Проверка закона Дюлонга и Пти

Цель работы: Освоение методики измерения теплоемкости тел с помощью микрокалориметра на анизотропных термоэлектрических датчиках. Экспериментальная проверка закона Дюлонга и Пти.

 

9.1. Краткие теоретические сведения

Тепловые свойства веществ определяются характером теплового движения частиц (молекул или атомов), из которого состоит данное вещество. В свою очередь характер теплового движения молекул зависит от того, каким образом эти молекулы взаимодействуют друг с другом. Так, в идеальном газе молекула вещества взаимодействуют не иначе, как через прямое столкновение друг с другом. Другое дело в конденсированных средах (в жидкости, в кристалле), молекулы взаимодействуют на расстоянии посредством потенциальных полей. Потенциальное взаимодействие особенно характерным является для кристаллических тел. В результате такого взаимодействия любое возбуждение (возникновение движения) одной частицы, в том числе и тепловое возбуждение, вызовет движение всех остальных молекул тела по принципу распространения волны. Поэтому тепловое движение молекул твердого тела не может быть хаотическим, как в газе, а непременно должно носить колебательный характер. В силу периодичности структуры кристаллов, а также в силу наличия границ у тела, тепловые колебания в равновесном состоянии должны представлять набор стоячих волн с дискретно меняющимися частотами. Такого рода колебания кристаллической решетки называют нормальными колебаниями решетки. Всего таких колебаний 3 N, где N­ – число частиц в кристалле.

Спектральная плотность этих колебаний – число колебаний, приходящееся на единичный интервал частоты – определяется выражением.

 

, (9.1)

 

где dG – число нормальных колебаний в интервале частот dw,

V – объем кристалла,

u – скорость звука,

w - циклическая частота колебаний.

Каждое нормальное колебание подобно отдельному осциллятору может изменять энергию только порциями (квантами).

 

, (9.2)

где n = 0, 1, 2, … - целое число.

Применительно к кристаллической решетке одну такую порцию энергии

 

называют фононом.

Фононы, как и фотоны, подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна, то есть, Бозе-распределению по энергиям.

 

, (9.3)

 

где f (E_ф) – число фононов, соответствующих частоте ω (с энергией ).

Тогда средняя энергия одного нормального колебания с частотой ω определится выражением

. (9.4)

 

Исходя из выражения (9.4) и (9.1) можно получить значения энергии всей решетки

 

. (9.5)

 

Где (9.6)

 

так называемая частота Дебая, ограничивающая спектр нормальных колебаний со стороны высоких частот в данном теле. Выражение (9.6) получено из условия нормировки

 

. (9.7)

 

Физический смысл выражения (9.7) заключается в том, что число нормальных колебаний должно равняться числу степеней свободы связанной системы из N штук частиц.

Если выразить u из (9.6) и подставить в (9.1), получим другое выражение для спектральной плотности нормальных колебаний

 

. (9.8)

 

Учитывая последнее выражение (9.8), а также выражения (9.4) и (9.5), получим значение для полной энергии тепловых колебаний решетки

 

. (9.9)

 

Для низких температур, когда температура T заметно меньше так называемой температуры Дебая

 

,

 

то есть когда Т< < q, интеграл (9.9) дает следующее значение

 

~ . (9.10)

 

Для высоких температур (T ³ θ)

 

. (9.11)

 

В последнем случае – случае высоких температур – получаем следующее выражение для теплоемкости решетки (при постоянном объеме)

 

, (9.12)

 

которое соответствует закону Дюлонга и Пти.

Данная модель теплоемкости согласуется с экспериментом для одноатомных решеток.

Поскольку для многих простых веществ (металлов и полупроводников), находящихся в твердом состоянии, температура Дебая заметно ниже комнатной, то соотношение (9.12) для этой температуры должно выполняться.

В описанной выше модели теплового движения никак не учитывалась тепловая энергия свободных носителей заряда. Поэтому она, эта модель, строго говоря, пригодна только для диэлектриков, где нет свободных зарядов. Однако, в полупроводниках число носителей заряда в единице объема значительно меньше, чем число атомов в том же объеме, поэтому электронный вклад в теплоемкость по сравнению с решеточным невелик.

В металлах же число свободных электронов соизмеримо с количеством атомов. Но тепловому возбуждению в соответствии с Ферми - распределением (основанном на принципе Паули) могут подвергаться только те электроны, которые находятся вблизи энергии Ферми в интервале энергий, приблизительно равном kT. Таким образом, доля электронов, способных к тепловому возбуждению, будет равна

 

. (9.13)

Для металлов E_F ~ 5÷ 10 эВ.

Энергия теплового возбуждения при нормальных условиях kT = 1.38·10^-23·300/1.6·10^-19 Дж ≈ 2.6∙ 10^-2 эВ. Тогда доля возбужденных электронов Δ N/N ≈ 0.0013÷ 0.0026, то есть меньше 1%. Поэтому у всех кристаллических тел при температурах выше температуры Дебая с большой точностью должен выполняться закон Дюлонга и Пти.

 

9.2. Описание экспериментальной установки

 

Основным элементом экспериментальной установки является микрокалориметр, выполненный на анизотропных термоэлектрических датчиках (см. лабораторную работу «Изучение анизотропного термоэлектрического датчика»).

U (t)

интегратор

сеть

сброс

радиатор

T2

T1 ≥ T2

T1

Q

Q

Q

Q

Рис.9.1.Схема калориметрического устройства: 1 – микрокалориметр, 2 – радиатор, 3 – исследуемое тело, 4 – интегратор.

Микрокалориметр 1 (рис.9.1) представляет собой вмонтированный в массивный радиатор 2 миниатюрный ящик, все стенки которого собраны из анизотропных датчиков. Если внутри ящика оказывается тело 3 с избыточной температурой T₁ по отношению к окружающей температуре, то в процессе перехода к тепловому равновесию, тепловая энергия от этого тела проходит только через стенки ящика.

При этом электрический сигнал U(t) (зависящий от времени остывания тела) пропорционален мощности теплового потока

 

:

 

, (9.14)

где A – некоторая константа.

Полное количество тепла, проходящее через стенки калориметра, определится интегралом

 

. (9.15)

 

В установку входит специальный прибор «Интегратор» 4, суммирующий всю тепловую энергию, прошедшую через стенки калориметра за все время процесса охлаждения в виде суммы импульсов N, то есть в условных единицах, которые высвечиваются на индикаторе прибора.

Тогда от выражения (9.15) мы переходим к выражению

 

 

, (9.16)

 

где B – чувствительность прибора, равная числу импульсов, приходящемуся на 1 Дж тепловой энергии, прошедшей через стенки калориметра.

Для подогрева образца его закладывают внутрь вертикальной трубчатой печи 5 (см. рисунок 9.2), питающейся от стабилизированного источника тока через пару клемм П. Ток печи I_п контролируется миллиамперметром. В трубчатую печь вмонтирован один из спаев медь – константановой термопары 6, второй спай термопары вмонтирован в радиатор 2.

Через пару клемм Т на блоке печи сигнал с термопары подается на микровольтметр для регистрации разницы температур Δ Т между образцом, подогретым в печи и окружающей средой (радиатором). Дифференциальная термоэдс медь-константановой термопары α ₁ (чувствительность термопары) известна и составляет ~37 мкВ/К. Время, достаточное для подогрева образца в печи до ее температуры – 3 ÷ 5 минут. После прогрева образца верхнее устье печи подносят к калориметру и, опрокинув печь, вбрасывают образец в полость калориметра. При этом автоматически включается интегратор и начинает суммировать импульсы, число которых пропорционально тепловой энергии, отданной образцом. Перед началом измерения тепла, ранее имеющиеся показания на индикаторе интегратора следует убрать путем нажатия кнопки «сброс».

Для определения тепловой энергии по показаниям интегратора необходимо знать чувствительность калориметра B. Для этого к установке прилагается миниатюрная калибровочная печь 7, которая через одну из двух пар клемм двойного ключа 8 может быть подключена к источнику стабильного тока. При этом вторая пара клемм ключа 8 одновременно с печью включает электрический секундомер.

Калибровка калориметрической установки осуществляется следующим образом. Не помещая калибровочную печь в полость калориметра, устанавливают ток I_п калибровочной печи 10 мА (или 20 мА) с помощью регулируемого стабилизатора тока и регистрируют величину этого тока I_п и напряжение U_п на печи. Затем выключают ток и, выждав время (3 ÷ 5 минут), необходимое для остывания печи, помещают ее внутрь полости калориметра.

Рис.9.2.Схема экспериментальной установки: 1 – микрокалориметр, 2 – радиатор, 3 – исследуемое тело, 4 – интегратор, 5 – трубчатая печь, 6 – термопара, 7 – калибровочная печь.

U (t)

T2

T1 ≥ T2

T1

Q

Q

Q

Q

мА

В

к источнику тока

к секундомеру

к микро-вольтметру

мА

Iп

к источнику тока

Т

П

константан

медь

Замыкают ключ 8, при этом одновременно с печью включается секундомер, а также начинается отсчет импульсов интегратором. По истечении 40 секунд при токе 10 мА или 20 секунд при токе 20 мА выключают печь и, выждав, пока не прекратится суммирование на интеграторе, записывают показания тока I_к, напряжения U_к, времени питания печи t_к и показания интегратора N в таблицу. Затем еще два раза повторяют измерения, каждый раз удваивая время питания калибровочной печи, доходя, в конечном счете, до 160 секунд при токе 10 мА и до 80 секунд при токе 20 мА. В эти же две таблицы заносят значение тепловой энергии, отдаваемой калориметру калибровочной печью, вычисленное по закону Джоуля - Ленца

. (9.17)

 

 

По данным таблиц строят графики зависимости

 

 

на миллиметровке при том и другом (при 10 и 20 мА) значениях тока I_к калибровочной печи. Должны получиться почти совпадающие прямые. При этом тангенс угла наклона β этих прямых равен чувствительности B:

 

. (9.18)

 

Среднее из этих двух значений чувствительности используется при измерении теплоты образцов с применением формулы (9.16).

9.3. Задания

 

Часть 1

1. Начертить схему экспериментальной установки и записать необходимые формулы для проведения калибровки экспериментального устройства.

2. Подготовить таблицу для регистрации экспериментальных данных по калибровке калориметрического устройства.

3. Снять зависимость

 

при токе калибровочной печи I_к = 10 мА (величину Q изменяем за счет изменения времени питания печи от 40 до160 секунд).

4. Снять зависимость

 

при токе калибровочной печи I_к = 20 мА (величину Q изменяем за счет изменения времени питания печи от 20 до 80 секунд).

5. Рассчитать чувствительность устройства B.

6. Определить погрешность чувствительности.

 

Часть 2

1. Выписать необходимые рабочие формулы для экспериментального определения молярной теплоемкости образцов по данной методике.

2. Подготовить таблицу для регистрации экспериментальных данных для шести – семи различных образцов.

3. Измерить массу всех образцов на микроаналитических весах.

4. Измерить теплоемкость всех образцов с помощью микрокалориметрической установки (не менее трех раз для каждого образца).

5. На основе полученных данных вычислить молярную теплоемкость всех образцов из различных материалов.

6. Вычислить погрешность измерения молярной теплоемкости всех образцов.

7. Сравнить молярную теплоемкость всех образцов с теоретической.

 

9.4. Методические рекомендации

 

Часть 1

1. Для измерения напряжения на калибровочной печи рекомендуется высокоомный цифровой вольтметр типа В7-21.

2. Фиксация калибровочной печи в пространстве и в полости калориметра осуществляется с помощью штатива с прижимной лапкой.

3. Ток питания печи не должен выходить за пределы 10 мА ≤ I_к ≤ 20 мА.

4. Время питания печи t ≥ 20 сек. при I_к = 10 мА, t ≥ 40 сек. при I_к = 20 мА.

 

Часть 2

1. Перед началом измерения теплоемкости образцов трубчатую печь следует включить за 15 ÷ 20 минут до начала измерений. Ток питания печи 30 ÷ 40 мА.

2. В случае, если не удалось вбросить образец из трубчатой печи в полость калориметра с первого раза, образец следует прогреть в печи снова в течение 3 ÷ 5 минут, как и всегда.

3. Перед вбрасыванием образца из печи в полость калориметра не забывайте убрать прежние показания на индикаторе интегратора нажатием кнопки «сброс».

 

 

9.5. Контрольные вопросы

 

1. Как зависит теплоемкость кристаллической решетки от температуры (случай низких и высоких температур с выводом)?

2. Чему равна теплоемкость электронного газа, насколько велика ее доля в твердом теле?

3. Каков принцип действия устройства для калориметрии, используемого в работе?

4. В чем суть закона Дюлонга и Пти?

 

 

Лабораторная работа № 10