Теоретическая часть. 1.1 Синусоидальный ток и основные характеризующие его величины1.1 Синусоидальный ток и основные характеризующие его величины. Цель работы: изучить линейные электрические цепи однофазного синусоидального тока. Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону (рис. 6.1)
(6.1)
Максимальное значение функции называют амплитудой. Амплитуду тока обозначают Im. Период Т — это время, за которое совершается одно полное колебание. Частота равна числу колебаний в 1 с (единица частоты f — герц (Гц) или с-1)
f =1/T. (6.2)
Угловая частота (единица угловой частоты рад/с или с-1)
(6.3)
Аргумент синуса, т. е. , называют фазой. Фаза характеризует состояние колебания (числовое значение) в данный момент времени t. Любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой. В странах СНГ и Западной Европе наибольшее распространение получили установки синусоидального тока частотой 50 Гц. принятой в энергетике за стандартную. В США стандартной является частота 60 Гц. Диапазон частот практически применяемых синусоидальных токов очень широк: от долей герца, например в геологоразведке, до миллиардов герц в радиотехнике.
Рис. 6.1 Синусоидальные токи и ЭДС сравнительно низких частот (до нескольких килогерц) получают с помощью синхронных генераторов (их изучают в курсе электрических машин). Синусоидальные токи и ЭДС высоких частот получают с помощью ламповых или полупроводниковых генераторов. Источник синусоидальной ЭДС и источник синусоидального тока обозначают на электрических схемах так же, как и источники постоянной ЭДС и тока, но обозначают их е и j [или e(t) и j(t) ].
1.2 Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости. Комплексная амплитуда. Комплекс действующего значения. На рис. 3.2 дана комплексная плоскость, на которой можно изобразить комплексные числа. Комплексное число имеет действительную (вещественную) и мнимую части. По оси абсцисс комплексной плоскости откладывают действительную часть комплексного числа, а по оси ординат — мнимую часть. На оси действительных значений ставим + 1, а на оси мнимых значений
Рис. 6.2 Рис. 6.3
Из курса математики известна формула Эйлера
e jα = cos α + j sin α. (6.4)
Комплексное число е jα изображают на комплексной плоскости вектором, численно равным единице и составляющим угол α с осью вещественных значений (осью +1). Угол а отсчитываем против часовой стрелки от оси +1. Модуль функции Проекция функции е jα на ось +1 равна cos α, а на ось + j равна sin α. Если вместо функции е jα взять функцию Im е jα , то
Im е jα = Im cosα + jIm sinα.
На комплексной плоскости эта функция, так же как и функция е jα изображается под углом а к оси +1, но длина вектора будет в Im раз больше. Угол а в формуле (6.4) может быть любым. Положим, что α = ω t+ φ т. е. угол α изменяется прямо пропорционально времени. Тогда
(6.5)
Слагаемое представляет собой действительную часть (Re) выражения (6.6)
а функция есть коэффициент при мнимой части (Im) выражения (6.6а)
Таким образом, синусоидально изменяющийся ток i [ср. (6.1) и (6.6а)| можно представить как Im I me j(ω t+φ) или, что то же самое, как проекцию вращающегося вектора I me j(ω t+φ) на ось + j (риc. 6.3). Исторически сложилось так, что в радиотехнической литературе за основу обычно принимают не синусоиду, а косинусоиду и потому пользуются формулой (6.6). С целью единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени ω t =0. При этом вектор
, (6.7)
где I m—комплексная величина, модуль которой равен I m; — угол, под которым вектор I m проведен к оси + 1 на комплексной плоскости, равный начальной фазе. Величину I m называют комплексной амплитудой тока i. Комплексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момента времени ω t =0. Точка, поставленная над током I или напряжением U, означает, что эта величина во времени изменяется синусоидально. Поясним сказанное. Пусть ток i = 8sin(ω t + 20°) А. Запишем выражение для комплексной амплитуды этого тока. В данном слу чае Im = 8 А, φ = 20°. Следовательно, А. Пусть комплексная амплитуда тока А. Запишем выражение для мгновенного значения этого тока. Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению умножим Iт на е jω t и возьмем коэффициент при мнимой части от полученного произведения [см. формулу (6.6а)]:
Под комплексом действующего значения тока или комплексом тока (комплексным током) I понимают частное от деления комплексной амплитуды на : (6.8) Пример. Записать выражение комплекса действующего значение тока
Решение. Комплекс действующего значения
|