закону Кирхгофа в форме может быть получена, если обойти какой-либо контур некоторой схемы и записать выражение для потенциала произвольной точки этого контура через потенциал этой же точки (взяв ее за исходную при обходе) и падении напряжения и ЭДС; 2) при записи уравнений но второму закону Кирхгофа в форме напряже­ния U_kl участков цепи включают в себя и падении напряжении участков, и имеющиеся на этих участках ЭДС.

1.4 Составление уравнений для расчета токов в схемах с по­мощью законов Кирхгофа.

Законы Кирхгофа используют для на­хождения токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы в, число ветвей, содержащих источники тока, — в_ит и число узлов у. В каждой ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с источниками тока известны, то число неизвестных токов равняется в — в_ит. Перед тем как составить уравнения, необходимо произ­вольно выбрать: а) положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме; б) положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.

Рис. 5. 5

С целью единообразия рекомендуется для всех контуров поло­жительные направления обхода выбирать одинаковыми, например по часовой стрелке.

Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют уравнения, число которых равно чис­лу узлов без единицы, т. е. у — 1.

Уравнение для последнего у-г о узла не составляют, так как оно совпало бы с уравнением, полученным при суммировании уже со­ставленных уравнений для у — 1 узлов, поскольку в эту сумму входили бы дважды и с противоположными знаками токи ветвей, не подходящих к у- му узлу, а токи ветвей, подходящих к у- му узлу, входили бы в эту сумму со знаками, противоположными тем, с какими они вошли бы в уравнение для у- го узла.

По второму закону Кирхгофа составляют уравнения, число ко­торых равно числу ветвей без источников тока (в — в_ит), за вычетом уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, т. е.

(в — в_ит) — (у — 1) = в — в_ит— у +1.

Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа, следует ох­ватить все ветви схемы, исключая лишь ветви с источниками тока.

Если попытаться составить уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, в который входит источник тока, то в него вошли бы бесконечно большие слагаемые и оно не имело бы смысла.

При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошед­шая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры условимся называть независимыми.

Требование, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна новая ветвь, является достаточным, но не необходимым условием, а потому его не всегда выполняют. В таких случаях часть уравнений по второму закону Кирхгофа составляют для контуров, все ветви которых уже вошли в предыдущие контуры.

Пример. Найти токи в ветвях схемы рис. 5.5, в которой Е₁ =80 В, Е₂ = 64 В, R₁=6 Ом, R₂ = 4 Ом, R₃ = 3 Ом, R₄ = 1 Ом.

 

Рис. 5.6

Р е ш е и и е. Произвольно выбираем положительные направления тока в вет­вях. В схеме рис. 5.5, в = 3; в _ит = 0; у = 2.

Следовательно, по первому закону Кирхгофа, можно составить только одно уравнение:

I ₁ + I ₂ = I ₃. (а)

Нетрудно убедиться, что для второго узла получили бы аналогичное уравнение. По второму закону Кирхгофа составим

в — в _ит — (у — 1) = 3 — 0 — (2 — I) = 2

уравнения. Положительные направления обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

Для контуров R ₁ E ₁ R ₂ E ₂

I₁R₁ — I₂R₂ = E ₁ + E ₂ (б)

Знак плюс перед I₁R₁, взят потому, что направление тока совпадает с направле­нием обхода контура; знак минус перед I₂R₂ — потому, что направление I ₂ встречно обходу контура.

Для контура E ₂ R ₂ R ₃ R ₄

I₂R₂+ I₃ (R ₃+ R ₄) = - Е ₂ (в)

Совместное решение уравнений (а) — (в) дает I₁ = 14 А, I₂ = — 15 А, I₃ = —1 А. Поскольку положительные направления токов выбирают произвольно, в ре­зультате расчета какой-либо один или несколько токов могут оказаться отрицатель­ными. В рассмотренном примере отрицательными оказались токи I₂ и I₃, что следует понимать так: направления токов I₂ и I₃ не совпадают с направлениями, принятыми для них на рис. 5.5 за положительные, т. е. в действительности токи I₂ и I₃ проходят в обратном направлении.

Для выбора контура таким образом, чтобы в каждый из них входило по одной ветви, не входящей в остальные контуры, используют понятие дерева. Поддеревом понимают совокупность ветвей, касающихся всех узлов, но не образующих ни одного Замкнутого контура. Из одной и той же схемы можно образовать несколько деревьев. При составлении системы уравнений по второму закону Кирхгофа можно взять любое дерево из возможных. Одно из возможных деревьев схемы рис. 5.6, а изобра­жено на рис. 5.6, б, а на рис. 2.10, в — четыре независимых контура, в каждый из которых входит по одной пунктиром показанной ветви, не входящей в остальные.